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気体の熱的挙動
KANO
気体の挙動
1
用語の定義（１）：仕事，熱

仕事


熱



力ｘ移動距離， 1 J = 1 N・m
温度差のある物体間を移動する
エネルギー
水1ccの温度を1度上昇させる
熱：約1 cal～4.2J
断熱過程

外部からの熱の出入りがない
KANO
気体の挙動
2
用語の定義（２）：内部エネルギー

内部エネルギーとは、物体が持つエネルギーから
その力学的エネルギーを引き去った部分


物体が熱を吸収して温度が上昇すると
内部エネルギーが増加する
物体が外部から仕事をされて運動しなければ
内部エネルギーが増加する

力学的エネルギー＝運動エネルギー＋位置エネルギー


KANO
運動エネルギー＝質量×速度の２乗÷２
重力の位置エネルギー＝質量×重力加速度×高度差
気体の挙動
3
気体の断熱膨張と
内部エネルギー変化（１）


シリンダー内の圧力と、おもりが押
す力とがつり合う

仕事をしながら断熱的に
膨張したとき
おもりを取り去ると，新しい平衡点
へピストンが移動する



ピストン（したがって気体）は仕事
をする
内部エネルギーを用いて外
部に仕事をする
膨張して外部に仕事をする
と、気体の温度が下がる
→ 内部エネルギーは
温度で変わる
移動する前後で，気体は全体として静止（運動エネルギーは
変化しない）．図の縦型のピストンだと，実は気体の位置エネ
ルギーはわずかに変化するが，気体の質量が非常に小さい
ため，位置エネルギーの変化も無視できる．こうして気体の
内部エネルギーだけに注目すればよいことがわかる
KANO
気体の挙動
4
気体の断熱膨張と
内部エネルギー変化（２）

•真空容器中で気体を膨張させる

•気体が希薄なら温度は下がらない

KANO
真空中に膨張させても、壁は移
動していなので、気体は外部に
仕事をしない
希薄なら気体粒子間に力が作用
しない，この膨張過程では気体
の内部に対しても仕事しない
内部エネルギーが変わらないの
で温度も変わらない
気体の挙動
5
気体の内部エネルギー

希薄な気体の内部エネルギー



内部エネルギーの実体は？


KANO
温度だけで決まる
シリンダー内の気体の量で決まる
気体分子運動論
統計力学
気体の挙動
6
気体の等温過程と
仕事に変わった熱






ピストンがわずかに上昇して仕事を
する
内部エネルギーがわずかに減少
温度がわずかに下がる
温度差が生じて熱源から熱が流入す
る
温度が熱源と同じになる
内部エネルギーが回復する

等温


外部にした仕事

KANO
内部エネルギーが不変
熱源から取り出した熱エネ
ルギーと等しい
気体の挙動
7
用語の定義(3):圧力


圧力

単位面積あたりの力

Pa（パスカル）=１N/m2
地球大気による圧力～105Pa



分子運動論

KANO
水銀柱で78cm
水柱で10m
分子が壁に当たって跳ね返るときの運動量変化
気体の挙動
8
気体の熱膨張と絶対温度

気体温度計


温度上昇：定圧で膨張
実験：温度をセ氏で表
すと、希薄な気体の熱
膨張率は気体の種類
によらず約1/273
V  V0 (1   ),  
KANO

1
273
Kelvin温度（絶対温度）


セ氏温度と同じ目盛り
の間隔 dT  d
０℃～273 K
T    273
気体の挙動
V T
9
希薄な気体の状態方程式

Boyl（1660）

V ∝ 1/P
 一定温度で気体の体積
は圧力に反比例する

希薄な気体

１モル




Charles(1787)

ΔV ∝ΔＴ
 一定圧力で気体の体積
の増加は温度上昇に比
例する

1モル，１気圧，0℃で



Avogadro(1811)

仮説：同じ温度と圧力のもとで，
すべての気体は同じ体積に同
数の分子を含む
気体の挙動
22.4リットル～22.4/1000 m3
種類によらず
状態方程式

PV=nRT





KANO
水素原子1モルあると約1グラム
～ 6.02 x 1023個のあつまり
気体の量 n （1モル）
温度 T (０℃ = 273 K)
圧力 P (１気圧 = 1013 x 100 N/m2)
体積 V (標準体積 = 22.4 x 10－3 m3)
R = PV/T = 8.3 J / (モル K)
10
希薄な気体の内部エネルギー
気体分子運動論の初歩

壁が受ける力＝運動量の変化 ÷ 要した時間
希薄な気体

大きさが無視できるN個の粒子
が互いに独立に運動


相互作用エネルギーなし
単原子分子のとき
全エネルギー
＝内部エネルギー
＝粒子の運動エネルギーの総和



・１粒子、１回の衝突の運動量変化: p x  p x  (  p x )  2 p x
・１粒子が運動量を変えるの必要とした時間＝引き続く衝突間の時間＝往復時間
・１粒子が壁と衝突する頻度＝1÷距離L x の往復時間：
・ N 粒子が壁に衝突する頻度：  =N
px
1
1


2t
2 L x /v x
2mLx
px
1
 N
2t
2mL x
2
2 px
p2
・壁が受ける力： Fx px N
N x
2mLx
mLx
2
2
F
px
p2
1 px
・気体の圧力＝壁が受ける圧力： P  x =N
N
 PV =N x
S
mLx S
V m
m
計算の要点

＝１個の粒子の運動量変化×粒子数×衝突頻度
圧力＝容器壁と粒子の衝突
1回の衝突による運動量変化
力＝単位時間内の全運動量変化
粒子は完全にランダムな運動（等方的）
・１粒子の運動エネルギー：  
p2
1  2
3
2
2

px2
 p  py  pz  
2m
2m  x

2m
衝突の頻度を考える。
十分に長い時間 T
でみると、1個の粒子
が一方の壁と衝突す
る回数がT/(2t)となる。
粒子はN個あるので、
T の間に生じる衝突
回数は NＴ/(2t) であ
る。
つぎに、衝突で生じ
る運動量の変化につ
いて考える。１回の衝
突ではΔpxだけ粒子
の運動量が変わるか
ら、Tの間には気体全
体としてこの壁から受
ける力による運動量の
変化が「Δpx・衝突回
数」となる。
時間T内に
Δpx・NT/(2t)だけ
運動量の変化が起き
るのだから、それを起
こした力は、運動量変
化を時間で割り
Δpx・N/(2t)である。
気体が受けたこの力
の反作用は、気体が
壁を押した力である。
状態方程式の温度を気体の内部エネルギーで表す
PV =N
S
KANO
Lx
px2
２
２
 PV = N   E : 内部エネルギーE
m
3
3
気体の挙動
11
熱容量，比熱
理科年表
KANO
気体の挙動
12
定義（４）：定積モル比熱

CV

１モル物質の体積を一定に保ち加熱

吸収した熱量dQと温度上昇dTの比

dQ = CV dT

熱を注入すると，すべて内部エネルギーになる

CVは温度上昇にともなう内部エネルギー増加を表す比例係数
KANO
気体の挙動
13
定義（５）：定圧モル比熱

CP

物質１モルに加える圧力を一定に保ち加熱



注入した熱は，温度上昇による内部エネルギー増
加だけでなく，体積増加による外部への仕事となる
dQ = CV dT ＋ P dV = CＰ dT
CP はCV より大きくなる
PdV  CP  CV  dT
KANO
気体の挙動
底面積Ｓのピストンが微小な距離ｄｘ
だけ動いたことで気体の体積が
dV = S dxだけ変化したとする。
圧力Ｐは、ピストンの底面に加わる
力Fを底面積で割ったもの P = F/Sで
ある。P dV = (F/S)(S dx) = Fdx
となりピストン気体から力Fをうけなが
らdx移動したのだから、気体はピス
トン（を通じて外部）に仕事
F dx = P dVをしたことになる。
14
定義（６）：比熱比

CPとCV の関係


１モルの希薄な気体を定圧で加
CP
CV
CP
R
 1
CV
CV
CV
1

R  1
Ｐ＝一定でＰＶ=RT の微分
→ P dV = R dT
前ページの結論 P dV = (CP - CV) dT
→ CP = CV + R
KANO

CP  CV  R   
熱する.状態方程式

比熱比


気体の挙動
内部エネルギーの構成
によりγが異なる
運動エネルギー，振動
エネルギー，回転エネ
ルギー，…
15
単原子分子
：f=0，γ=5/3
比熱比

2原子分子
回転
：ｆ＝２, γ=7/5
回転＋振動：ｆ＝2＋2，γ=9/7

理科年表
KANO
気体の挙動
5 f
3 f
16
eを底とする対数を ln と書くこと
にしよう。記号「ｌｎ」はログ・ナチュ
ラルすなわち自然対数。基本的な
積分の式：
∫dx/x = ln |x| + 定数
ここで、変数はxでなくてもよい：
∫df/f = ln|f| + 定数
気体の断熱変化





希薄な気体を断熱的に膨張・圧縮すると
圧力や温度はどう変化するか？
断熱変化で仕事をすると温度が変わる

温度変化による内部エネルギー変
化＝ CV ｄＴ
内部エネルギー変化＝外部にした仕事

CV dT = - P dV

外に仕事をするとき，ｄＴ＜０，また
体積が増えるのでＰｄＶ＞０
状態方程式(PV=RT→P=RT/V）を用い
る

ＰｄＶ = (R T/V )dV =RT dV/V
CV dT = －P dV = －R T dV / V
→ (CV / R) dT / T = －dV / V
f→T また f→Vとして(T,Vは正
だから絶対値記号を取り去って)
(C/R) ln T = - ln V + 定数
を得る。
CV
ln T   ln V  積分定数
R
γ=1+2/(3+f)
CV T
V
ｆ：分子の内部運動の自
ln   ln
R T0
V0
由度
T V 
 
T0  V0 
CV
R
単原子 f=0，γ=5/3
1
V 
 
 V0 
P2
TV
 1
 PV

 nR
 一定
1.75
等温変化
1.5
1.25
  1
 1
V

PV

0.75

0.5
 一定0.25 断熱変化
0.6
KANO
気体の挙動
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
V
17
P-Vダイアグラムと仕事

仕事を計算する方法

力ｘ移動距離

ピストン・シリンダー


圧力×体積変化
KANO
V2
P
W21   P dV
V1
面積＝１サイクルで
外部にした仕事
↑

力＝圧力×断面積
移動距離×断面積＝体
積変化
W  P  V
dW  P dV
の
向
き
に
注
意
外面
部積
に＝
し
た
仕
事
気体の挙動
回転方向に
注意
外
部
か
ら
さ
れ
た
仕
事
V
18
カルノーサイクル(1)
希薄な気体による動作

熱源：高温（TH）と低温（TL）




TLで等温圧縮(isothermal)

VC→VD

熱放出＝仕事をされる
（VA ，TH）
THまで断熱圧縮(adiabatic)

VD→VA

内部エネルギー増加＝仕事をされる
（VB ，TH）
（VD ，TL）
TL
THで等温膨張

VA→VB

熱吸収＝仕事をする
|QH|
TH
（VC ，TL）
|QL|
TLまで断熱膨張

VB→VC

内部エネルギー減少＝仕事をする
KANO
http://www.rawbw.com/~xmwang/javappl/carnotC.html
気体の挙動
19
カルノーサイクル（２）
T


1

効率
T
L

H

熱源：高温（TH）と低温（TL）

THで等温膨張:VA→VB

TH からTLまで断熱膨張:VB→VC

TLで等温圧縮:VC→VD

TL からTHまで断熱圧縮:VD→VA
エンジンに流入した正味の熱量を計算する

熱の出入は等温過程で起きる

希薄な気体の等温過程は内部エネルギー不変

流入出した熱量は等温過程でした正味の仕事と一致
QH 

VB
VA
QL   
P dV  RTH 
VD
VC
QH

QL
Q  QL
Q
W
 H
1 L
QH
QH
QH

TH

TL

VD 
 TL ln

VC 
T

1
1 L
TH

VB 
 TH ln

VA 

) 断熱過程:
1
1
VC  TL 
 
VB  TH 
KANO
VB
VA
V
dV
 RTH ln B
V
VA
P dV  RTL 
VD
VC
V
dV
 RTL ln D
V
VC
等温＋断熱過程の1サイクルでエンジンが外部にす
る仕事を計算する

熱と仕事をあわせたエネルギー保存法則（第一法則）

気体が吸収した正味の熱量と外部への仕事が一致
W  QH  QL

V
 D
VA
VD V A


VC VB
エンジンの効率の定義


W
QH
高温の熱源から吸収した熱の何％を仕事にしたか
気体の挙動
20
カルノーサイクル（３）
「可逆」の条件

熱源との熱平衡

熱源との温度差なし




熱源との熱の出入りを０に近づけ，無限の時間をかける
変化は準静過程

釣り合いを保ちながらピストンを移動




KANO
実際の熱伝導には温度差が必要
温度差があるのに仕事をしない熱伝導
実際にピストンが動き出すには不均衡が必要
均衡のとき外部へ及ぼす力が最大（しかし動かない）
無限の時間をかける
内部エネルギーを使ってできる最大の仕事
気体の挙動
21
参考：実在気体の状態方程式

排除効果による体積変化



bnだけ自由な空間の体積
が減少
P=nRT/(V-bn)
140
圧力：


120
壁との衝突頻度
壁に与える力（衝突時の
運動量）
100
80
Tc
60
40
の積である

2

n
  
 P  a    V  bn   nRT
V  

n : モル数
20
両者ともに分子間の引力
で減少する

KANO
-a(n/V)2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
液体ー気体の相転移
気体の挙動
22

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