数理統計学(第ニ回）期待値と分散

数理統計学(第ニ回）
期待値と分散
浜田知久馬
数理統計学第２回
1
確率変数の特性量
期待値E[X]：Xがしたがう確率分布の平均
分散V[X]：Xのバラツキ度合
標準偏差：√分散
これらは，どのように計算し，どのような意味を
持つのだろうか.
数理統計学第２回
2
年末ジャンボ宝くじの期待値
1枚300円×1000万本＝30億円
1等：2億円×2本＝4億円
1等前後賞：5千万円×4本＝2億円
1等組違い賞：10万円×198本＝1980万円
2等：1千万円×3本＝3千万円
3等：100万円×40本＝4千万円
4等：1万円×1000本＝1000万円
5等：3000円×10万本＝3億円
6等：300円×100万本＝3億
さよなら20世紀賞：5万円×3千本＝1億5千万円
賞金合計総額：14億4980万円。
数理統計学第２回
期待値： 14億4980万円／1000万＝144.98円
3
数理統計学第２回
4
期待値計算の操作
1枚くじをかったときの賞金金額（確率変数）
ｎ本の宝くじ，ａ通りの起こり得る場合(賞金）
度数
ｆ1 ｆ2 ・・・
ｆa
賞金
ｘ1 ｘ2 ・・・ｘa
相対度数 p1 p2 ・・・ pa xi/ｎ
a
E[ X ] 
x
i 1
n
i
fi
xa f a
x1 f1 x 2 f 2



n
n
n
a
  xi pi  x1 p1  x 2 p 2    x a p a
i 1
数理統計学第２回
5
確率変数Xの期待値
E[X]:期待値(expected value)
Σｘ・ｐ(x)
離散分布
E[X]＝
∫ｘ・ｆ(x)dx
連続分布
期待値の公式
E[a1X1+ a2X2+・・・+ aｎXｎ]
＝a1 E[X1］+ a2 E[X2］+・・・+ aｎ E[Xｎ］
宝くじを5枚買ったときの期待値は？
数理統計学第２回
6
人はなぜ宝くじを
買うのだろうか？
夢を買うため？
2本に1本300円当たる宝くじを買う人が
いるだろうか？
一攫千金狙い
期待値は145円だが，SDは95053円
300円で10万円弱のバラツキの期待感
数理統計学第２回
7
宝くじの購入理由
http://www.takarakuji.nippon-net.ne.jp/data2.html#4
数理統計学第２回
8
分散
平均値μ＝E[X]からどれくらい離れた点にばら
つくか？
（X－μ)2 の期待値：V[X]＝E[（X－μ)2]
＝E[X2]-2μE[X]+μ2 ＝ E[X2]－μ2
Σ（ｘ－μ)2・ｐ(x) 離散分布
V [X]＝
∫（ｘ－μ)2・ｆ(x)dx 連続分布
数理統計学第２回
9
期待値の計算例(二項分布）
B(n, p ) : p( x) n C x p (1  p)
x
n x
n
n!
x
n x
E[ x]   x 
p (1  p )
x!(n  x)!
x 0
n

x 0
n  (n  1)!
x 1
n x
 p  p (1  p)
( x  1)!(n  x)!
(n  1)!
x 1
n x
 np
p (1  p )  np
x 1 ( x  1)!( n  x )!
n
数理統計学第２回
10
疑問点
Σは0からｎまでのはず，1からｎまででいいの
か？
二項分布（4,ｐ）の場合
0・4Ｃ0ｐ0（1-ｐ）4
0
+1・4Ｃ1ｐ1（1-ｐ）3
+ 4ｐ1（1-ｐ）3
E[X]＝ +2・4Ｃ2ｐ2（1-ｐ）2 ＝ +12ｐ2（1-ｐ）2
+3・4Ｃ3ｐ3（1-ｐ）1
+12ｐ3（1-ｐ）1
+4・4Ｃ4ｐ4（1-ｐ）0
+ 4ｐ4（1-ｐ）0
数理統計学第２回
11
疑問点の続き
4ｐ・ｐ0（1-ｐ）3
4ｐ・3Ｃ0ｐ0（1-ｐ）3
E[X]＝+ 4ｐ・3ｐ1（1-ｐ）2 ＝ + 4ｐ・3Ｃ1ｐ1（1-ｐ）2
+ 4ｐ・3ｐ2（1-ｐ）1
+ 4ｐ・3Ｃ2ｐ2（1-ｐ）1
+ 4ｐ・ｐ3（1-ｐ）0
+ 4ｐ・3Ｃ3ｐ3（1-ｐ）0
＝4ｐ
期待値計算にはｘ=0の項は寄与しない.
黒字は｛ｐ+(1-p)｝３なので１
数理統計学第２回
12
分散の計算例(二項分布）
V [ X ]  E[ X 2 ]   2   x 2 p ( x )  ( np) 2
2
x
 p( x)   x( x  1) p( x)   x p( x)
n!
x
n x
x
(
x

1
)
p
(
x
)

x
(
x

1
)
p
(
1

p
)


x!( n  x )!
n( n  1)(n  2)! 2 x  2

p p (1  p ) n  x
( x  2)!( n  x)!
( n  2)!
2
x2
n x
 n( n  1) p 
p (1  p )
( x  2)!( n  x)!
 n( n  1) p 2
2
2
V [ X ]  n( n  1) p 2  np

n
p
 np(1  p )
数理統計学第２回
13
期待値・分散の計算例(一様分布）
ｆ(ｘ)＝1
(0≦ｘ≦1）
＝0
(x<0, x>1)
E[X]＝∫ｘｆ(ｘ) dx＝ ∫01ｘdx＝[ｘ2／2] 01
＝1/2－0＝1/2
V[X]＝E[X2]－μ2 ＝∫ｘ2dx－1/4
＝[ｘ3／3] 01－1/4
＝ 1/3－0－1/4＝1/12
数理統計学第２回
14
モーメント
原点周りのｋ次のモーメントμ(ミュー）
離散分布：μk＝Σｘk・ｐ(x)
連続分布：μk＝∫ｘk・ｆ(x)ｄｘ
平均周りのｋ次のモーメントν(ニュー）
離散分布：ν k＝Σ（ｘ－ μ1)k・ｐ(x)
連続分布：νk＝∫（ｘ－ μ1)k・ｆ(x)ｄｘ
数理統計学第２回
15
代表的なモーメント統計量
μ1 ：平均
ν2 ：分散
β1 ＝ ν3／σ3：歪度(ワイド） skewness
β2 ＝ ν4／σ4 －3 ：尖度(センド） kurtosis
正規分布： μ1＝μ, ν2＝ σ2 , β1＝0, β2＝0
二項分布： μ1＝ｎπ, ν2＝ｎπ(1ーπ)
数理統計学第２回
16
積率母関数
モーメント統計量を求めることは簡単ではない.
積率母関数M(θ)：moment generating function
モーメントを計算するための道具
離散分布： M(θ)=E[eθｘ]= Σ eθｘ・p(x)
連続分布： M(θ)=E[eθｘ]= ∫ eθｘ・ｆ(x)dx
数理統計学第２回
17
マクローリン展開
関数 f(x) の x=a におけるテイラー展開
f (a)(x  a)
f ( x)  f (a)  f (a)(x  a) 
2!
k
k
f (a)(x  a)


k!
k
k

f (a)(x  a)

k!
k 0
数理統計学第２回
2
18
テイラー展開において、特に a=0 とし
たときの級数をマクローリン展開という。
f (0) x
f ( x)  f (0)  f (0) x 
2!
k
k
f (0) x


k!
k
k

f (0) x

k!
k 0
数理統計学第２回
2
19
ｆ（ｘ）＝ eθｘの微分
ｆ（ｘ）＝ eθｘ
⇒ ｆ（0）＝ e0 ＝１
ｆ'（ｘ）＝θeθｘ ⇒ ｆ'（0）＝θe0＝θ
ｆ''（ｘ）＝θ2eθｘ ⇒ ｆ''（0）＝θ2e0＝θ2
・・・
ｆk（ｘ）＝θk eθｘ ⇒ ｆk（0）＝θke0＝θk
数理統計学第２回
20
積率母関数とモーメント
3 3
2 2
x

x

x


e  1  x 
3!
2!
3
3
2
2
 E[ X ]  E[ X ]
x


M ( )  E (e )  1  E[ X ] 
3!
2!
2
d M ( )
dM ( )
2
  0  E[ X ]
  0  E[ X ]
2
d
d
k
d M ( )
k
  0  E[ X ]
k
d
数理統計学第２回
21
積率母関数
(1)M(θ)を1階微分してθ=0とすると,
E[X]（期待値）が得られる.
(2)M(θ)を2階微分してθ=0とすると,
E[X2]が得られる.
(3)M(θ)をk階微分してθ=0とすると,
E[Xk]が得られる.
積率母関数を用いれば,原点周りのモーメントが
容易に計算できる.
数理統計学第２回
22
正規分布の例
1
f ( x) 
2 2
 x   
exp

2

2

M ( )  E[e ] 
x




1
2
2
1
2 2
e
x
2




f ( x) dx
 x    2


exp



x
dx
2


2



  x   2  2 2x 

exp

dx
2


2

 数理統計学第２回
23
正規分布の例

2
2
2

1
x  2x    2 x 
dx
exp 
2
2
2
2



 ( x  (     ))  2     
dx
exp 
2
2
2
2


1
2
2
2
4
2
 2 2   4 2 
 ( x  (    2 ))2 
1
 
dx
 exp
exp 
2
2
2
2

 2 2


2 2
 exp(    / 2)
数理統計学第２回
24
正規分布のモーメント
M(θ)=exp(μθ+σ2θ2/2)
M’(θ)=(μ+ σ2θ） exp(μθ+σ2θ2/2)
M’(0)= E[X]＝μ
M’’(θ)= σ2 exp(μθ+σ2θ2/2)
+ (μ+σ2θ） 2exp(μθ+σ2θ2/2)
M’’(0)= E[X2]＝σ2 +μ2
V[X]＝E[X2]- E[X] 2 ＝ σ2 +μ2 - μ2 ＝ σ2
数理統計学第２回
25
2項分布の例
p ( x) n C x p (1  p )
x
n x
M ( )  E[e ]  e  n C x p (1  p)
x
x
  n C x ( pe ) (1  p )


 ( pe  1  p )

x
x
n x
n x
n

M ' ( )  npe ( pe  1  p)
n 1
M ' (0)  E[ x]  np
数理統計学第２回
26
2項分布の例


M ' ( )  npe ( pe  1  p )


n 1
M ' ' ( )  npe ( pe  1  p )



n 1
 n(n  1) pe pe ( pe  1  p )
n2
M ' ' (0)  E[ X ]
2
 n( n  1) p  np
2
V [ X ]  E[ X ]  E[ X ]
2
2
 n( n  1) p  np  n p  np(1  p )
2
2
数理統計学第２回
2
27
演習問題1
Ｘが1，２，･･･，10までの値を等しく0.1の確
率でとる確率変数であるとする．
１）確率関数
２）累積分布関数
３）期待値
４）原点周りの２次のモーメント
５）分散
６）標準偏差
７）メディアン
を求めよ．
数理統計学第２回
28
演習問題2
1.Y=X 2 は確率変数と考えられるか.
2.Yの確率関数と分布関数を示すこと
3.Yの期待値，分散，標準偏差は？
4.E[Y]をXの特性量を用いて表すと
確率変数の関数はまた確率変数となる
数理統計学第２回
29
SASでのサイコロの目の発生
一様分布を用いてもいいが，
RANTBL(seed,p1,..pi,..pn)
returns a random variate from a tabled
probability
数理統計学第２回
30
サイコロの目の発生プログラム例
data data;
do i=1 to 1000;
y=rantbl(4989,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6);
output;
end;
proc freq;tables y;
run;
数理統計学第２回
31
データの平均と分布の平均
• 平均
– データの平均 x = (x1 + x2 +…+ xn)/n
– 分布の平均
x f(x) dx
– 平均という統計量X = (X1 + X2 + … + Xn) / n
• 経験分布(ｎが大きい世界で，母集団分布を
データの分布で近似する）という概念を導入
すると上の二つは同じになる．３番目はその
統計量版（確率変数版）
数理統計学第２回
32

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