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情報経済システム論：第12回
担当教員黒田敏史
2015/9/30
情報経済システム論
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構造推定アプローチ
• 需要関数の構造推定
– 本講義では需要関数の構造推定を取り扱う
•
•
•
•
需要関数の推定から解ること
１・需要の価格弾力性、属性弾力性
２・任意のモデルを設定した場合の均衡
３・モデルを特定した場合の限界費用
– 応用例
• １・企業合併・合併条件に伴うシェアの変化
• ２・価格規制・関税・補助金による競争状況の変化
• ３・企業の参入・退出行動
等多数
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構造推定アプローチ
• 需要関数の推定
– どのようなデータを用いるか
– 個標データの利点
• 個々人が実際に購入した数量と支払った価格
• 個々人の属性や財の特徴などの影響を明示できる
• パネルデータであれば動学的なモデルを推定できる
– 集計データの利点
• データの入手が容易
• 市場のシェアを知る事ができる
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構造推定アプローチ
• 需要関数の推定方法
– １・AIDS（Almost Ideal Demand System)モデル
• 多財の需要代替を取り扱う古典的手法
– ２・離散選択モデル
• 複数の選択から単一の選択肢を選択するモデル
• 製品の特徴を明示化できる
– ３・CES型効用関数モデル
• 製品の特徴を明示化できる
• 1人の消費者が多数の購入を行う事を分析できる
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構造推定アプローチ
• AIDSモデル
– 市場にJ個の財が存在する場合を考える
AIDS需要関数
J
wi  i    ik ln pk  i ln( X / P)  ui i=1,...,J
j 1
：財iの支出シェア
：財iの価格
1 J J
：価格指数 ln P   0   k ln pk    ik ln pi ln pk
2 i k
：総支出額
– 価格指数式とn本のAIDS需要関数式の連立方程
式を推定する
Wi
pj
P
X
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構造推定アプローチ
• AIDSモデルの限界
– パラメータの数は4j+j*jあり、財の数の2乗に増加
する（n*n問題）
• 寡占市場では高度に製品差別化されている場合が多く、
多数のパラメータが推定仕切れない場合がある
• 例：自動車が100車種ある場合、少なくとも10400個のパ
ラメータを推定する必要があるが、10400個のパラメータ
を推定するためには各車種毎に10401以上の観測が必
要である。
– 市場から財が消失した場合をどう考えるか？
– 市場に新しい財が登場した場合をどう考えるか？
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 財を属性の束として捉え、財がもたらす効用を推
定する
– 消費者行動モデル
• 消費者iが財jを消費したときの効用は、観察できる財の
属性 X i と、観察不可能な消費者固有の好み  ij として
表される
uij  X ij '    ij
• 消費者が財jを購入するのは、財jの効用が
uij  uik k の時である
• いずれか一つの選択肢の効用を0に基準化する。多くの
場合、選択肢に「どの財も利用しない」を加えて効用を0
とする
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 例：携帯電話端末を価格・画面サイズ・OS・通信速
度で比較して購入する場合
• 画面1インチに5000円、Androidに10000円、iOSに15000
円、通信速度1Mbpsに1万円の価値を感じている消費者
の場合Aの満足度
価格
画面サイズ
OS
通信速度
効用
端末A
30000円
3インチ
Android
7.2Mbps
3*5000+10000+7200-30000=2200
端末B
40000円
4インチ
iOS
14.4Mbps
4*5000+15000+14400-40000=9400
端末C
40000円
5インチ
Android
37.5Mbps
5*5000+10000+37500-40000=32500
• 従って、消費者は端末Cを購入する
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 一般的な場合
–  ij は平均  分散  2  2 / 6 の独立で同一の極値分
布に従うと仮定
F ( )  exp   exp            
– 消費者iが財jを選ぶ確率
Pij  Pr(uij  uik k )  Pr  X ij '    ij  X ik '    ik 
 Pr   ij   ik  X ik '   X ij '   



f ( ij   ik )d  j   k 
Xk '  Xi '

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exp( X ij '  /  )

k
exp( X ik '  /  )
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 離散選択モデルのうち、誤差項の分布に極値分布
を用いたものを、特にロジットモデルと呼ぶ
– 誤差項の分布を正規分布にしたものをプロビットモ
デルと呼ぶ
• 多選択肢の場合の数値計算量が極めて多くなるため、
多選択肢の場合に用いられる事は少ない
– 傾向スコアの計算にも良く用いられる
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– パラメータの推定は最尤法を利用する
• 尤度関数とは、モデルの当てはまりの度合いを表す関
数であり、各々の個人によって実際に選ばれた選択肢
が選ばれるモデルの予測確立の積である
I
L
(

)

P
•
  ij 
ij
i
j
Iij は個人iが選択肢jを選んでいたときに1、それ以外の
選択肢を選んでいたときに0を取る関数
• 対数を取って和算にする事で取り扱いやすくなるため、
対数尤度関数を最大にするパラメータを求める

Iij 
LL(  )  ln    Pij     iij ln Pij
 i j
 i j
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• 対数尤度関数は大域的な凹関数である
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– モデルの適合度
– 線形回帰モデルの決定係数に相当する指標として、
マクファーデンの疑似決定係数が良く用いられる
  1
LL(  )
LL(0)
• 分母のLL(0)は全てのパラメータを0としたときの対数尤
度値
• 疑似決定係数は0から1の値をとり、予測力0で0、完全
一致で1を取る
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– ロジットモデルによる財の価格弾力性
– 財jの属性lが変化した時の自己弾力性
Pij xijl


xijl Pij xijl
 exp( X ij '  /  )  xijl
 l xijl 1  Pij 


  exp( X ik '  /  )  Pij
 k

– 財jの属性lが変化した時の財mの交差弾力性
Pim xijl


xijl Pim xijl
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 exp( X im '  /  )  xijl
   ml ximl Pim


  exp( X ik '  /  )  Pim
 k

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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– ロジットモデルのメリット
– 選択確率が閉区間［0,1]に収まるため、確率の定
義と整合的である
• 確率を説明変数とした線形回帰モデルでは、選択確率
の予測値が確率の定義を満たさなくなることがある
– 無関係な選択肢からの独立性
• 選択肢AとBの選択確率の比は、AとBの属性のみに依
存する
PA / PB 
exp( X A '  /  )
exp( X B '  /  )
exp( X A '  /  )
/

 exp  ( X A '   X B '  )
k exp( X k '  /  ) k exp( X k '  /  ) exp( X B '  /  )
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– ロジットモデルのメリット：
– 厚生評価が容易である
• iの効用を価格の関数として表示すると、
J
• V   ln  exp(u /  )
k
j 1
となり、消費者の効用を容易に計算できる
• ある財の効用はある財の属性のみによって表されるた
め、財が存在しなくなった場合や、新たな財が登場した
時に既存パラメータをそのまま用いる事ができる
• 参入・退出や新製品の影響などが消費者に与える影響
を容易に知る事ができる
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– IIAの検証
– 実際に消費者が行っている行動がIIAを満たして
いるか否かをハウスマンテストによって検証する
– Step1：全ての選択肢を含んだモデルの推定を行う
– Step2：ある選択肢を含まないモデルの推定を行う
– Step3：推定されたパラメータが同一であるか否か
1
[



]'[
V

V
]
の検定統計量 all sub all sub [all  sub ] を用
いて検定する
• 同検定統計量はカイ二乗分布に従う
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– ロジットモデルの制約
– IIAが成立しないような状況を取り扱う事ができな
い
• 例：公共交通機関の選択肢に、車体の色以外が全く同
じ赤バスと青バス、そしてタクシーが存在したとする。こ
のとき、赤バスが廃線になったとき、青バスとタクシーの
選択比率は一定に保たれる
• [赤バス:青バス:タクシー]=[40%:40%:20%]
→赤バス廃線後[青バス:タクシー]=[66%:33%]
• 赤バスの乗客の殆どは青バスに代替するため、
[80%:20%]なりそうだという直感と矛盾する
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– IIA制約の緩和
– 方法１：誤差項の相関を認める事で、財の代替性
に一定の様式を与える
→一般化極値分布（GEV)モデル
– 方法２：属性の係数に確率分布を持たせる
→混合ロジット（Mixed Logit）モデル
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– GEVモデルの特徴
– GEVモデルは特定の代替パターンを実現するよう
に誤差項に相関を与える事で、様々な代替パター
ンを実現する事ができる
– 他方、モデルの予測結果が与えた代替パターンに
従うことになるため、代替パターンそのものを知る
ためには様々なモデルを推定し、事後的に比較を
行う必要がある
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– GEVモデルの一例：入れ子ロジットモデル
– 消費者行動モデル
– 消費者はG個のグループに分類されるJ個の財の
中から一つの財を選択する
• グループは互いに排他的であるとする
• グループを更にグループに分類し、3段階以上の選択構
造を構築することもできる
– 消費者は財グループの選択を行った後、グループ
の中から財の選択を行う
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 2段階の入れ子ロジットモデルの場合
– 誤差項が以下の分布に従うとする
 G
g 
F ( )  exp   exp    ij g  
 g 1 jg

• このとき、同じグループに属する選択肢間では誤差項に
相関が生じるが、異なるグループに所属する選択肢間
の誤差項は独立となる
• 1  gはグループ内の財の相関の大きさを表す
• 0の場合に無相関（IIAを仮定したLogitモデル）となる
• 1の場合に完全相関（グループ内の財は無差別）となる
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 入れ子ロジットモデルによる、グループgに属する
財jの選択確率
 1
Pij 
exp( X ij '  / g )
 
  exp  X
G
g 1
g
g
ij
'  / g 
exp  X ij '  / g 


g
g
– 消費者がグループgを選択する確率 Pig とグループ
gの中からjを選ぶ確率に分解する事ができる
Pij  Pij|g Pig

 exp  X '  /  

   exp  X '  /  
g
Pig
g
G
g 1
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ij
g
g
ij
g
Pij| g 
g
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exp( X ij '  / g )

g
exp  X ij '  / g 
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 同じグループgに属する選択肢jとmの選択比率
Pij
Pim

exp( X ij '  / g )
exp( X im '  / g )
– グループ g A と g B に属する選択肢iとmの選択比率
 1
Pij
Pim


) 
exp( X ij '  / g A )
exp( X im '  / g B
gA
gB

exp  X
exp X ij '  / g A
im


'  / g B
gA
gB 1
– グループ内でのIIAとグループ間でのIIAの緩和が
確認できる
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 入れ子ロジットモデルの推定
• 推定にはロジットモデルと同様に対数尤度関数の最大
化を行えば良い
• 対数尤度関数は大域的な凹性を持たないため、推定に
よって得られた値が極大値であり、最大値では無いかも
しれない
• 得られた解が最大値か、極大値かを判別する方法は無
いため、数値計算のアルゴリズムを変える、様々な初期
値を試す、等を行う事が望ましい
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• 離散選択モデル
– 入れ子ロジットモデルの限界
– 同一の財が複数のグループに属するような場合を
取り扱う事ができない
– このような場合を取り扱うためのモデルに、Paired
Combinatorial Logit、Generalized Nested Logit等
のモデルが開発されているが、これらを提供して
いるパッケージソフトは不明
– 入れ子ロジットが利用可能なパッケージソフトには、
NLOGIT(limdep)、Stata、Eviews等がある
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 混合ロジットモデル
– パラメータに確率分布を持たせる
L
uij  X ij '    j   l x jl vil   ij , vi ~ N(0,1)
l 1
– すなわち、各属性は個々人i毎に異なる値が分布
からドローされる。これは、個々人の選好の多様
性を表して居ると考えられる。
– 効用の個々人に依存しない部分  j  X j '    j
• 市場における平均的な効用（mean utility）と呼ばれる
L
– 選好の多様性を表す部分  ( X j ,  , i )   l x jl vil
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l 1
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 混合ロジットモデルの選択確率
– 個人iが財jを選択する確率
Pij 
exp  j   ( X j ,  , i ) 
K
 exp 
k 1
k
  ( X k ,  , i ) 
– 代表的個人の選択確率は、 Pij の期待値から
Pj   sij  j , i  f ( i )d i
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 混合ロジットモデルの選択確率
– 先の積分型式で表された選択確率は解析的な解
を持たないため、シミュレーション積分を用いて確
率を求める
– シミュレーション積分
 i ~ N(0,1) からR個の値  r をドロー
Pj
•
•
•
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1 R
  Pij  ir 
R r 1
シミュレートされた確率 Pj は Pi の一致推定量
ドローRの数の上昇に伴って分散は減少
Pj は連続で2回微分可能
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 混合ロジットモデルの推定
– 先のシミュレートされた選択確率を用いて、シミュ
レートされた対数尤度関数SLLを作成
N J
SLL   I ij lnPj
n 1 j 1
– 混合ロジットモデルのパラメータはSLLを最大化す
るパラメータとして得られる
• 一致推定量を得るためには、 N に比べて速い速度でR
を増加させる必要がある
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構造推定アプローチ
• 離散選択モデル
– 混合ロジットモデルの弾力性
– 選択肢mのk番目の属性値が変化した時の、選択
肢jの変化率
Pj xmk
xmk

 i Pij ( ) Pim    f ( i )d i

xmk Pj
Pj
• 従って、弾力性は選択肢i,m以外の全ての選択肢に依
存する
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