2006/08/13-14 東北大自主セミナー「宇宙における構造形成とダークマター」宇宙マイクロ波背景放射 1 理論の部樽家篤史（東大理）目次理論の部～温度非等方性を中心に～ CMBとは何か？/ CMBに関わる物理基礎方程式 CMB非等方性：４つの効果定性的ふるまいと解析的な取り扱いまとめ文献 S.Dodelson, “Modern Cosmology” (Academic Press, 2003) 小松英一郎, “宇宙背景放射” (集中講義録, 2000) W.Hu, “Wandering in the Background” (Thesis, 1995) Hu & Sugiyama, Phys.Rev.D 51, 2599 (1995) ApJ 444, 489 (1995) ApJ 471, 542 (1996) CMBとは何か？（１） Cosmic Microwave Background 宇宙マイクロ波背景放射宇宙晴れ上がり時に発せられた光子のエネルギー分布０次レベル絶対温度2.7Kのプランク分布（一様・等方）１次レベル 0.01% の小さな温度のゆらぎ（非一様・非等方） Sachs-Wolfe 効果、トムソン散乱物質密度のゆらぎ CMBは、宇宙の構造形成・進化を考える上での出発点 CMBとは何か？（２） CMB は、光の最終散乱面からやってくる天球面上の情報膨張宇宙の幾何学を色濃く反映宇宙の構造形成に関連して起こる２次的効果も反映（再イオン化、ＳＺ効果，重力レンズ、etc.）ＣＭＢ anisotropy からわかること： • 物質密度ゆらぎの初期条件 (パワースペクトル) • 宇宙論パラメーター・物質組成比 • ダークエイジの手がかり（再イオン化）さらに、初期宇宙（インフレーション）の様子までＣＭＢに関わる物理（１）ミクロな物理再結合～脱結合の間に起こる、光子と電子（バリオン）の電磁相互作用トムソン散乱マイクロ波背景放射陽子晴れ上がり電子宇宙の始まり 38万年初期天体 10億年銀河 100億年現在ＣＭＢに関わる物理（２）マクロな物理（インフレーションによる）超地平線サイズの密度ゆらぎの形成と一般相対論に基づく進化ゆらぎのサイズ地平線サイズ(~ct) Physical length (∝ 宇宙のスケール因子) 晴れ上がりインフレーション輻射優勢物質優勢時間ＣＭＢに関わる物理（３）０次レベル：１次レベル：フリードマン方程式膨張宇宙の進化イオン化率のレート方程式再結合の物理宇宙論的摂動論相対論的ボルツマン方程式多成分物質系のゆらぎの進化登場メンバー：輻射（光子）ニュートリノ重力大規模構造の観測ＣＤＭトムソン散乱バリオン（電子）ＣＭＢの観測基礎方程式（１）フリードマン方程式 H K  a  8 G H     ; 2 3 a a 2 2 0 2   m  r  DE crit 3H 02  8 G  DE   m r   crit  3  4  3( w1)  a a  a  a=1 で現在 H 0 は現在のハッブルパラメーター密度パラメーター m  b  CDM   曲率パラメーター K  m  r  DE 1  m  DE 1 Distance-Redshift Relation  ( z)   Comoving radial distance : t0 t z c dz' c dt'  a(t ' ) 0 H ( z ' ) 1 ; 1 z  a Angular diameter distance :   sin K H0  ( z) 1 d A ( z)   (1  z ) K H 0  (z )   sinh  K H0  ( z) Luminosity distance : d L ( z)  (1  z)   ( z) ( K  0) ( K  0)  K H0 ( K  0) Distance-Redshift Relation d L (z )  (z ) d A (z ) m  0.27,   0.73, h  0.71 m  1,   0, h  0.71 基礎方程式（２）（電子）イオン化率の時間発展 ne Xe  ne  nH ; ε 0  13.6 eV Sahaの式 (平衡状態)  d Xe ( 2) 2  C ( T )  ( T ) ( 1  X )  n  ( T ) X Peeblesの式 r b b e b b e dt (非平衡反応) ※ Cr (T ) は、n=2レベルの影響を考慮した補正因子  Recombination History RECFAST Saha の式 RECFAST Seager, Sasselov & Scott, (1999)  cdm  0.23  b  0.04    0.73 h  0.71 Multi-level calculation の結果を高精度で再現する近似計算コード CMBFAST などのボルツマンコードに実装基礎方程式（4）ゆらぎの進化の記述：曲がった空間での線形進化（宇宙論的摂動）平坦な時空上のスカラー型摂動（密度ゆらぎ）の場合、計量テンソル Longitudinal gauge ds2  g dx dx   2 2  1 2( x, t )dt  a (t ) 1 2( x, t )ij dxi dx j Newton ポテンシャル曲率ゆらぎ物質場の進化 df (1) 相対論的ボルツマン方程式  C[ f ( 0) , f (1) ] dt 時空の進化アインシュタイン方程式 (1) G  8 G T(1) 基礎方程式（５）相対論的ボルツマン方程式 df f dxi f dp f dpˆ f    i      C[ f ] dt t dt x dt p dt pˆ 摂動量輻射（光子）バリオン（電子） CDM ニュートリノ (massless) C[f]  T (t )1  ( x, p, pˆ ; t )  トムソン散乱  nb (t ) 1   b ( x, t )  分布関数のトムソン散乱  モーメント v b ( x, t )  分布関数の nCDM (t ) 1   ( x, t )  なし  モーメント v( x , t )  プランク分布なし ˆ   T ( t ) 1  N ( x , p , p ; t )  からのずれプランク分布からのずれ基礎方程式（５）フーリエ変換   d k ikx  ( x )   e (k ) 3 (2 ) モーメント 3   (i)  1  d 1 2 P (  ) (  ) 輻射（光子）バリオン（電子） CDM ニュートリノ (massless) ルジャンドル関数 ik   ik   R [ v b  3i 1 ]   2  P2  0P     (k  pˆ ) / k 共形時間 . ( ) d dt ; d  d a 3 b R 4r コメント輻射（とニュートリノ）の温度ゆらぎは、方向依存性を表す変数 μ に依存する無限階層の連鎖方程式モーメントを取ると、 i     v  1 3 b   (  2) 輻射とバリオンの相互作用の強さは、   で決まる（時間的に変化する） d  ne T a d 再結合～脱結合時に効く基礎方程式（６）アインシュタイン方程式 (1) G  8 G T(1)    ds2  a2 ()  1  2( x, t )dt2  1  2( x, t )ij dxi dx j Longitudinal gauge (00)-成分から (ij)-成分のトレースレス部分から近似的に無視    非等方ストレス  基礎方程式のまとめ０次  (0th-1) H 2  H02 (1  z)3 m  (1  z)4 r  (1  z)3(1w) DE  (1  z)2 K (0th-2) d Xe  Cr (Tb )  (Tb ) (1  X e )  nb  ( 2 ) (Tb ) X e2 dt  (1st-1) (1st-2) (1st-3) ik   (1st-5) (1st-6) (1st-7)  flatの場合 K  0 １次 (1st-4)   R [ v b  3i 1 ] (1st-8) ik  (1st-9) How to Solve Equations 得られた方程式をどうやって解くか？直接、数値計算: CMBFAST, CAMB, CMBEASY, … 0.1%以下の高精度で、CMBの角度パワースペクトル、質量密度ゆらぎのパワースペクトルが、高速に求まるその前に… 初期条件観測量との対応初期条件得られた基礎方程式を解く際に、どんな初期条件を課せばよいか？十分過去にさかのぼると、 k  1 （輻射優勢期） • 断熱ゆらぎの条件 (i )  (i )  0 （ゆらぎの波長が、地平線スケールを超える） 0 (i )  N 0 (i )  (i ) / 2  (i )   b (i )  30 (i ) • 等曲率ゆらぎの初期条件 (i )  (i )  0  (i )  const., or  b (i )  const. 0 (i )  N 0 (i )  0. 観測量との対応：CMB • 観測から求まるもの：統計量として評価：温度マップ T ( ,  )   amYm ( ,  ) T  ,m アンサンブル a a * m  'm '   '  mm ' C 平均角度パワースペクトル一方、   T d 3k i kx0 ( pˆ ; x0 ,0 )   e (k , pˆ ; 0 ) • 理論計算から求まるもの： 3 T (2 ) 原始密度ゆらぎのスペクトル (※) C  2   0 dk k Pinit (k )   (k ;  0 ) 2 密度ゆらぎの初期振幅を1 に規格化 2 理論計算例  cdm  0.23 adiabatic  b  0.04    0.73 ( w  1) h  0.71 T /S 0 再イオン化なし重力レンズ効果なし isocurvature ns=1 (adiabatic) ns=2 (isocurvature) by CMBFAST4.5.1 Primary Anisotropy  Sachs-Wolfe(SW) effect （インフレーション時の）原始ゆらぎの情報を含む  Integrated Sachs-Wolfe (ISW) effect 宇宙膨張の変化に伴う重力ポテンシャルの動的変化  Acoustic oscillation 宇宙の曲率･バリオン密度に敏感  Diffusion damping CDM･バリオン密度に敏感 Primary Anisotropy & Cl Log scale Linear scale Acoustic oscillation Acoustic oscillation ISW effect SW effect Diffusion damping SW effect Integral solution 無視摂動方程式 (1st-1)： 1       (i k   )      i k     0   v b  P2 (  )   2   形式解 0 (k ,  ; 0 )   d e 0 i k ( 0 ) ~ e Sk ( , )  g ( )   e モーメントを取って部分積分：  (k ; 0 )   d g ( ) 0 (k , )  (k , )  j [k (0  )] 0 0 0  0 0 i vb d d g ( ) j [k (0   )] k d    (k , )    (k , ) j [k (  )]   d e   0 0 Visibility function & Optical depth Visibility function  Optical depth h g ( )   e  0    d ' a( ' )  T ne ( ' )  z  1100 Last scattering surface (最終散乱面)  Approximate Expression Visibility function のふるまいから、 (★) *  (k; 0 )  0 (k ,* )  (k ,* )  j [k (0 * )] ：最終散乱面の時刻 i vb  k 0  (  1) j [k (0  * )]   j 1[k (0  * )]   k (0  * )      (k , )    (k , ) j [k (  )]   d e   0 0 Integrated Sachs-Wolfe 項 (Recombination以後に効く) Early type Late type Large-scale Anisotropy (★) 式の第１，２項の評価をするため、摂動方程式 (1st-1) :   (i k   )       i k     0   v b  1 P2 (  )      2 長波長極限 (k→0) :     0 解 0 (* )   (* )  (i )     より、 0 (* )  (* )  2(* )  32 (i )  3 2 初期条件より 1  (* ) 3 断熱ゆらぎ  (* )  109 (i ) 2(* ) 等曲率ゆらぎ  (i )  0  これがいわゆる、「Sachs-Wolfe 効果」原始密度ゆらぎの痕跡  Simple Derivation of Factor 1/3 (W.Hu, Lecture note より) Small-scale Anisotropy 引き続き、 (★) 式の第１、２項の評価に戻って… 小スケールのふるまいに着目 k  1 : トムソン散乱が強く効く k   の状況で、摂動方程式 (1st-1) (1st-4) を見直すと、   k      0 1 (1st-1) モーメントを取った (1st-4) k 2k k i    1  0  2     1  v b  3 3 3 3   k  1      1    1     ;   2 2  1 2  1   i k   [ v b  3i 1 ] R  は無視 2 で   1 Tight-coupling Approximation   k      0 1 (1st-1) k k i    1  0     1  v b  3 3 3   3 b   R  (1st-4)  i k   [ v b  3i 1 ] 4r R R st v b  3i 1  [ v b  H v b  i k  ] (1 -4)  R   3 i H   i k ]  3i 1  [3i  1 1   (1st-1) 第２式に代入： k  H R   k     1 1 0 1 R 3(1  R) 3 (1st-1) 第１式を時間微分（d/d）した後、上式を代入し、 1 を消去 Acoustic Oscillation（１）調和振動子型の方程式に帰着： 2  R k      2 2 (0  )  (0  )  k cs (0  )     1 R 3  1 R  1 cs  : sound velocity of 3(1  R) baryon-photon fluid WKB近似解： 1 C1 cosk rs ( ) C2 sin k rs ( )  0 ( )  ( )  1/ 4 (1  R) k   '  1  R'  d '   '  sin k rs ( )  rs ( ' ) 1/ 4  0 3  1  R'  1  R 3/ 4 C1, C2 は任意定数  rs   d ' cs ( ' ) 0 : sound horizon Acoustic Oscillation（２） R, ,   const. と思うと、 (★) 式の第１項： (1  R)1/ 4 0    C1  (2  R) cosk rs ( ) C2 sin k rs ( )   (2  R)  2(1  R) 1/ 4   定数項 0   /  2 2 C1  13  14 C2  0 12 10 R 3 b  1 z   31.5 b h 2 T2.74   4r 1000   実線：波線： 8 6 4 2 2     振動項 4 6 k rs 8 10 12 b h2  0.02 b h2  0.04 奇数次と偶数次のピークの高さの比が、バリオン密度に依存して異なるコメント（１） • 断熱ゆらぎなら、cos型、等曲率ゆらぎなら、sin型 (C1  0, C2  0) (C1  0, C2  0) ピークの位置 kpeak rs (* )  n （断熱ゆらぎ） (n  12 )  （等曲率ゆらぎ） • 角度パワースペクトルに現れるピークの位置 cos or sin (※) 式より、 C    0 dk k Pinit (k ) 0 (* )  (* ) j k (0 * ) 2  peak ~ kpeak (0 * ) (注・ flat の場合） 2 コメント（２）（続き）一般には、  peak ~ kpeak  (1  z* )d A (0 ,* ) Comoving angular diameter distance 特に曲率パラメーター  K に敏感 • Diffusion damping Tight-coupling 近似の高次効果： 0 , 1 ~ e  k D2 ( )   0 ik rs ( )  ( k / k D ) 2 e  R '2 8  d ' 2 1 2 1/ 2   (  h ) (  h )   b m 6(1  R' )(' ) 1  R' 9  トムソン散乱によるゆらぎの減衰宇宙論パラメーター依存性（１）バリオン密度と音響振動 1st peak と 2nd peak の振幅比バリオン密度大断熱ゆらぎバリオン密度小宇宙論パラメーター依存性（２）曲率パラメーターと音響振動 Doppler peak の位置曲率大曲率小 Doppler peak の高さ断熱ゆらぎ密度パラメーター小密度パラメーター大バリオン振動との関係 Baryon acoustic oscillation (BAO) 質量密度ゆらぎのパワースペクトル P(k) に現れる振動脱結合前に、輻射と強く結合していたバリオンの音響振動の痕跡振動の空間スケールを“ものさし” にすれば、距離-赤方偏移関係がわかるダークエネルギーの性質 Percival et al. astro-ph/0608636 SDSS Main sample + LRG (77800個) Velocity overshoot effect パワースペクトル： P (k )  |  (k ) |2 脱結合後、 D1 ( ) Growing mode D2 ( ) Decaying mode CDM   CDM  b  b ∝D1 ( ) m m   D 2 D2    CDM  k Vb   D1 ( ) W ( D1 , D2 )  W ( D1 , D2 )      振動 dec Tight-coupling limit : vb ( )  3i 1  sin k rs ( ) （断熱ゆらぎのとき）   ( 0   )   1 ( )    sink rs ( ) k   Evolution of linear P(k) Secondary Anisotropy • 宇宙再イオン化 Zaldarriaga (1997) • 重力レンズ効果 Seljak (1996); Zaldarriaga & Seljak (1998) • Sunyaev-Zel’dovich (SZ) 効果 Komatsu & Kitayama (1999); Komatsu & Seljak (2002) • Ostriker-Vishniac (OV) 効果 • Rees-Sciama (RS) 効果 Variation of Angular Spectrum 再イオン化の影響    dt c T ne (t ) (Thomson optical depth) 重力レンズの影響レンズ効果なしレンズ効果あり Cl of secondary anisotropy (Hu & Dodelson 2002) 再イオン化を除くと、primary anisotropy を凌駕しうるのは、小スケールにおいてのみまとめ • CMB非等方性の物理：宇宙晴れ上がり時の物理素過程相対論的ボルツマン方程式大スケールのゆらぎの進化宇宙論的摂動 • CMB非等方性４つの効果：大角度 Sachs Wolfe 原始密度ゆらぎの情報 Integrated Sachs Wolfe ポテンシャルの時間変動 Acoustic oscillation 小角度 Diffusion damping バリオン密度・曲率パラメーターに敏感バリオン密度・ＣＤＭ密度に敏感付録 Legendre polynomial P0 ( )  1 定義     1 d 2 P ( )    1  2 ! d （漸化式） P1 ( )   1 P2 (  )  3 2  1 2 1 P3 (  )  5 3  3  2 1  (  1) P1 (  )   P1 (  )   P (  )  2  1 （積分公式） 1 2 1 d P ( ) P' ( )  2  1  ' More on Cosmological Dependencies Angular projection Late-time ISW Late-time ISW Baryon compression Early-time ISW Fiducial model parameters: Hu & Dodelson (2002)