プラズマ工学九州工業大学電気工学科趙孟佑 No.4 〜衝突〜参考書：真壁利明、プラズマエレクトロニクス、培風館 1 衝突断面積面積 A 分子の断面積分子密度n x+dx x 電子典型値 ~10-20m2 速度 v x=0 上に示された体積中の分子の数分子によって覆われる面積 dx進む間に衝突する確率 Nn  nAdx Nn  nAdx Nn nAdx   n dx A A 2 衝突電子ビーム x • 電子が同一の速度vでビームを構成していると仮定 • 分子と衝突すると、速度vを失ってビームから離脱する • dx進む間のビームを構成する電子の数の変化は dNe  Nen dx 一個の電子が衝突する確率 3 衝突電子ビーム x • x=0で電子の数をＮ0とすると dNe  Nen dx Ne  No exp n x  4 衝突断面積 Ne  No exp n x  • σは衝突断面積と呼ばれる • 代表値として、水素原子の円軌道半径 (ボーア半径）a0=5.29x10-11mを考える  a02  8.79 1021 m2 電子と原子・分子の衝突の場合、大体、10-20m2（Åの2乗）と考えて間違いはない。 5 平均自由行程 • 自由行程：ある衝突をしてから、次の衝突をするまでに空間を飛行する距離 Nen dx 自由行程がxからx+dxである確率 N0  Nen dx 自由行程の平均（期待）値 mfp   x N0 0   N0 exp n xdx 1 Nen dx mfp   x  n  x  N0 N0 n 0 0 λmfpを平均自由行程と呼ぶ 1 mfp  n 6 平均自由行程 • 電子ビームが散乱されずに残る数  x  Ne  No exp     mfp  こういう式でかけるものをポアッソン過程と呼ぶ 1 0.8 e N /N 0 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5 1 1.5 2 x/ 2.5 3 3.5 7 衝突周波数 • 平均自由行程を進むと1回は衝突する • 衝突と衝突の間の平均時間：衝突時間  col  mfp v  1 n v 単位時間に衝突を起こす回数:衝突周波数 col  1  col  v mfp  n v   nv 8 運動量保存 m1 v1 m1 m2 v2 v1’ m2 v2’ before collision after collision • 衝突している時間（10-16s秒程度）に、外力が働かない • 粒子の全運動量は保存される • 質量中心の速度の運動エネルギーが保存される 9 運動量保存 m1 v1 m1 m2 v2 v1’ m2 v2’ after collision before collision r r r' r' m v  m v  m v  m v 1 1 2 2 1 1 2 2 運動量保存 1 1 1 1 2 2 2 2 Ek  m1v1  m2v2  (m1  m2 )vg  vr エネルギー 2 2 2 2 r r 不変 r m1v1  m2v2 変化 v  g 質量中心速度 m1  m2 vg は衝突前後で変わらない r r r v 相対速度 r  v1  v2 もし、変わるものがあるとす m1m2  ると、相対速度vrだけが変わる換算質量 m1  m2 10 弾性 or 非弾性衝突前のエネルギー衝突後のエネルギー 1 2 1 '2 vr  vr  E 2 2 E  0 弾性衝突 E  0 非弾性衝突質量中心系 (運動エネルギーが内部エネルギーになる) E  0 非弾性衝突 (内部エネルギーが運動エネルギーになる) 11 微分断面積この面積への立体角 j B A dW  sinqdqdj q 質量中心系衝突断面積 Q 粒子が dWの立体角中に散乱される確率  d (q,j )dW  d (q,j ) 微分断面積 Q 12 運動量移行断面積 A 全衝突断面積運動量移行断面積運動量変化運動量変化の割合運動量を失う距離 B j q Q=  d (q,j )dW    0  2 0  d (q,j )sinqdqdj Qm = (1 cosq )d (q,j)dW p  p  pcosq  p(1 cosq ) p  (1 cosq ) p 1 粒子Aが粒子Bに運動量を与える nnQm 13 弾性衝突によるエネルギー移行 m1 m2 m2 m1 v1’ v1 v2’ before collision after collision Momentum: m1v1  m1v1'  m2v'2 1 2 1 '2 1 '2 Energy: E = m1v1  m1v 1  m2v 2 2 2 2 m2 ' ' v1  v2 - v1 m1 2m1 ' v2  v1 m1  m2 14 弾性衝突によるエネルギー移行 m1 m2 m2 m1 v1’ v1 v2’ before collision m2のエネルギー変化 after collision 1 4m1m2 1 '2 2 E  m2v 2  m v 1 1 2 2 2 m1  m2  エネルギー変化の割合 E m1 For m2  m1,  E m2 E 4m1m2  E m1  m2 2 質量差が大きいとき、僅かなエネルギーしかm1からm2に渡されない 15 平衡に達する時間 • プラズマを作った直後は、通常は電子の方が重い粒子（原子、分子、イオン）よりも温度（粒子一個一個の平均運動エネルギー）が高い • 平衡 – 電子と重粒子が同じ温度をもつ • 平均の並進運動のエネルギー=(3/2)κT – 各々の粒子は同様の運動エネルギーをもつ • 1回の衝突で電子(m1)から重粒子(m2)に僅かなエネルギーしか渡らない • 電子は m2/m1 回重粒子にぶつからないと両者の温度は等しくならない (m2/m1 > 1000) 平衡に達する時間： 1 E m2 1 m2  eq     E m1  m1nhQve 16 クーロン衝突（荷電粒子間衝突）電子散乱角正イオン (静止と見做せる）距離r0でのクーロン力 F  e2 4 or02 r イオンの周辺に居る時間 T  0 v 17 クーロン衝突運動量変化＝力x時間 (mv) = FT  e2 4or0v もし、電子が90o曲げられるとすると、 (mv)  mv mv  変形して、 e2 4or0v e2 r0  4o mv2 等しくおいて 4 e Cross section:  ei  r02  16o2 m2v4 ne4 Collision frequency: ei  nv  2 3 16o2 m v 18 クーロン衝突 4 e 衝突断面積  ei   r02  16o2 m2v4 ne4 衝突周波数 ei  n v  16o2 m2v3 マクスウェル分布をしているとすると、電子の速度は v  Te me で近似できる。 19 クーロン衝突 ei  e4 16 Te  2 o 2 90度曲げられる大きな散乱だけを考慮したが、実際には、小角度散乱が多数あるので、それの補正をする ei  e4 16 Te  2 o 2 ln  Coulomb logarithm 大体10程度 20 クーロン衝突 ei  e4 16 Te  2 o 2   12n3d ln は大体 10 ln  n:プラズマ密度 λD:デバイ長 From Chen 21 クーロン衝突 electron イオンの存在を知らない散乱なし electron 小角度散乱 d electron ion  r  F  exp   d  大角度散乱 22