分布関数 distribution fuction

補
Friction
Dynamic friction
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
v/vth
4
5
• Friction peaks at v=vthj
• v>>vthj friction increases with decreasing velocity (j=ions)
• v<< vthj friction decreases with decreasing velocity (j=electrons)
1
補） 2007.04.23
分布関数
distribution fuction
０．代表的教科書にみる分布関数の定義、
説明
• Maxwell 速度分布関数と統計分布関数
• Maxwell 速度分布関数、エネルギー分
布関数の実測
• 分布関数を使った巨視量の数学的表現
2
教科書にみる分布関数の定義と説明
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Landau 統計物理学理論物理学教程第５巻
Kittel 熱統計力学
Burkley物理学コース統計力学（久保亮五）
北原一男非平衡系の統計力学
鈴木増夫統計力学
小出昭一郎熱学
F. F. Chen Introduction to Plasma Physics
川崎恭治非平衡と相転移メソスケールの統計物理
森弘之統計物理学
3
ギブス分布
 E(p, q ) 
d  A e xp 
dpdq
T 

 U( q ) K ( p ) 
 A e xp 

dpdq
T
T 

 p2 
 U( q ) 
dpdq
 A e xp 
 e xp 
T 

 2m T 
2
2
2


p

p

p
 U( q ) 
x
y
z
dp dp dp dq
 A e xp 
 e xp 
x
y
z


T
2
m
T




4
2
2
2

px  py  pz 
1

dp xdp y dp z
dp 
exp
3/ 2


2
mT
2mT


Maxwell velocity distribution function
 m 
d v  

2

T


3/ 2

 m vx2  vy 2  vz 2
exp 

2T

dv dv dv


x
y
z
d v  d vx d vy d vz
1/ 2
 m 
d vx  

 2T 
 mvx 2 
dv x
exp 

2
T


5
Maxwell velocity distribution
function
 px2  py 2  pz 2 
dp xdp y dp z
dp  a exp 


2
mT


運動量に関する確率（密度分布）の総和が１であるというころから規格化定数
Aを決定する。

 px2  py 2  pz 2 
dp xdp y dp z  1
exp 


2
mT


dp  a 
関連する数学公式

 exp x dx 
2

1


 exp y dy 
2

6
重要な数学公式




I   exp  x dx 
2
2
0
１）直角座標(x,y) から極座標(r,qへの変換






I   exp  x dx   exp  y 2 dy
2
0
0


 
y

I    exp  x 2 exp  y 2 dxdy
2
0 0
 x, y 
r
 r, q 
, x  rcosq , y  rsinq
  /2
 
I    r exp  r 2 drdq
2
0
x
0 0



exp  x
 
dr 2
  exp  r
20
2


4

4
2

0
7
Maxwell Energy distribution function
(probability)
 m 
d v  4 

 2T 
3/ 2
 mv 2  2
 v dv
exp 
 2T 




1
1
2
2
2
E  m v x  v y  v z  m v2 ,
2
2
dE  m vdv,
dE
 dv
2m E
3/ 2
 m 
 E  2E dE
d E  4 
 e xp  
 2T 
 T  m 2mE
1
 E

e xp   EdE
3
 T
T
 
8
Ag原子の速度分布測定
9
カリウム原子の伝達関数
2


mv
3

v  f ( v )  v e xp 
 2T 
10
Neutral particle energy analyzer
1) Ion to neutral
Charge exchange

H H
0

 Hfast  Hslow
0
2) Neutral to ion
H H
0
0
2
fast

 Hfast  H 2  e
0
H2
Note: initial momentum (v||/v) is conserved
,but line integration effect
Hutchinson
11
CX
log F (E)
イオンのエネルギースペクトル測定結果
6
980625 (#67213-221)
5
NEAT
NEAP
4
3
2
0
2
4
6
E(keV)
8
10
磁力線に完全に垂直なイオン成分のエネルギースペクトルの観測
12
Zeeman split , H s spectrum
Δλdisp = 0.00546 nm/pixel (@ 656nm)
13
波長スペクトルを３温度成分を持つ水素原子のマックスウエル分布で近似したものが
実線の黒、+は観測値、
Beam injected CX energy spectrum
Tion
Kurimoto, Zushi 1997
14
微視的確率分布関数を用いた
巨視的物理量の期待値の計算
（平均値）
X(p) (p)dp

X(p) 

(
p
)
dp

+Ｘ方向平均速度
Ｘ方向平均速度の２乗
平均速さ
平均運動エネルギー
注意点：巨視的物理量の期待値<V>はもはや個々の粒子の速度vと
全く異なる物理的意味を持つ。
15
数学公式ＩＩ


I 0   e xp x dx 
2 
0



0
 2  
2
I
 exp  x dx  1


I n   x n e xp  x 2 dx
2




I 2   x 2 e xp  x 2 dx
0
I 0
   





  2   2 2  3
0



I 4   x 4 e xp  x 2 dx
0




1
1


K1   x e xp  x 2 dx 
e
xp

y
dy


2

2
0
0



K 3   x3 e xp  x 2 dx  
0
K1
  1 
1




  2  2 2
16



I   x n e xp  x 2 dx

( z )   e t dt, Re z  0
0
x  y , dx 
2


dy
0
2 y
部分積分より

I   x n e xp  x 2 dx
1
 
2
1
 
2
n 1 
2
 e xp y y
1 
 
2
n 1
2
これより、
 e xp t t
0
n 1
2
 n 1


 2 
(1)  1
(n  1)  n!
dy
半整数に対しては、公式
0
n 1 

2
( z  1)  z( z )
また、Z=1の場合は
0

t z 1
 n 1 

 1
 2 
dt
( z )(1  z ) 

sinz 
を用いて、
  5  1 3
1
3
    ,   
,   
 ,...
2
2
2
2
2

2
 
 
 
17
確率分布関数を用いた物理量の期待値
（平均値）
1/ 2
 m 
d vx  

 2T 
速度の２乗の平均

v
 v x 
2
x
d v


2
 d
0
1/ 2 
 m 


 2T 


 m vx 2 
dv x
exp 

2
T


 m vx 2 
dv x
v x exp 

 2T 
2
v
T
2
 v x   
m

 v d
x
 v x 


 d
v
1/ 2 
 m 


 2T 


 mvx 2 
dv x  0
v x exp 

2
T


v
0
 v x  0
18
速度の揺らぎと平均値
v x  v x   v x ,
 v x  v x   v x  v x    v x  0,
 v x   v x   v x    v x  2 v x  v x    v x  2  v x    v x  2 ,
2
2
2
2
1/ 2


1

d vx  
2 
 2  v x  
2


vx
dv x
exp 
2 
 2  vx  
19

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