4面体（正３角錐）の重心 〜重心を透視できる４面体づくり〜 ４面体断面見取り図づくり ４面体の断面４面体を作る • • 右上図は、４面体ABCD 右下図は、４面体ABCDをABM で切断し、 ４面体ABCMと４面 体ABDMの二つに ２等分したも の ３垂線は一点で交わる 三角形の重心は中線を２：１に内分する点 • 左上 △BCDの重心Hは、 BH：HM＝2：1 の点。 ・左下 ４面体の一面△の重心 切断面で考える 切断面に補助線を引く 補助線を引いて推論する △ABMにおいて AG2=BG1 より AB // G2G1 よって △ABM ∽ △G2G1M したがって AM： G2M＝3：1= AB： G2G1 （中点連結定理の拡張 により） さらに、△ABG ∽ △G2G1Gにより AG：GG1 =3：１ 以降、 辺の長さを用いて計算して４面 体の重心が垂線を３：１に内分 する点であることを検証するこ とになる。 三角錐の重心が３：１であることを計算で証明する 一辺を√２aとすると、BMは直角三角形BCMより、BM2+CM2=BC2 BM2=BC2- CM2 <*>△BCDにおいてBG1:G1M=2:1より =(√２a) 2-(√２a/2) 2 BG1=2BM/3=(2/3)(√6a/2 )= √6a/3 =3a2/2 (=AG2) BM=√3a/√2= √6a/2 (=AM) G1M=BM/3=(1/3)(√6a/2 )= √6a/6 <*へ続く> 垂線AG1=BG2は、 <**> AB:G2G1=3:1=AG:GG1により AG12=AM2-G1M2 AG = (3/4)AG1=3/4×2a/√3=√3a/2 = (√6a/2 )2-(√6a/6)2 GG1=(1/4) AG1= 1/4×2a/√3=√3a/6 =4a2/3 よって AG1=2a/√3 (AG/GG1) = (√3/2) a/(√3/6) a <**へ続く> = √3/2×6/√3=3/1
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