A. Perímetros y áreas de figuras semejantes. 1. Los perímetros de

C URSO: 4º A ESO MATERÍA: MATEMÁTICAS
HOJA DE TRABAJO
TÍTULO: SEMEJANZAS Y TRIGONOMETRÍA
FECHA DE REALIZACIÓN: 18 DE MAYO DE 2015
A. Perímetros y áreas de figuras semejantes.
1. Los perímetros de dos triángulos rectángulos semejantes son P = 36 cm y P´=45 cm. Calcula la
razón de semejanza y los lados del triángulo grande sabiendo que las longitudes de los catetos
del triángulo pequeño son 9 cm y 12 cm.
2. Dos rectángulos tienen por perímetros P = 28 cm y P´= 47´6 cm. Calcula la razón de semejanza
entre ellos y determina las longitudes de cada uno sabiendo que el ancho del rectángulo pequeño
mide 6 cm.
3. El perímetro de un triángulo isósceles es 64 m, y el lado desigual mide 14 m. Calcula el área de
un triángulo semejante cuyo perímetro es de 96 m.
4. Dos triángulos ABC y PQR son semejantes. Los lados del primero miden 24 m, 28 m y 34 m.
Calcula la medida de los lados del segundo triángulo sabiendo que su perímetro es 129 m
3. Dos figuras semejantes tienen superficies A = 40 cm2 y 57´6 cm2. Calcula la razón de semejanza
y la longitud de uno de los lados de la figura grande sabiendo que su lado homólogo en la figura
pequeña mide 6´5 cm.
4. Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 13,6 cm, respectivamente. Si el
área del primero es 26 cm2, ¿cuál es el área del segundo?
5. Las áreas de dos triángulos isósceles semejantes son 48 m2 y 108 m2. Si el lado desigual del
primer triángulo es 12 m, ¿cuál es el perímetro del segundo?
6. Un triángulo rectángulo tiene por catetos 4 cm y 3 cm. Sabiendo que se quiere construir otro
semejante y más grande cuya área sea de 96 cm2, calcula la hipotenusa del triángulo semejante
de mayor área.
B. Teorema de Tales, del cateto, de la altura y de Pitágoras.
7. En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH sobre la
hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y
8. Calcula la longitud de los lados desconocidos de los siguientes triángulos rectángulos con ángulo
recto en el vértice B.
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HOJA DE TRABAJO
TÍTULO: SEMEJANZAS Y TRIGONOMETRÍA
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9. Halla el perímetro del triángulo ABC del que conocemos AH = 9 cm, BH = 12 cm.
10. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 12 m y su proyección sobre la hipotenusa
mide 7,2 m. Calcula el área y el perímetro del triángulo.
C. Trigonometría básica. Ejercicios y problemas.
11. Calcula todas las razones trigonométricas de los ángulos agudos α y β dados en las siguientes
figuras:
12. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos,
B = 37º, y su hipotenusa mide a = 5’2 m.
13. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: uno de sus ángulos
B = 29º, y el cateto opuesto, b = 4’5 m. (Solución: C = 61º, a = 9’29 m, c = 8’12 m)
14. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: uno de sus ángulos,
B = 51º, y el cateto contiguo, c = 7’3m. (Solución: C = 39º, b = 9’01m, a = 11’60m)
15. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conocen: la hipotenusa,
a = 4’6m, y un cateto, c = 3’1m. (Solución: b = 3’40m, B = 47º37’24”, C = 42º22’35”.)
16. Una escalera de está apoyada en una pared de tres metros de altura haciendo un ángulo con la
horizontal de 60º ¿Cuánto mide la escalera?, ¿a cuánto está el extremo inferior de la escalera de la
pared?
17. Cuando los rayos del sol forman 40° con el suelo, la sombra de un árbol mide 18 m. ¿Cuál es su
altura?
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TÍTULO: SEMEJANZAS Y TRIGONOMETRÍA
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18. Un barco está a una distancia de 2000 m, de una isla en la que se erige un faro. El ángulo
respecto a la horizontal desde el que el barco ve la luz del faro es de 30º. ¿Calcula la altura
del faro?
19. Calcula la altura de un árbol que a una distancia de 10 m se ve bajo un ángulo de 30º.
20. Los brazos de un compás, que miden 12 cm, forman un ángulo de 50°. ¿Cuál es el radio de la
circunferencia que puede trazarse con esa abertura?
21. Desde un barco se ve el punto más alto de un acantilado con un ángulo de 74º. Sabiendo que la
altura del acantilado es de 200 m, ¿a qué distancia se halla el barco del pie del acantilado?
(Solución: 57,35 m)
22. Cuatro cables sujetan desde el suelo una torreta vertical de telecomunicaciones. Si cada cable mide
150 m y hacen con la horizontal un ángulo de 65º. ¿Cuánto mide la torreta?
23. El ángulo con un determinado avión está tomando tierra es de 20º respecto a la horizontal. Si se
encuentra a 3.000 m de altura en el momento en que pasa por encima de mí, ¿a qué distancia respecto
de mí, aterrizará el avión?
24. Un compás traza una circunferencia de 4 cm de diámetro bajo un ángulo de apertura de 10 º.
¿Cuánto miden los brazos del compás?
25. Estoy en un Ferry a una distancia de 200 m de la estatua de la libertad. Veo la corona de la estatua
desde un ángulo de 25º aproximadamente. ¿Cuál es la altura de la estatua de la libertad?
26. En un triángulo isósceles el lado correspondiente al ángulo desigual mide 7,4 m y uno de los
ángulos iguales mide 63º. Halla la altura y el área. (Solución: h = 7,26 m, S = 26,86 m2)
27. Un chico está haciendo volar su cometa y ha soltado la totalidad del hilo, 47 m. En ese momento
observa que el ángulo que forma la cuerda con el suelo es aproximadamente de 50º. ¿A qué
altura se encuentra la cometa? (Sol: 33´23 m)
28. Desde lo alto de un faro colocado a 40 m sobre el nivel del mar se ve un barco formando un
ángulo de 55º con la horizontal. ¿A qué distancia se halla el barco? (Sol: 28 m)
29. Con un compás hemos realizado una circunferencia de 10 cm de radio. Si el ángulo de abertura
de las ramas es de 25º, ¿Cuánto miden las ramas de dicho compás?
30. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos, una vez abiertos al máximo,
formen un ángulo de 60º. Si la altura de la escalera, estando abierta al máximo, es de 2 metros,
¿Qué longitud deberá tener cada brazo? (Sol: 2´31 m)
D. Problemas de doble observación
31. Andrea ve un árbol con un ángulo de visión de 30º respecto a la horizontal. Al acercarse 20 m al
árbol, su ángulo de visión cambia a 50º. Calcula la altura del árbol.
32.Queremos conocer el ancho de un río y la altura de un árbol inaccesible que está justo en la orilla
contraria a la nuestra. Para ello nos situamos en la orilla del río y vemos la copa del árbol bajo un
ángulo de 41º. A continuación retrocedemos 25 m y vemos ahora el árbol bajo un ángulo de 23º.
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33. Hallar el ancho del río y la altura del árbol. (Sol: La anchura del río es 23´86 m y 20´74 m la
altura del árbol).
34. Una antena está sujeta al suelo por dos cables de acero como
indica la figura. Calcular la altura de la antena y la longitud
de los cables. (Sol: 79´88 m; 92´24 m y 112´97 m)
35. Desde un cierto punto del suelo se ve el punto más alto de
una torre formando un ángulo de 30º con la horizontal. Si
nos acercamos 75 m hacia el pie de la torre, este ángulo se
hace de 60º. Hallar la altura de la torre. (Sol: 64´95 m)
36. Desde un barco se ve la cima de un acantilado bajo un ángulo de 70º respecto a la horizontal. Al
alejarse 100m, dicho ángulo disminuye a 30º. Hallar la altura del acantilado. (Sol: 73´10 m)
37. Dos edificios gemelos distan 150 m. Desde un punto que está entre ellos vemos que las visuales
a los puntos más altos forman con la horizontal ángulos de 35º y 20º respectivamente. Hallar la
altura de ambos edificios. ¿A qué distancia estamos de cada edificio?, ¿Cuánto mide cada
edificio? (Sol: 35´9 m; 51´3 m; 98´7 m respectivamente)
E. Problemas sobre cálculo de ángulos e inclinaciones.
38.Una escalera está apoyada contra la pared. ¿Cuál será su inclinación si su base dista 2 m de la
pared? (Sol: 60º)
39. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: la hipotenusa,
a = 5’7m, y un cateto, b = 4’6m. (Solución: C = 36º 11´ 40´´; B = 53º48’19”. c = 3’37m.)
40. En una carretera inclinada, cada 100 m de carretera que recorremos, subimos una altura de 2 m.
¿Qué ángulo de inclinación tiene la carretera?
41. Halla los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo del que se conoce: los dos catetos,
b = 3’5m y c = 2’8m. (Solución: B = 51º20’24”, a = 4’48m, C = 38º39’35”)
42.Si las puntas de un compás abierto, distan 6´25 cm y cada rama mide 11´5, ¿qué ángulo forman
dichas ramas? (Sol: 31º 32´)
43.Si la sombra de un poste es la mitad de su altura, ¿Qué ángulo forman los rayos del sol con el
suelo? (Solución: 63º 26’ 6”)
44.Calcular los ángulos de un rombo de diagonales 12 y 8 cm (Sol: 112º 37´ y 67º 23´)
45. Calcula la inclinación los cables de un teleférico que sube al Teide, montaña que mide 3555 m
de altura si estos se extienden sobre longitud de 2482 m.
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