PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN 1º BACH. 1. El área de un rectángulo es de 100 cm2. Si queremos que tenga el menor perímetro posible ¿cuáles son sus dimensiones? 2. Un jardinero quiere construir un jardín en forma de sector circular de 40 m de perímetro ¿Cuál debe ser el radio para que la superficie sea máxima? 3. Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿Cuál es el que tiene la diagonal menor? 4. Se desea construir una lata en forma de cilindro de área total 150 cm 2 y de volumen máximo. Determina su generatriz y su radio 5. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 80 cm3.Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 1€/cm2 y para la base se emplea un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de la caja para que su coste sea mínimo. 6. En un museo un cuadro de 1,5 m de alto está situado a una altura de 1,2 m sobre el suelo ¿A qué distancia debe colocarse el observador para ver el cuadro? 7. Descompón el número 44 en dos sumandos tales que la suma del quíntuplo del cuadrado del primero más el séxtuplo del cuadrado del segundo sea mínima. 8. Halla un número positivo cuya suma con 25 veces su recíproco sea mínima. 9. ¿Cuál es la ecuación de la recta que, pasando por el punto (1,2), determina en las regiones positivas de los ejes un triángulo de área máxima? 10. Se desea construir una lata de conserva en forma de cilindro circular recto que tenga una superficie total de 200 cm2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen sea máximo. 11. Un triángulo rectángulo gira alrededor de uno de sus catetos engendrando un cono. Sabiendo que la suma de sus catetos es de 5 m, halla las dimensiones del triángulo que engendra el cono de volumen máximo. 12. De todos los triángulos isósceles cuya base y altura suman 20m ¿Qué base tiene el de área máxima? 13. Se dispone de 1500 € para vallar un terreno rectangular colindante con un camino recto. Si el precio de la valla que ha de ponerse en el lado del camino es de 5 €/m y el de la valla de los restantes lados es de 1 €/m, ¿cuáles son las dimensiones y el área del terreno rectangular de área máxima que se puede vallar? 14. Calcula la altura que de de tener un cilindro inscrito en una esfera que tiene 6 m de diámetro, para que su volumen sea máximo, de entre todos los inscritos en ella 15. Un recinto está formado por un rectángulo y un semicírculo que tiene por diámetro uno de los lados del rectángulo. El área del recinto es de 5 m 2 Calcula las dimensiones para que el perímetro sea mínimo. 16. Dado un cuadrado de 1m de lado, calcula, de entre todos los cuadrados inscritos en en el anterior, la longitud del lado del cuadrado de área mínima. 17. Halla las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles de 10cm de base y 15 cm de altura. 18. Halla el punto de la curva y2=6x cuya distancia al punto (4,0) sea mínima. 19. La base mayor de un trapecio rectángulo mide 7 cm y el lado oblicuo tiene una longitud de 6cm. Calcula la altura que haga máxima el área del trapecio. 20. Dada una lamina rectangular de longitudes 2 y 1 m, respectivamente, calcula las dimensiones de la caja abierta que se puede construir cortando en las cuatro esquinas un cuadrado para que el volumen sea máximo. 21. Se quiere construir un marco para una ventana de 1 m2 de área. Si el coste del marco es de 25 euros por cada metro de altura y 80 euros por cada metro de anchura ¿Cuáles son las dimensiones del marco más económico?