Solucionario 2015 - Olimpiadas Costarricenses de Matemática

´
XXVII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMATICA
UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT
´ PRIMERA ELIMINATORIA
SOLUCION
NACIONAL
F
C
B
x
D
G
H
A
E
II Nivel
(8◦ − 9◦)
2 015
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
1. Si m =
√
n
II Nivel
42−n el valor num´erico de (4m)
3n
2
corres-ponde a
(a) 2
(b) 4
(c) 16
(d) 64
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on:
(4m)
√
3n
n
2
4 42−n
3
= 4n · 42−n 2
3
= 42 2
3n
2
=
= 64
2. Se saca una carta de una baraja de 52 naipes, sin volver a reponer esta, luego se saca otra. La
baraja tiene 26 cartas rojas. Si la primera carta que se sac´o es roja, la probabilidad de que la
siguiente tambi´en lo sea es
25
51
25
(b)
52
26
(c)
51
26
(d)
52
(a)
• Opci´
on correcta: a)
• Soluci´
on:
Una baraja cuenta con 52 cartas, de las cuales 26 son rojas, si sacamos una carta roja y no
la reponemos, de las 51 cartas que quedan en la baraja 25 son rojas.
Por lo que la probabilidad de que la siguiente carta tambi´en sea roja es de 25
51 .
1
b+1
1
3. Al efectuar b −
÷ 2 − −2 se obtiene
b
b
b
(a) 1
(b) b
(c) −1
(d) −b
1
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on:
1
b−
b
÷
b+1
1
− −2
b2
b
b2 − 1
b2
·
− b2
b
b+1
b2
(b + 1) (b − 1)
·
− b2
=
b
b+1
= (b − 1) b − b2
=
= b2 − b − b2
= 9−b
4. Un n´
umero entero n se multiplica por 5 o 6, luego se le suma 5 o 6 al resultado, despu´es se le
vuelve a sumar 5 o 6 al resultado anterior y, finalmente, se le resta 5 o 6 al u
´ltimo resultado y
se obtiene 78. Entonces el n´
umero n es
(a) 10
(b) 12
(c) 14
(d) 15
• Opci´
on correcta: b)
• Soluci´
on:
Se obtuvieron 4 resultados antes de 78. En el cuarto los n´
umeros podr´ıan ser 83 o 84, en
el tercero 77, 78 o 79, en el segundo 71, 72, 73 o 74 y como el primer resulatdo es m´
ultiplo
72
de 6 o 5, la u
´nica posibilidad es 72. Por lo tanto, n =
= 12.
6
5. En una helader´ıa se ofrecen 13 sabores de helado y dos tipos de cobertura. La cantidad de
formas en que se pueden combinar los sabores al comprar un cono con dos bolas de helado y
una cobertura es
(a) 133
(b) 169
(c) 263
(d) 338
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on:
Para los sabores podemos escoger los sabores del helado y luego la cobertura de las siguientes
maneras 13 · 13 · 2 = 338
2
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
2x2 − 8
√
es equivalente a
1− x−1
√
(x + 4) 1 + x − 1
√
(x − 4) 1 − x − 1
√
2 (x − 2) 1 − x − 1
√
−2 (x + 2) 1 + x − 1
6. La expresi´
on
(a)
(b)
(c)
(d)
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on:
Racionalizando:
2x2 − 8
√
1− x−1
=
=
=
=
√
2x2 − 8
1+ x−1
√
√
·
1− x−1 1+ x−1
√
2(x2 − 4)(1 + x − 1)
1 − (x − 1)
√
2(x − 2)(x + 2)(1 + x − 1)
2−x
√
−2(x + 2)(1 + x − 1)
7. Cuatro amigas (Ana, Cristina, Diana y Elsa) se re´
unen durante el recreo para comer. Cada una
trajo exactamente un refresco y una fruta. Si sabemos que:
•
•
•
•
•
Ana y Elsa no trajeron refresco de lim´on.
Dos amigas son hermanas y trajeron todo igual.
Hubo exactamente una muchacha que trajo refresco de lim´on.
Elsa y Cristina son las u
´nicas que trajeron, cada una, una pera.
Exactamente una trajo un lim´
on y refresco de lim´on.
Entonces, las hermanas son
(a)
(b)
(c)
(d)
Cristina y Elsa
Cristina y Diana
Ana y Cristina
Elsa y Diana
• Opci´
on correcta: a)
• Soluci´
on:
Ana y Elsa no trajeron refresco de lim´on, por lo que dicho refresco lo trajo Diana o
Cristina. Pero como Cristina trajo una pera y quien trajo refresco de lim´on trajo tambi´en
un lim´
on, entonces Diana trajo fresco de lim´on. Por lo tanto, diana no es una de las
hermanas.
Ahora bien, Ana no trajo una pera, por lo que no puede ser hermana de Elsa o de Cristina.
Por lo tanto, Elsa y Cristina son hermanas.
3
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
8. En la figura adjunta l1 k l2 . Si m∠y = m∠x − 20◦ , entonces m∠x es
x
(a) 25◦
l1
(b) 45◦
l2
y
(c) 65◦
(d) 70◦
110°
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
En la figura se colocan las medidas de los tres ´angulos internos de un tri´angulo. Si a
representa la medida en grados del ´angulo x, se tienen las tres medidas en menci´on: a por
ser opuesto por el v´ertice, 70◦ por ser ´angulo suplementario y a − 20◦ por ser ´angulo alterno
interno.
a
l1
a
l2
a-20°
a-20°
70°
110°
Luego, a + 70◦ + a − 20◦ = 180◦ ⇒ a =
180◦ − 50◦
= 65◦ .
2
9. Al vestirse una persona debe seleccionar entre 4 camisas (una azul, una gris y dos verdes) y 3
pantalones (uno negro y dos azules). La probabilidad de que este d´ıa la persona vista una camisa
gris es
1
4
1
(b)
3
2
(c)
3
1
(d)
12
(a)
• Opci´
on correcta: a)
• Soluci´
on:
De entre cuatro camisas puede elegir tres colores disponibles, mientras que entre tres pantalones puede elegir entre dos colores. Por lo que las formas en que puede combinar los
colores son 3 · 4 = 12, de entre los cuales, hay 3 formas de vestir camisa gris, o con el
pantal´
on negro o con alguno de los azules.
3
Por lo que la probabilidad de que vista una camisa gris es de 12
= 14
4
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
√
√
2a b − 2b a
a+b
√ +
es equivalente a
10. La expresi´
on √
a−b
a+ b
(a)
(b)
√
√
√
a+
a−
√
b
b
(c) a + b
(d) a − b
• Opci´
on correcta: a)
• Soluci´
on:
Racionalizando:
√
√
a+b
2a b − 2b a
√ +
√
a−b
a+ b
√
√
√
√
a − b 2a b − 2b a
a+b
√ ·√
√ +
√
a−b
a+ b
a− b
√
√
√
√
√
√
a a − a b + b a − b b 2a b − 2b a
+
a−b
a−b
√
√
√
√
a a+a b−b a−b b
a−b
√
√
√
√
a( a + b) − b( a + b)
a−b
√
√
√
(a − b)( a + b) √
= a+ b
a−b
=
=
=
=
=
11. Sea n un n´
umero par m´
ultiplo de 7 y menor que 1 000, tal que la suma de sus d´ıgitos es 23 y su
residuo al dividirlo por 5 es 1. La cantidad de n´
umeros n que cumplen con lo anterior es
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
• Opci´
on correcta: b)
• Soluci´
on:
Como al dividirlo por 5 su residuo es 1 y es un n´
umero par, entonces el d´ıgito de las
unidades es 6. Ahora, como la suma de los d´ıgitos es 23 y es menor que 1000, debe ser de
3 d´ıgitos y uno 6 entonces, la suma de los otros dos es 17 por lo que al ser d´ıgitos son 9 y
8. Por u
´ltimo, los posibles n´
umeros son 986 y 896, donde el m´
ultiplo de 7 es 896. Por lo
tanto, el u
´nico valor de n es 896.
5
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
12. En la figura adjunta AB = x, AC = x − 1 y BC = x + 1, con certeza a − b es
C
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 5
A
B
a
b
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Con base en el teorema de Pit´
agoras,
(x + 1)2 − a2 = (x − 1)2 − b2
⇒ x2 + 2x + 1 − a2 = x2 − 2x + 1 − b2
⇒ 4x = a2 − b2
⇒ 4x = (a − b) (a + b)
Luego, dado que AB = x = a + b, se concluye que 4 = a − b.
4a b −1
−
b
a
13. Al efectuar se obtiene como resultado
4a
b −1
−4+
b
a
(a) 1
(b) −1
2a − b
(c)
2a + b
2a + b
(d)
2a − b
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
4a b −1
−
b
a
4a
b −1
−4+
b
a
=
=
=
=
6
4a
b
−4+
b
a
4a b
−
b
a
4a2 − 4ab + b2
ab
4a2 − b2
ab
(2a − b)2
(2a − b)(2a + b)
2a − b
2a + b
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
14. Se define el n´
umero Sn = 11 + 22 + 33 + · · · + nn . Entonces el d´ıgito de las unidades del n´
umero
S10 corresponde a
(a) 2
(b) 3
(c) 7
(d) 9
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Basta con sumar el d´ıgito de las unidades de cada potencia 11 , 22 , 33 , · · · , 1010 . De 11 es 1, 22
es 4, 33 es 7, 44 es 6, 55 es 5, 66 es 6, 77 cada 4 potencias se repiten los d´ıgitos 7, 9, 3, 1 por lo
que es 3, 88 cada 4 potencias se repiten los d´ıgitos 8, 4, 2, 6 por lo que es 6, 99 cada 2 potencias
se repiten los d´ıgitos 9, 1 por lo que es 9 y 1010 es 0. As´ı, 1+4+7+6+5+6+3+6+9+0 = 47.
Por lo tanto, el d´ıgito es 7.
15. En un edificio de apartamentos viven 105 personas; de ellas, el n´
umero de parejas casadas es la
tercera parte del n´
umero de hombres solteros y el n´
umero de mujeres solteras es el doble del
n´
umero de hombres casados. El n´
umero total de hombres que viven en el edificio es
(a) 15
(b) 30
(c) 45
(d) 60
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on: Sea x el n´
umero de parejas casadas, observe que:
G´enero
Hombres
Mujeres
Casados
x
x
Solteros
3x
2x
Entonces x + x + 3x + 2x = 105, de donde x = 15
Genero
Hombres
Mujeres
Casados
x = 15
x = 15
Por tanto hay 60 hombres
7
Solteros
3x = 45
2x = 30
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
16. En la sala de espera de un banco entregan fichas a sus clientes; a continuaci´on se presentan tres
de estas fichas consecutivas
13
7
25
D
B
2
5
G
11
La ficha que sigue en la secuencia es
49
K
(a)
23
33
K
(b)
19
49
I
(c)
23
49
H
(d)
19
• Opci´
on correcta: a)
• Soluci´
on:
Al tomar el abecedario y marcar las letras que se encuentran en las primeras fichas vemos
como se lleva a cabo la escogencia de estas, y que la siguiente en la lista es la K.
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M
En la suceci´
on de la esquina superior derecha observe que cada n´
umero es el doble del
anterior, reducido en una unidad
En cuanto a la sucesi´
on inferior izquierda, cada n´
umero es el doble del anterior, aumentado
en una unidad.
Y as´ı tenemos todos lo datos de la ficha, siendo la respuesta
49
K
23
8
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
←→
17. En la figura adjunta DE es la mediatriz del ∆ABC sobre el lado AC y m∠BDA = 50◦ . La
medida, en grados, del ∠BCA es
C
(a) 15
D
B
(b) 25
E
(c) 30
(d) 45
A
• Opci´
on correcta: b)
• Soluci´
on:
←→
Como DE es mediatriz del ∆ABC, se tiene que EC = EA y DC = DA.
Esto u
´ltimo indica que el ∆ADC es is´osceles, por lo que m∠DCA = m∠DAC = 25◦ , ya
que el ´
angulo externo ∠BDA mide lo mismo que la suma de estos dos ´angulos internos no
adyacentes a ´el.
C
D
B
25°
50°
E
25°
A
18. Sea an el t´ermino n en la sucesi´
on 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .
Sea bn el d´ıgito de las unidades de an . Con ellos formamos una nueva sucesi´on 1, 3, 6, 0, 5, 1, . . .
El t´ermino 2 015 en la sucesi´
on bn es
(a) 9
(b) 5
(c) 1
(d) 0
• Opci´
on correcta: d)
• Soluci´
on:
La clave es notar que los elementos de la sucesi´on an se obtienen al sumarle n al elemento
anterior, lo que hace que la sucesi´on an se pueda expresar como
an =
n(n + 1)
.
2
De ah´ı vemos que la pregunta se transforma en encontrar el d´ıgito de las unidades de a2015 ,
por lo que vemos que
2015(2016)
a2015 =
= 2015(1008),
2
que es un m´
utliplo de 10 por lo que su u
´ltimo d´ıgito es 0.
9
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
19. El n´
umero entero positivo n es tal que la suma de los cuadrados de sus d´ıgitos es 50 y cada
d´ıgito es mayor que el d´ıgito a su izquierda. El producto de los d´ıgitos del menor n que es un
n´
umero compuesto corresponde a
(a) 7
(b) 25
(c) 36
(d) 48
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Los cuadrados de los posibles d´ıgitos que suman 50 son 1, 4, 9, 25, 36 y 49, de los cuales
suman 50 los siguientes 1 + 49, 25 + 25 y 1 + 4 + 9 + 36. As´ı, los n´
umeros seg´
un la otra
condici´
on de los d´ıgitos son 17, 55 y 1236, de donde el producto de los d´ıgitos del menor
n´
umero compuesto es 1 · 2 · 3 · 6 = 36.
20. Sea ∆ABC is´
osceles, tal que AC = BC = 20 cm y sea D un punto cualquiera de AB (distinto
de A y distinto de B). Por D se trazan una recta paralela a AC que corta a BC en E y una
recta paralela a BC que corta a AC en F . El per´ımetro, en cent´ımetros, del CEDF es
(a) 20
(b) 30
(c) 40
(d) 50
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Los ´
angulos ∠BAC y ∠ABC son congruentes, pues ∆ABC es is´osceles; sea α la medida
de dichos ´
angulos.
Dado que DF k BC y DE k AC, se cumple que ∠F DA ∼
= ∠CBA y ∠BAC ∼
= ∠BDE por
ser, respectivamente, ´
angulos correspondientes entre paralelas; todos estos con medida α.
As´ı, son is´
osceles tambi´en los tri´angulos ∆AF D y ∆DEB.
C 20-y E
y
B
y
20-x
x
F
D
x
A
Sea F A = F D = x, ED = EB = y.
El per´ımetro del CEDF = (20 − y) + y + x + (20 − x) = 40.
10
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
21. Si la suma de dos n´
umeros es 2 y su producto es −2, entonces la suma de los cuadrados de dichos
n´
umeros corresponde a
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 10
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Sean x, y seg´
un las condiciones del problema, es decir x + y = 2, xy = −2.
x + y = 2 ⇒ (x + y)2 = 4
⇒ x2 + 2xy + y 2 = 4
⇒ x2 + 2(−2) + y 2 = 4
⇒ x2 + y 2 = 8
22. Sean a, b, c, d y e n´
umeros naturales consecutivos cuya suma es un cubo perfecto y b + c + d es
cuadrado perfecto. La suma de las cifras del menor c es
(a) 17
(b) 18
(c) 19
(d) 20
• Opci´
on correcta: b)
• Soluci´
on:
Sean c−1, c−2, c, c+1, c+2 los cinco consecutivos. Entonces c−1+c−2+c+c+1+c+2 = m3
con m entero ⇒ 5c = m3
c − 1 + c + c + 1 = n2 con n entero ⇒ 3c = n2
As´ı, para que se cumpla, la descomposici´on can´onica de c es 3α 5β y el menor valor de c se
obtiene cuando α = 3 y β = 2. Por lo tanto, c = 33 · 52 = 675 y la suma de sus cifras es 18.
23. Sea abcd un n´
umero de cuatro d´ıgitos tales que
abcd + 7911 = bcda
La cantidad de n´
umeros que cumplen lo anterior es
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
11
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
• Opci´
on correcta: b)
• Soluci´
on:
Como bcda es un n´
umero de cuatro cifras, entonces a = 1 o a = 2.
Caso 1. Si a = 1, 1bcd + 7911 = bcd1 de donde d = 0 pues d + 1 termina en 1, c = 9 pues
c + 1 termina en d = 0. As´ı, 1b90 + 7911 = b901 y b = 9 pues 9 + 1 + b termina en 9 y
7 + 1 + 1 = b. Por lo tanto, abcd = 1990.
Caso 2. Si a = 2, 2bcd + 7911 = bcd2 de donde d = 1 pues d + 1 termina en 2, c = 0 pues
c + 1 termina en d = 1 ⇒ 2b01 + 7911 = b012 y no existe b que cumpla la condici´on.
Por lo tanto, 1990 es la u
´nica soluci´on.
24. Sea el ∆ABC tal que D es el punto medio de AB, E es el punto medio de DB y F es el punto
area del ∆ABC es 72 cm2 , entonces el ´area en cm2 del ∆AEF es
medio de BC. Si el ´
(a) 18
(b) 24
(c) 27
(d) 36
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Dado que F es el punto medio de BC, la altura h del ∆AEF de F a AE es la mitad de la
altura H del ∆ABC de C a AB.
C
F
H
A
h
D
La base AE del ∆AEF mide
E
B
3
· AB, pues D es el punto medio de AB y E es el punto
4
medio de DB; as´ı,
´
Area
del ∆AEF
=
=
=
=
12
1
· AE · h
2
1 3
1
· AB
·H
2 4
2
3 1
· AB · H
8 2
3
· 72 = 27
8
I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on
II Nivel
25. Considere el ∆ABC de la figura adjunta, donde F es el punto medio de CB, G es el punto medio
de AC, H es un punto cualquiera de AB con E y D tales que AE = EH y HD = DB. Si h
representa la medida en cent´ımetros de la altura del ∆ABC sobre el lado AB y AB = 20 cm, el
´area, en cent´ımetros cuadrados del ∆AEG, es
(a) h (10 − x)
F
C
B
h
(b) (10 − x)
x
2
D
G
h
(c) (10 − x)
4
H
h
E
(d) (10 − x) A
8
• Opci´
on correcta: c)
• Soluci´
on:
Considere las alturas de los tri´angulos ∆ABC y ∆AEG sobre las bases respectivas AB y
AE. Como G es el punto medio de AC, la altura de medida h1 del ∆AEG es la mitad de
la medida de la altura h del ∆ABC.
F
C
h
B
x
D
G
x
H
A
E
20-2x
Dado que DB = x = HD y AB = 20 − 2x cm, se tiene que AH = 20 − 2x, por lo que la
1
base AE del ∆AEG mide (20 − 2x) = 10 − x.
2
1
1
h
h
Luego, el ´
area del ∆AEG = · AE · h1 = · (10 − x) · = (10 − x).
2
2
2
4
13

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