Aplicaciones de polinomios ortogonales en óptica

Polinomios de Zernike para
representar la
Aberración de un Frente de Onda
Daniel Malacara-Hernández Centro de Investigaciones en Optica, A. C. Junio, 2015 Aberraciones del Ojo Humano
Frente de onda esferico
Frente de onda aberrado
Frente de onda plano
Ojo ideal, perfecto
Ojo con aberraciones
Patrón de Shack-Hartmann
en un ojo humano
Ejemplos de frentes de onda
aberrados
Imagen de Hartmann de una córnea humana
Polinomios de Zernike
• Los polinomios de Zernike para representar
aberraciones del frente de onda se han usado
durante muchos años.
• En el año 2000 se adoptó su uso en optica
oftálmica como el standard.
• Hay muchas ventajas pero también
desventajas en su representación.
Algunas ventajas y desventajas
• Los polinomios de Zernike son ideales para
extraer las características de orden bajo del
frente de onda.
• Fallan en preservar las componentes de alta
de frecuencia espacial del frente de onda.
Representacion del frente de onda
con polinomios de Zernike
M
W ( ρ , θ ) = ∑ an Z n ( ρ , θ )
n =0
Zn(ρ, θ) es un polinomio de grado n
Polinomios de Zernike
Polinomios de Zernike
Minimización por mínimos cuadrados
Los coeficientes a se obtienen minimizando las
desviaciones dentro de la pupila con semi-diámetro
unitario:
2π
ε=
1
M
2
⎛
⎞
a
Z
(
ρ
,
θ
)
W'
−
n n
⎟ ρ d ρ dθ
∫θ =0 ρ∫=0 ⎜⎝ ∑
n =0
⎠
haciendo:
2π
1
∂ε
⎛ M
⎞
= 2 ∫ ∫ ⎜ ∑ an Z n ( ρ ,θ ) − W' ⎟Z k ( ρ ,θ ) ρ d ρ d θ = 0
∂ak
⎠
θ = 0 ρ = 0 ⎝ n = 0
Sistema lineal de ecuaciones
Sistema de M ecuaciones:
2π
1
2π
M
1
∫θ ρ∫ ∑ a Z ( ρ ,θ )Z ( ρ ,θ ) ρ d ρ dθ = θ∫ ρ∫ W'Z ( ρ ,θ ) ρ d ρ dθ
n
=0 =0 n =0
n
k
k
=0 =0
Orthogonalidad de los polinomios de
Zernike
Si los polinomios de Zernike satisfacen la condición
de ortogonalidad:
2π
1
M
∫θ ρ∫ ∑ Z
n
( ρ ,θ )Z k ( ρ ,θ ) ρ d ρ d θ = Cn δ n ,k
=0 =0 n =0
Por lo tanto, la matriz del sistema es diagonal.
Coeficientes de los polinomios
Los coeficientes del polinomio quedarían dados
por:
1
ak =
Cn
2π 1
∫ ∫ W'Z (ρ ,θ )ρ d ρ dθ
k
θ =0 ρ =0
evitando así una inversión del la matriz.
Ventajas de los polinomios de Zernike
1.- Si los puntos de muestreo forman una base continua
(muy densa y uniforme), la matriz es diagonal.
2.- Las aberraciones son independientes unas de otras.
3.- Tienen la misma base todas les medidas.
4.- Cada aberración está minimizada.
Problemas de los polinomios de Zernike
en las medidas de Shack-Hartmann
1.- Los puntos de muestreo no estan uniformemente
espaciados ni su densidad es muy alta.
2.- Se miden las pendientes (aberraciones transversales
y no las deformaciones del frente de onda.
3.- Las aberraciones interaccionan una con otra.
4.- La matriz del sistema no es diagonal.
5.- Los ajustes polinómicos no pueden representar
deformaciones locales.
Perfiles del frente de onda que
no pueden ser representados por
polinomios:
Soluciones propustas en el pasado
1.- Se construye un conjunto de polinomios ortogonales vectoriales
con una ortogonalización de Gram-Schmidt de los gradientes
de los polinomios de Zernike (Zhao and Burge (2007 and 2008).
Los polinomios vectoriales tienen que construirse para cada
conjunto de datos.
2.- Dai (2006) propone análisis con componentes de Fourier.
3.- Iskander, Morelande et al (2002) estudiaron una representación
con los polinomios de Bathia-Wolf.
4.- Treviño (2013) usa funciones circulares de Bessel.
5.- Montoya (1999) propuso el uso de funciones Gaussianas.
6.- Langenbucher et al (2002) usa wavelets.
7.- Iskander (2009) propone el uso de esféricos armónicos.
etc., etc.
Propuesta
El uso de términos monomiales en coordenadas polares para
hacer el ajuste de mínimos cuadrados de los datos del patrón de
Shack-Hartmann.
Ventaja:
Las expresiones para las aberraciones son más sencillas y la
inversión de la matriz requiere menos cálculos numéricos.
Desventaja:
Las aberraciones no son ortogonales y la matriz del sistema no es
diagonal.
Aberraciones Monomiales del
Frente de onda
r
n
M
1
2
3
4
5
0
1
0
1
2
1
2
Polynomial P o l a
coordinates
1
ρ cos θ
ρ sin θ
ρ2 ρ2 cos 2θ
3
1
2
3
ρ2 sin 2θ
ρ3 cos θ ρ3 sin θ
ρ3 cos 3θ
As9gma9sm; axis at ± 450
Primary coma along x axis
Primary coma along y axis
Triangular as9gma9sm; base on x axis 4
ρ3 sin 3θ Triangular as9gma9sm; base on y axis
1
2
3
ρ4 ρ4 cos 2θ
ρ4 sin 2θ
Primary spherical
5th order as9gma9sm; axis at 00 or 900
5th order as9gma9sm; axis at ± 450
14
4
ρ4 cos 4θ Ashtray at ± 450
15
5
ρ4 sin 4θ
Ashtray at 220 ± 450
6
7
8
9
2
3
10
11
12
13
4
r Aberra2on
Piston
Tilt about y axis
Tilt about x axis
Focus shi7 As9gma9sm; axis at 00 or 900
r
n
M
16
5
1
Polynomial P o l a
coordinates
ρ5 cos θ
17
2
ρ5 sin θ 5th order coma along y axis
18
3
ρ5 cos 3θ 19
4
ρ5 sin 3θ 20
5
ρ5 cos 5θ 21
6
ρ5 sin 5θ r Aberra2on
5th order coma along x axis
r
n
M
22
23
6
1
2
Polynomial Polar coordinates
ρ6 ρ6 cos 2θ
24
3
ρ6 sin 2θ
5th order spherical
7th order as9gma9sm; axis at 00 or 900
7th order as9gma9sm; axis at ± 450
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
ρ6 cos 4θ
ρ6 sin 4θ ρ6 cos 6θ ρ6 sin 6θ ρ7 cos θ
ρ7 sin θ
ρ7 cos 3θ
ρ7 sin 3θ
ρ7 cos 5θ
ρ7 sin 5θ
ρ7 cos 7θ
ρ7 sin 7θ
ρ8 7th order coma along x axis
7th order coma along y axis
7th order spherical
7
8
Aberra2on
En conclusion:
Los polinomios de Zernike son ideales para
representar las aberraciones de un frente de onda
de un sistema óptico en:
a) Interferometría de desplazamiento de fase.
b) Medidas directas del frente de onda con alta densidad.
con algunas excepciones:
a) Datos muy espaciados.
b) Las medidas son las pendientes y no las desviaciones del
frente de onda.
c) Hay irregularidades locales no representables por
polinomios.
Gracias por su atención!

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