Curvas - Calculo Avanzado

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FECULTAD DE CIENCIAS
DEPTO. MATEMATICA Y COMPUTACION
CALCULO III
Para ingeniería civil
GUIA DE EJERCICIOS DE CURVAS
COORDINADOR: EMILIO VILLALOBOS MARIN
t
 1  cos t sent
[
como r (t )  
,
, 2sen  con
2
4
 2
obtener los vectores unitarios
en cada punto de y los escalares
1. Dada la curva
(
(
2. Como ejercicio 1 para curvas dadas por
 3 3 
(
a) r (t )   t , t 2 , t 3 
 2 2 
)
En particular además evaluar en
b) r (t )   2ln t , 4t ,1  2t 2 
(
√
]
( )
( ).
) ).
)
3. Sea
curva definida por el sistema
a) Parametrizar la curva como r (t )   x(t ), y(t ), z (t ) 
b) Obtener los vectores
y los escalares ( ) ( ) en
(
)


2
4. a) Para la curva r ( s)   arctags,
, longitud de arco,
ln(1  s 2 ), s  arctags 
2


( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
obtener
 s  s2  4
2
s  s2  4 
,
, 2 ln
c) Lo mismo que en a) para r ( s)  
.
2


2
2
s

s

4


5. Usar las fórmulas de Serret-Frenet para deducir que si la curva es dada por
r  r ( s) , longitud de arco, entonces la curvatura ( ), longitud de arco, entonces la
curvatura
( ) se puede calcular con la fórmula
r '( s)
Aplicarla para la curva
con r ( s)   1  s  2 , 1  s  2 ,
s 
,
2
6. Para la curva plana (
) con r (t )   x(t ), y(t )  ,
[
curvatura

( )
3

( )
( ) es dada por
( )
[
]
( )
( ( )
Aplicar la fórmula anterior para las curvas:
[
]
a) r (t )   a cos t , asent 
b) r (t )   a cos t , bsent 
3
( ) ( )
( ) )
]
r '''( s) .
establecer que su
Además establecer que la curva de a) tiene curvatura constante para todo y
determina qué puntos de la curva en b) que corresponden a los valores que
maximizan y minimizan la curvatura.
7.
con r (t )   2  t ,1  t 2 ,3t  t 2 
a) Para la curva
( ) sea máxima.
en que
Indicación: de
( ), obtener
de signos de derivadas.
( ) y los valores
determinar los puntos
( )
tal que
y variaciones
 t3

c) Seguir las indicaciones de a) para la curva r (t )    t , t 2 ,1
3

8. Sea curva dada por r (t )   cos2 t , sen2t , t  1
a) Obtener los vectores
en
(
)
b) Calcular
en
(
)
c) Determinar la ecuación de la recta tangente, ecuación de la recta normal y
ecuación del plano rectificador en .
9. Sea
definida por la intersección de superficies
a) Parametrizar de la forma r (t )   x(t ), y(t ), z (t ) 
b) Obtener curvatura y torsión para todo
c) Determinar la ecuación del plano osculador en
10. Si r  r (t ) ,
(
)
corresponde a la posición de una partícula en movimiento en el
instante , describiendo una curva
entonces r '(t )  v(t ) , r '(t )  v(t )
corresponden a la velocidad y rapidez respectivamente. Verificar
v(t )  r '(s)s '(t )  Ts '(t )  v(t )T (s) , o sea, la velocidad tiene la dirección de la
tangente. De esto r ''(t )  a(t ) , aceleración del movimiento, verifica
a(t )  v '(t )T (t )  v(t )T '(t )  v '(t )T  Kv 2 N ( T '(t )  T '(s)s '(t )  KvN ). Así el vector
r ''(t )  a(t ) está en el plano osculador
a) Probar que se cumple ‖ ⃗( )‖
(
b) Deducir que
( )
( )
cinemática)
respectivamente.
⃗⃗( ) ⃗⃗( )
‖ ⃗⃗( )‖
)
(
( )
)
( )
⃗⃗( ) ⃗⃗( )
‖ ⃗⃗( )‖
( aplicación a la
( ) se llaman componentes tangencial y normal
c) Para la trayectoria dada por la curva ⃗( ) (
( )
obtener ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Respuesta:
) ( ) (
) ( )
(
⃗( ) (
(
)
( )
( )
) en el instante
( )
)
( )
( )=2
(
)
( )
( )
( ) para la curva ⃗( ) (
d) Obtener
e) Para una partícula que se desplaza según la trayectoria
⃗( )
(
) en
los escalares
11. Dada la curva
como ⃗( )
(
(
) en
(
) obtener los vectores ⃗ ⃗
)
y
)
a) Obtener la ecuación de la recta tangente en
(
) y la intersección de esta recta y
el plano XZ.
b) Calcular la curvatura para todo t
c) Determinar los valores de t que maximizan y minimizan la curvatura
d) Verificar que la curva es plana y determinar la ecuación del plano donde se encuentra.
( ) (s parámetro de longitud
12. Establecer que para la curva dada por ⃗ ⃗( )
de arco) se verifica:
( )
( )
a)
( )
( )
b) ( )
( )
c) ⃗ ( ) ⃗ ( ) ⃗ ( )
( ) ( )
Aplicar las igualdades para calcular
⃗( )
(
√
√
√
( )
√
( ) para la curva
)
( )
dada por

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