Geodésicas en superficies II

Geometr´ıa Global de Superficies
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Prof. Mar´ıa de los Angeles
Hern´andez Cifre
http://webs.um.es/mhcifre
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GEODESICAS
EN SUPERFICIES II
1. (G1) Sean α : I −→ S una curva parametrizada regular y V, W ∈ 3∈(α) unitarios. Demostrar que si
V es paralelo y W (t) es ortogonal a V (t) para todo t ∈ I, entonces W tambi´en es paralelo.
2. (G1) Estudiar si los paralelos y los meridianos de una superficie de revoluci´on son geod´esicas.
3. (G2) Sean φ : S1 −→ S2 una isometr´ıa local entre dos superficies regulares y α : I −→
S1 una curva
regular en S1 . Sea V ∈ 3∈(α) un campo de vectores paralelo. Probar que dφα(·) V (·) es un campo de
vectores paralelo a lo largo de φ ◦ α.
p
2
4. (G2) Calcular la curvatura geod´esica de un paralelo del toro de revoluci´on
x2 + y 2 − a + z 2 = r2 .
¿Cu´ando es geod´esica?
5. (G3) Sea γ : I −→ S una geod´esica de una superficie regular S. Demostrar que γ es l´ınea de curvatura
si, y s´olo si, es una curva plana.
6. (G3) En la esfera parametrizada por X(θ, ϕ) = (sen θ cos ϕ, sen θ sen ϕ, cos θ), consid´erese la curva α∧β
yuxtaposici´
on de las curvas
√ coordenadas
√
α(θ) = X(θ, π/4), para θ ∈ [0, π/2], y β(ϕ) = X(π/2, ϕ), con
ϕ ∈ [π/4, π/2]. Sea v =
2/2, 2/2, 0 ∈ Tα(0) S2 . Calcular el transporte paralelo del vector v a lo
largo de α ∧ β en el punto (0, 1, 0).
7. (G4) Sea α : I −→ S una curva parametrizada regular. Demostrar que el transporte paralelo a lo
largo de α no depende de la parametrizaci´on de la curva.
8. (G4) Calcular la longitud de una circunferencia geod´esica de la pseudoesfera. Calcular el ´area del
correspondiente disco geod´esico.
9. (G5) Sea α : I −→ S una curva regular que no est´a p.p.a. y consideremos su reparametrizaci´on por la
longitud de arco, digamos
β = α ◦ h : J −→ S. Comprobar que la curvatura geod´esica de α, definida
como kgα (t) = kgβ h−1 (t) , viene dada por
α00 (t), N (t) ∧ α0 (t)
=
.
α0 (t)3
kgα (t)
10. (G5) Consid´erese la geod´esica γ(t) = (r cos t, r sin t, t/2) del cilindro circular recto de radio r, y los
puntos (r, 0, 0), (r, 0, π) sobre dicha curva. ¿Cu´al es la longitud de γ entre dichos puntos? ¿Minimiza
esta geod´esica la longitud entre ambos puntos?
11. (G6) Sean S una superficie regular y p ∈ S. Demostrar que para cualesquiera v ∈ Tp S y t ∈ Iv ,
tv ∈ Dp y, adem´
as, expp (tv) = γv (t). Concluir que Dp es estrellado respecto al origen.
12. (G6) Calcular la longitud de una circunferencia geod´esica de la esfera y el ´area del correspondiente
disco geod´esico.
13. (G7) Sean α : I −→ S una curva regular contenida en S y {t = α0 , Jt, N } su triedro de Darboux.
Demostrar que se verifican las siguientes relaciones:

0

 t = kg Jt + kn N
(Jt)0 = −kg t + τg N


N 0 = −kn t − τg Jt,
donde la funci´
on τg (s) = Aα(s) t(s), n(s) se denomina la torsi´
on geod´esica de α.
14. (G7) Consid´erese la catenaria y = cosh x contenida en el plano z = 0, y sea S el cilindro recto
construido sobre dicha curva. Dar una parametrizaci´on de esta superficie y determinar su aplicaci´on
exponencial.
15. (G8) Sea X(r, θ) el sistema de coordenadas geod´esicas polares centrado en p ∈ S. Demostrar que:
√
i) La curvatura de Gauss K(p) se puede calcular como K(p) = − l´ımr→0 ( G)rrr .
√
ii) G = r − Kr3 /3! + R, donde l´ımr→0 R/r3 = 0.
16. (G8) Utilizando el apartado ii) del ejercicio anterior, calcular la longitud de una circunferencia geod´esica as´ı como el ´
area del correspondiente disco geod´esico.

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