Introducci´ on a la Probabilidad y Estad´ıstica Curso 2015 Universidad de la Rep´ ublica Facultad de Ciencias Centro de Matem´ atica Pr´ actico 1 1. Una urna tiene 4 bolas blancas y 5 negras. Se eligen 3 al azar. Calcular la probabilidad de que: a) Todas las bolas extra´ıdas sean blancas. b) Se extraiga una bola blanca y dos negras. c) Suponga ahora que cada vez que se saca una bola, esta se repone. Calcule las probabilidades de las partes anteriores. 2. Para obtener el premio mayor en el 5 de oro se precisan acertar 5 n´ umeros de 44. a) Calcular la probabilidad de obtener el premio mayor. b) Calcular la probabilidad de acertar solo 4 n´ umeros. c) Calcular la probabilidad de acertar solo 3 n´ umeros. d ) Se sortea una sexta bolilla. Calcular la probabilidad de acertar esta bolilla extra y 4 de las 5 anteriores. 3. Una empresa hace el siguiente control de calidad: para cada partida de 100 unidades muestrea 10. Si dicha muestra no contiene piezas defectuosas, se acepta la partida entera. En cierta partida hay 5 defectuosas. a) Calcular la probabilidad de que se acepte la partida. b) El muestreo se hace ahora con reposici´on. Calcular la probabilidad de que se acepte la partida y comparar con la parte anterior. 4. En una caja hay 4 pelotas de tenis nuevas y 2 usadas. Para un primer juego, se eligen 2 pelotas al azar, y luego se retornan a la caja. Se eligen otras dos pelotas de la misma caja para un segundo partido. Calcular la probabilidad de que ambas sean nuevas. 5. En un concurso hay tres puertas. Una de ellas contiene un premio y las otras no. El concursante elige una puerta y el presentador abre otra puerta que no contiene el premio. Se le brinda al concursante la opci´on de cambiar de puerta. ¿Debe aceptar la oferta? Generalizar para n puertas. 6. Demostrar que para sucesos arbitrarios A1 , . . . , Ak se cumple: P a) P(∪nk=1 Ak ) ≥ 1 − nk=1 P(Ak ). Pn P Pn n n b) k=1 P(Ak ) − 1≤i<j≤n P(Ai Aj ) ≤ P(∪k=1 Ak ) = 1 − P(∩k=1 Ak ) ≤ k=1 P(Ak ). P P c) P(∪nk=1 Ak ) = nk=1 (−1)k−1 1≤j1 <...<jk ≤n P(Aj1 . . . Ajk ) . 7. Demostrar, que si A1 ⊂ A2 ⊂ . . . , y A = ∪∞ ımn→∞ P(An ) = n=1 An , entonces existe l´ P(A). 8. A un probabilista fan´ atico de las apuestas se le ha dado por juntar grupos de 25 personas elegidas al azar y apostarles que hay 2 de ellas que cumplen a˜ nos el mismo d´ıa. Apuesta $1000. Si gana la apuesta, le pagan $1000 m´as. Si pierde, paga la suma apostada. Suponiendo que los cumplea˜ nos se distribuyen uniformemente a lo largo del a˜ no ¿Hace un buen negocio? ¿Cu´ al debe ser la m´ınima cantidad de personas para que el negocio sea rentable? 1 9. En un pueblo de n + 1 habitantes, una persona le rumorea algo a una segunda persona, quien lo repite a una tercera, etc. En cada paso se escoge aleatoriamente al receptor del rumor de entre n personas disponibles. Encontrar la probabilidad de que el rumor pase r veces a) Sin regresar al que lo origin´ o. b) Sin que regrese a la misma persona. 10. Se elige un n´ umero al azar en el intervalo [0, 1], seg´ un el siguiente modelo: Ω = [0, 1], A = B[0,1] , P ([a, b)) = b − a. Calcular la probabilidad de que: a) el n´ umero elegido sea π/4. b) el n´ umero elegido sea irracional. c) el n´ umero elegido pertenezca a k (R−Q) , ∀ k ∈ N. ¿Existe un tal n´ umero? d ) ¿Existe un suceso con probabilidad 0, que sea no numerable? 11. a) Una secretaria tiene 10 cartas diferentes y 10 sobres con los destinatarios anotados. Si coloca al azar las cartas en los sobres, ¿qu´e probabilidad hay de que alguna carta est´e en el sobre correspondiente? b) Calcular la probabilidad de que al reordenar n s´ımbolos diferentes ninguno regrese a la posici´ on que ocupaba inicialmente. c) Calcular el l´ımite de la probabilidad en b) si n tiende a infinito. 12. Un ropero contiene n pares de zapatos. Si se escogen al azar 2r zapatos (2r < n), hallar la probabilidad de que no haya ning´ un par completo. 13. Al tirar un dado equilibrado, con iguales chances se obtienen 1,2,3,4,5 ´o 6 puntos. En caso de tirar dos dados la suma de los puntos obtenidos esta comprendida entre 2 y 12. Tanto el 9 como el 10, a partir de los n´ umeros 1,2,3,4,5,6 se puede obtener de dos formas distintas: 9=3+6=4+5, y 10=4+6=5+5. En el problema con tres dados tanto el 9 como el 10 se obtienen de seis formas. ¿Por qu´e entonces el 9 se obtiene con mayor frecuencia al tirar dos dados, y el 10 con mayor frecuencia al tirar tres? 14. ¿Qu´e es mas probable? ¿Obtener al menos un 1 al tirar cuatro dados u obtener al menos dos ases a la vez al tirar 24 veces un par de dados? 15. Jos´e tiene sus medias sueltas, rojas y negras, en un mismo caj´on. Desea que la probabilidad de extraer al azar dos medias rojas sea exactamente un medio. a) Calcular el n´ umero m´ınimo de medias rojas y negras que debe tener el caj´on. b) Calcular el n´ umero m´ınimo de medias rojas y negras que debe tener el caj´on, si la cantidad de medias negras es par. 16. Un matem´ atico lleva consigo dos cajas con n f´osforos cada una. Cada vez que necesita un f´osforo, elige al azar entre una de las dos cajas. Calcular la probabilidad de que al vaciarse la primera caja, en la otra queden r f´osforos. 2