Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez Universidad de Puerto Rico ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2015-2016 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: SEGUNDO NIVEL (6to , 7mo y 8vo grado) Informaci´ on del Estudiante: Apellidos: Nombre: 6to , Marque el Grado: Tel. residencial: ( ) 7mo , - 8vo Sexo: F M Fecha de nacimiento (dd/mm/aaaa): E-mail del estudiante: E-mail del Maestro: Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela: a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Escuela: Privada Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P´ ublica e Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´agina www.ompr.pr en o antes del 30 de abril del 2015. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000 1 Recinto Universitario de Mayag¨ uez Departamento de Ciencias Matem´ aticas Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico PRIMERA FASE 2015-2016 SEGUNDO NIVEL (6to , 7mo y 8vo grado) Universidad de Puerto Rico 1. Hay 10 patos, 5 de esos patos ponen un huevo cada d´ıa. Los otros 5 ponen un huevo cada dos d´ıas. ¿Cu´antos huevos ponen los 10 patos en un periodo de 10 d´ıas? a) 75 b) 60 c) 50 d ) 25 e) 10 2. La figura muestra un tablero donde cada cuadrado peque˜ no tiene ´area 4 cm2 . ¿Cu´anto mide la l´ınea gruesa negra? a) 16 cm b) 18 cm c) 20 cm d ) 21 cm e) 23 cm 3. Cada planta en el jard´ın de John tiene 5 hojas, o 2 hojas y una flor. En total las plantas tienen 6 flores y 32 hojas. ¿Cu´ antas plantas hay? a) 10 b) 12 c) 13 d ) 15 e) 16 4. Alva tiene 4 pedazos de papel del mismo largo. Ella pega 2 de ellos con una cinta y se sobrepone por 10 cm y obtiene un pedazo de 50 cm de largo. Con los otros pedazos de papel, ella quiere construir un pedazo de 56 cm de largo. ¿Cu´ an largo debe ser el pedazo que sobrepone ahora? a) 4 cm b) 6 cm c) 8 cm d ) 10 cm e) 12 cm 2 5. Tom´as utiliz´ o 6 cuadrados de lado 1 para obtener la silueta de la figura. ¿Cu´al es su per´ımetro? a) 9 b) 10 c) 11 d ) 12 e) 13 6. Todos los d´ıas Mary escribe la fecha y calcula la suma de los d´ıgitos escritos. Por ejemplo en marzo 19 ella escribe 19.03 y calcula 1 + 9 + 0 + 3 = 13. ¿Cu´al es la suma mayor que ella calcula durante el a˜ no? a) 7 b) 13 c) 14 d ) 16 e) 20 7. El rect´angulo ABCD en la figura consiste de 4 rect´angulos iguales. Si BC tiene longitud 1 cm, ¿cu´ al es la longitud de AB? a) 4 cm b) 3 cm D C A B c) 2 cm d ) 1 cm e) 0.5 cm 8. En la calle Paseo del Mar, hay 9 casas en fila. Al menos una persona vive en cada una. Cualquiera dos casas vecinas est´ an habitadas por a lo m´as seis personas. ¿Cu´al es el n´ umero mayor de personas que pueden vivir en la calle Paseo del Mar? a) 23 b) 25 c) 27 d ) 29 e) 31 9. El ´area de un rect´ angulo es 12 cm2 . Las longitudes de los lados son n´ umeros naturales. Entonces el per´ımetro puede ser: a) 20 cm b) 26 cm c) 28 cm d ) 32 cm e) 48 cm 3 10. Cada uno de los 9 segmentos en la figura ser´a coloreado azul, verde o rojo. Los lados de cada tri´angulo tendr´ an diferentes colores. Tres de los segmentos ya han sido coloreados, seg´ un se ilustra. ¿De qu´e color se puede colorear el segmento marcado con x? a) solo azul b) solo verde c) solo rojo d ) azul, rojo o verde e) no es posible colorearlo as´ı 11. En una bolsa hay 3 manzanas verdes, 5 manzanas amarillas, 7 peras verdes y 2 peras amarillas. Sim´on escoge frutas al azar de la bolsa de una en una. ¿Cu´antas frutas debe escoger para asegurarse de tener al menos una manzana y una pera del mismo color? a) 9 b) 10 c) 11 d ) 12 e) 13 12. En esta suma, letras iguales representan d´ıgitos iguales y letras diferentes representan d´ıgitos diferentes. + Z Y Z X X Y Z ¿Qu´e d´ıgito est´ a representado por la letra X? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 13. Carla quiere construir un cubo doblando una plantilla de papel. Por error ella dibuja 7 cuadrados en su hoja en vez de 6 cuadrados. ¿Qu´e cuadrado ella debe remover para que la figura permanezca conectada y Carla pueda formar un cubo de ella? a) solo 4 b) solo 7 c) 3 o 4 d) 3 o 7 e) 3, 4 o 7 14. El n´ umero 100 es multiplicado por 2 o por 3, entonces al resultado se le suma 1 o 2, y el nuevo resultado es dividido por 3 o por 4. El resultado final es un n´ umero natural. ¿Cu´al es el resultado final? a) 50 b) 51 c) 67 d ) 68 e) m´as de 1 es posible 4 15. En un n´ umero de 4 d´ıgitos ABCD, los d´ıgitos A, B, C, y D est´an en orden creciente de izquierda a derecha. ¿Cu´ al es la diferencia mayor posible BD − AC de los n´ umeros de dos d´ıgitos BD y AC? a) 86 b) 61 c) 56 d ) 50 e) 16 16. Mar´ıa escribe un n´ umero en cada cara de un cubo. Entonces, para cada v´ertice, ella suma los n´ umeros en las tres caras que comparten ese v´ertice (por ejemplo, para el v´ertice B ella suma los n´ umeros de las caras BCDA, BAEF y BF GC). Los n´ umeros obtenidos por Mar´ıa para los v´ertices C, D y E son 14, 16 y 24, respectivamente. ¿Qu´e n´ umero obtuvo para el v´ertice F ? a) 15 b) 19 c) 22 d ) 24 e) 26 17. Un tren tiene 12 vagones. Cada vag´ on tiene el mismo n´ umero de compartimentos. Mike est´a viajando en el tercer vag´ on y el 18vo compartimento desde el motor. Jane est´a sentada en el 7mo vag´ on y en el 50vo compartimento desde el motor. ¿Cu´antos compartimentos tiene cada vag´on? a) 7 b) 8 c) 9 d ) 10 e) 12 18. Cuatro puntos est´ an en una l´ınea. Las distancias entre ellos en orden creciente son: 2, 3, k, 11, 12, 14. ¿Cu´al es el valor de k? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 19. Mauricio utiliz´ o peque˜ nos cubos de lado 1 para construir un cubo de lado 4. Luego, ´el pinto tres caras del cubo grande de rojo y las otras tres de azul. Cuando termin´o, no hab´ıa ning´ un cubo peque˜ no con 3 caras rojas. ¿Cu´ antos cubos peque˜ nos tienen caras de ambos colores? a) 0 b) 8 c) 12 d ) 24 e) 32 20. Jane compr´ o 3 juguetes. Por el primer juguete pag´o la mitad de su dinero y $1 m´as. Por el segundo, ella pag´o la mitad de su dinero restante y $2 m´as. Finalmente, por el tercero, ella pag´o la mitad de su dinero restante y $3 m´ as, y de esta manera gast´o todo su dinero. ¿Cu´anto dinero ten´ıa ella inicialmente? a) $36 b) $45 c) $34 d ) $65 e) $100 5