Examen 2015 - Olimpiadas Costarricenses de Matemática OLCOMA

´
XXVII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMATICA
UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT
PRIMERA ELIMINATORIA
NACIONAL
F
C
B
x
D
G
H
A
E
II Nivel
(8◦ − 9◦)
2 015
Estimado estudiante:
La Comisi´on de las Olimpiadas Costarricenses de
Matem´atica 2015 le saluda y le da la m´as cordial bienvenida a la Primera Eliminatoria Nacional de estas justas
acad´emicas y le desea los mayores ´exitos.
La prueba consta de un total de 25 preguntas de selecci´on
u
´nica.
Puede consultar la lista de estudiantes clasificados a partir del viernes
3 de julio, en la siguiente direcci´
on
electr´onica:
www.olcoma.com
INDICACIONES GENERALES
• Debe trabajar en forma individual.
´
• Las respuestas a las preguntas que se le formulan, deben ser consignadas UNICAMENTE
en la
hoja de respuestas que se le ha entregado.
• Los dibujos que aparecen en la prueba no est´an hechos a escala.
• El formulario de preguntas es suyo, por lo que puede realizar en ´el todas las anotaciones, c´alculos
o dibujos que le sean necesarios para resolver satisfactoriamente la prueba.
• No se permite el uso de hojas adicionales.
• Los u
´nicos instrumentos cuyo uso se permite son los necesarios para escribir y dibujar. Se proh´ıbe
el uso de libros, libretas de notas, tablas y calculadora.
• El examen tiene una duraci´
on m´
axima de tres horas.
• Escriba claramente los datos que se le solicitan en la hoja de respuestas.
SIMBOLOG´IA
AB
segmento de extremos A yB
∠ABC ≈ ∠DEF
congruencia de ´angulos
AB
medida de AB
4ABC ∼
= 4DEF
congruencia de tri´angulos
−−→
AB
rayo de extremo A y que contiene a B
ABC ↔ DEF
correspondencia respectiva
entre puntos
←→
AB
recta que contiene los puntos A y B
4ABC ∼ 4DEF
semejanza de tri´angulos
∠ABC
−−→ −−→
angulo de rayos BA y BC
´
AB ∼
= CD
congruencia de segmentos
m∠ABC
medida de ∠ABC
d
AB
arco de extremos A y B
4ABC
tri´
angulo de v´ertices A, B, C
d
mAB
d
medida de AB
ABCD
cuadril´
atero de v´ertices A, B, C, D
(ABC)
´area de ∆ABC
k
paralelismo
(ABCD)
´area de ABCD
⊥
perpendicularidad
P −Q−R
P , Q, R puntos colineales,
con Q entre los puntos P y R
I Eliminatoria 2015
1. Si m =
ponde a
√
n
42−n el valor num´erico de (4m)
II Nivel
3n
2
corres-
(a) 2
(b) 4
(c) 16
(d) 64
2. Se saca una carta de una baraja de 52 naipes, sin
volver a reponer esta, luego se saca otra. La baraja
tiene 26 cartas rojas. Si la primera carta que se sac´o
es roja, la probabilidad de que la siguiente tambi´en lo
sea es
(a)
25
51
(b)
25
52
(c)
26
51
(d)
26
52
1
b+1
1
3. Al efectuar b −
÷ 2 − −2 se obtiene
b
b
b
(a) 1
(b) b
(c) −1
(d) −b
4. Un n´
umero entero n se multiplica por 5 o 6, luego se le
suma 5 o 6 al resultado, despu´es se le vuelve a sumar
5 o 6 al resultado anterior y, finalmente, se le resta 5
o 6 al u
´ltimo resultado y se obtiene 78. Entonces el
n´
umero n es
(a) 10
(b) 12
(c) 14
(d) 15
1
I Eliminatoria 2015
II Nivel
5. En una helader´ıa se ofrecen 13 sabores de helado y dos
tipos de cobertura. La cantidad de formas en que se
pueden combinar los sabores al comprar un cono con
dos bolas de helado y una cobertura es
(a) 133
(b) 169
(c) 263
(d) 338
2x2 − 8
√
es equivalente a
1− x−1
√
(a) (x + 4) 1 + x − 1
6. La expresi´
on
(b) (x − 4) 1 −
√
(c) 2 (x − 2) 1 −
x−1
√
(d) −2 (x + 2) 1 +
x−1
√
x−1
7. Cuatro amigas (Ana, Cristina, Diana y Elsa) se re´
unen
durante el recreo para comer. Cada una trajo exactamente un refresco y una fruta. Si sabemos que:
• Ana y Elsa no trajeron refresco de lim´on.
• Dos amigas son hermanas y trajeron todo igual.
• Hubo exactamente una muchacha que trajo refresco de lim´
on.
• Elsa y Cristina son las u
´nicas que trajeron, cada
una, una pera.
• Exactamente una trajo un lim´on y refresco de
lim´on.
Entonces, las hermanas son
(a) Cristina y Elsa
(b) Cristina y Diana
(c) Ana y Cristina
(d) Elsa y Diana
2
I Eliminatoria 2015
II Nivel
8. En la figura adjunta l1 k l2 . Si m∠y = m∠x − 20◦ ,
entonces m∠x es
(a) 25◦
x
l1
(b) 45◦
l2
y
(c) 65◦
(d) 70◦
110°
9. Al vestirse una persona debe seleccionar entre 4
camisas (una azul, una gris y dos verdes) y 3 pantalones (uno negro y dos azules). La probabilidad de
que este d´ıa la persona vista una camisa gris es
(a)
1
4
(b)
1
3
(c)
2
3
(d)
1
12
√
√
2a b − 2b a
a+b
√ +
10. La expresi´
on √
es equivalente
a−b
a+ b
a
√
√
(a) a + b
√
√
(b) a − b
(c) a + b
(d) a − b
11. Sea n un n´
umero par m´
ultiplo de 7 y menor que 1 000,
tal que la suma de sus d´ıgitos es 23 y su residuo al
dividirlo por 5 es 1. La cantidad de n´
umeros n que
cumplen con lo anterior es
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
3
I Eliminatoria 2015
II Nivel
12. En la figura adjunta AB = x, AC = x − 1 y
BC = x + 1, con certeza a − b es
C
(a) 1
(b) 2
(c) 4
(d) 5
A
b
B
a
4a b −1
−
b
a
13. Al efectuar se obtiene como resul
4a
b −1
−4+
b
a
tado
(a) 1
(b) −1
2a − b
(c)
2a + b
2a + b
(d)
2a − b
14. Se define el n´
umero Sn = 11 + 22 + 33 + · · · + nn .
Entonces el d´ıgito de las unidades del n´
umero S10 corresponde a
(a) 2
(b) 3
(c) 7
(d) 9
15. En un edificio de apartamentos viven 105 personas;
de ellas, el n´
umero de parejas casadas es la tercera
parte del n´
umero de hombres solteros y el n´
umero de
mujeres solteras es el doble del n´
umero de hombres
casados. El n´
umero total de hombres que viven en el
edificio es
(a) 15
(b) 30
(c) 45
(d) 60
4
I Eliminatoria 2015
II Nivel
16. En la sala de espera de un banco entregan fichas a
sus clientes; a continuaci´
on se presentan tres de estas
fichas consecutivas
13
7
25
D
B
2
G
11
5
La ficha que sigue en la secuencia es
49
K
(a)
23
33
K
(b)
19
49
I
(c)
23
49
H
(d)
19
←→
17. En la figura adjunta DE es la mediatriz del ∆ABC
sobre el lado AC y m∠BDA = 50◦ . La medida, en
grados, del ∠BCA es
C
D
(a) 15
B
(b) 25
E
(c) 30
(d) 45
A
5
I Eliminatoria 2015
II Nivel
18. Sea an el t´ermino n en la sucesi´
on 1, 3, 6, 10, 15, 21, . . .
Sea bn el d´ıgito de las unidades de an . Con ellos formamos una nueva sucesi´
on 1, 3, 6, 0, 5, 1, . . .
El t´ermino 2 015 en la sucesi´
on bn es
(a) 9
(b) 5
(c) 1
(d) 0
19. El n´
umero entero positivo n es tal que la suma de los
cuadrados de sus d´ıgitos es 50 y cada d´ıgito es mayor
que el d´ıgito a su izquierda. El producto de los d´ıgitos
del menor n que es un n´
umero compuesto corresponde
a
(a) 7
(b) 25
(c) 36
(d) 48
20. Sea ∆ABC is´
osceles, tal que AC = BC = 20 cm y
sea D un punto cualquiera de AB (distinto de A y
distinto de B). Por D se trazan una recta paralela a
AC que corta a BC en E y una recta paralela a BC
que corta a AC en F . El per´ımetro, en cent´ımetros,
del CEDF es
(a) 20
(b) 30
(c) 40
(d) 50
21. Si la suma de dos n´
umeros es 2 y su producto es −2,
entonces la suma de los cuadrados de dichos n´
umeros
corresponde a
(a) 2
(b) 4
(c) 8
(d) 10
6
I Eliminatoria 2015
II Nivel
22. Sean a, b, c, d y e n´
umeros naturales consecutivos cuya
suma es un cubo perfecto y b + c + d es cuadrado
perfecto. La suma de las cifras del menor c es
(a) 17
(b) 18
(c) 19
(d) 20
23. Sea abcd un n´
umero de cuatro d´ıgitos tales que
abcd + 7911 = bcda
La cantidad de n´
umeros que cumplen lo anterior es
(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3
24. Sea el ∆ABC tal que D es el punto medio de AB, E
es el punto medio de DB y F es el punto medio de
BC. Si el ´
area del ∆ABC es 72 cm2 , entonces el ´area,
2
en cm , del ∆AEF es
(a) 18
(b) 24
(c) 27
(d) 36
25. Considere el ∆ABC de la figura adjunta, donde F es
el punto medio de CB, G es el punto medio de AC,
H es un punto cualquiera de AB con E y D tales que
AE = EH y HD = DB. Si h representa la medida en
cent´ımetros de la altura del ∆ABC sobre el lado AB
y AB = 20 cm, el ´
area, en cent´ımetros cuadrados del
∆AEG, es
(a) h (10 − x)
C
F
h
(b) (10 − x)
2
(c)
h
(10 − x)
4
(d)
h
(10 − x)
8
B
x
D
G
H
A
E
7

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