Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayag¨ uez Universidad de Puerto Rico ´ OLIMPIADAS MATEMATICAS DE PUERTO RICO 2015-2016 PRIMERA FASE HOJA DE RESPUESTAS: TERCER NIVEL (9no , 10mo y 11mo grado) Informaci´ on del Estudiante: Apellidos: Nombre: 9no , Marque el Grado: Tel. residencial: ( ) 10mo , - 11mo Sexo: F M Fecha de nacimiento (dd/mm/aaaa): E-mail del estudiante: E-mail del Maestro: Nombre de la Escuela: Pueblo de la Escuela: a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Escuela: Privada Instrucciones: Marque con una x sus respuestas b c d e a b c d 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 P´ ublica e Env´ıe sus respuestas electr´ onicamente a trav´es de la p´agina www.ompr.pr en o antes del 30 de abril del 2015. Otra alternativa es enviarlo por correo postal a la direcci´on: Dr. Luis F. C´ aceres-Duque Departamento de Ciencias Matem´ aticas Call Box 9000 Mayag¨ uez, PR 00681-9000 1 Recinto Universitario de Mayag¨ uez Departamento de Ciencias Matem´ aticas Olimpiadas Matem´aticas de Puerto Rico PRIMERA FASE 2015-2016 TERCER NIVEL (9no , 10mo y 11mo grado) Universidad de Puerto Rico 1. La figura muestra la plantilla de un prisma triangular. ¿Qu´e arista coincide con UV cuando se dobla la plantilla para formar el prisma? a) WV b) XW c) XY d ) QR e) RS 2. Cuando la ardilla baja de su ´ arbol al c´esped del jard´ın nunca se aleja m´as de 5 m del tronco de su ´arbol, y se mantiene siempre al menos a 5 m de distancia de la casa del perro. ¿Cu´al de las siguientes figuras representa lo m´ as aproximadamente posible la forma de la regi´on por la que la ardilla puede estar? a) c) b) d) e) 3. En una clase no hay dos alumnos que nacieran el mismo d´ıa de la semana ni dos alumnas que nacieran el mismo mes. Si un nuevo estudiante (chico o chica) se agrega a la clase, una de esas dos condiciones ya no se cumple. ¿Cu´ antos estudiantes hab´ıa al principio en la clase? a) 18 b) 19 c) 20 d ) 24 e) 25 4. Los lados de los cuadrados de la figura adjunta tienen longitud 1. ¿Cu´al es el ´area de la regi´ on sombreada? a) 43 b) 78 c) 1 d ) 54 e) 32 2 5. Cada asterisco en la igualdad 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 ∗ 2 ∗ 0 ∗ 1 ∗ 5 = 0 ha de reemplazarse por un signo + o un signo − de tal manera que la igualdad resultante sea correcta. ¿Cu´al es el menor n´ umero de asteriscos que han de reemplazarse por +? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 6. Un arbusto tiene 10 ramas. En cada rama puede haber 5 hojas u ´nicamente, o bien 2 hojas y una flor. ¿Cu´al de los valores siguientes puede ser el n´ umero total de hojas del arbusto? a) 45 b) 39 c) 37 d ) 31 e) Ninguno 7. Se dobla la esquina de un cuadrado hasta superponerla con el centro, form´andose el pent´ agono irregular de la figura. Las ´ areas del pent´agono y del cuadrado original son enteros consecutivos. ¿Cu´anto vale el ´ area del cuadrado? a) 2 b) 4 c) 8 d ) 16 e) 32 8. Raquel suma las longitudes de tres lados de un rect´angulo y obtiene 44 cm. Isabel suma las longitudes de tres lados del mismo rect´ angulo y obtiene 40 cm. ¿Cu´anto vale el per´ımetro del rect´angulo? a) 42 cm b) 56 cm c) 64 cm d ) 84 cm e) 112 cm 9. La figura muestra los colores de algunos segmentos de un cierto modelo. Luis quiere colorear los restantes segmentos unidad utilizando tres colores: rojo, azul o verde. Cada tri´angulo debe tener un lado de cada color. ¿Qu´e color puede usar para colorear el segmento marcado con x? a) solo verde b) solo rojo c) solo azul d ) rojo o´ azul 3 e) es imposible 10. Irene pregunta a cinco de sus alumnos cu´antos de ellos han estudiado el d´ıa anterior. Pablo dice “ninguno”, Berta dice “uno”, Ana dice “dos”, Eugenio dice “tres” y Gerardo dice “cuatro”. Irene sabe que los estudiantes que no han estudiado mienten pero los que han estudiado dicen la verdad. ¿Cu´antos de esos cinco estudiantes estudiaron el d´ıa antes? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 11. Juan quiere escribir un n´ umero en cada una de las siete regiones de la figura. Dos regiones son contiguas si comparten alguna parte de su frontera. El n´ umero en cada regi´on debe ser la suma de los que hay en sus regiones contiguas. Juan ya ha escrito dos n´ umeros, como se muestra. ¿Qu´e n´ umero debe escribir en la regi´ on central? a) 1 b) -2 c) 6 d ) -4 e) 0 12. Cinco enteros positivos (no necesariamente distintos) se escriben en cinco cartones. Pedro calcula la suma de los n´ umeros en cada pareja de cartones, y obtiene solamente tres totales diferentes : 57, 70 y 83. ¿Cu´ al es el mayor entero escrito en los cartones? a) 35 b) 42 c) 48 d ) 53 e) 82 13. Un cuadrado de ´ area 30 cm2 se divide en dos por medio de una diagonal y luego cada parte en tri´angulos, como se muestra en la figura, en la que se ven las ´areas de varios de esos tri´ angulos. ¿Cu´al de los segmentos en que se ha dividido la diagonal es el mayor? a) a c) c b) b d) d e) e 14. En un grupo de canguros, los dos menos pesados pesan el 25 % del peso total del grupo. Los tres m´as pesados pesan el 60 % del peso total. ¿Cu´antos canguros hay en el grupo? a) 6 b) 7 c) 8 d ) 15 e) 20 4 15. Cirilo tiene siete trozos de alambre, (que se pueden doblar pero no romper) de longitudes 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm. Usa algunos de ellos para formar un cubo de alambre de arista 1 cm, sin superponer ninguno. ¿Cu´ al es el menor n´ umero de esos trozos que puede usar? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 16. En el trapecio P QRS, los lados P Q y SR son paralelos. El ´angulo RSP es de 120◦ , y RS = SP = 1 anto mide el ´ angulo P QR? 3 P Q. ¿Cu´ a) 15◦ b) 22.5◦ c) 25◦ d ) 30◦ e) 45◦ 17. Se tienen cinco puntos en una recta. Alex calcula la distancia entre todas las parejas posibles entre ellos, y obtiene, en orden creciente, 2, 5, 6, 8, 9, k, 15, 17, 20 y 22. ¿Cu´al es el valor de k? a) 10 b) 11 c) 12 d ) 13 e) 14 18. Ayer escrib´ı el n´ umero de tel´efono de mi amigo Enrique. El n´ umero que escrib´ı tiene seis d´ıgitos, pero recuerdo que ´el me dijo que eran 7, y no tengo idea qu´e cifra se me olvid´o ni en qu´e posici´ on estaba. ¿Cu´ antos n´ umeros de tel´efono tengo que escribir para estar seguro que uno de ellos es el de mi amigo? (Un n´ umero de tel´efono puede empezar con cualquier d´ıgito, incluyendo el 0) a) 55 b) 60 c) 64 d ) 70 e) 80 19. Mar´ıa divide 2015 por 1, 2, 3, etc, hasta 1000 inclusive y escribe el residuo de cada divisi´on. ¿Cu´ al es el mayor de esos residuos? a) 15 b) 215 c) 671 d ) 1007 e) otro valor 20. Los enteros positivos se colorean de acuerdo con las tres reglas siguientes: i. Cada n´ umero es rojo o verde ii. La suma de dos n´ umeros rojos distintos es rojo iii. La suma de dos n´ umeros verdes distintos es verde. ¿De cu´antas maneras es posible hacer esto? a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) m´as que 6 5