x

第3章指数・対数と金利
•
•
•
•
•
3.1 複利計算−その1
3.2 累乗の計算
3.3 複利計算−その2
3.4 対数の計算
3.5 常用対数による近似計算
3.1 複利計算−その1
• 銀行預金
– 利子率（年率）
5%
– 元本
10000円
– 期間
2年間
• 単利計算
– 1年当たりの利息 10000*0.05=500
– 利息の総額 500*2=1000
例題 3.1 銀行預金
• 例題 3.1 銀行預金
– 利子率（年率）
5%
– 元本 10000円
– 1年後の10500円をさらに1年間預金
例題 3.1 銀行預金
• 例題 3.1 銀行預金
– 利子率（年率）
5%
– 元本 10000円
– 1年後の10500円をさらに1年間預金
– 10500*1.05=11025円
– 単利計算: 11000円
– 2年後には，1年後の利息500円にも利息がつく
– 500*0.05=25
1
例題 3.2 銀行預金
• 例題 3.2 銀行預金の複利計算
– 利子率（年率）
5%
– 元本 10000円
– 期間 10年間
– 10000*1.05*1.05*1.05*1.05*1.05*1.05*1.05*1.
05*1.05*1.05
=10000*1.05^10
=16188
3.2 累乗の計算
a n+ m = a n a m
( ) = (a )
a nm = a n
1
a −1 =
a
1
n
m
a −n =
a = a
n
a
複利計算の一般化
元本
m n
m
n
1
an
=
( a)
n
m
= n am
指数関数
y = f ( x) = a x
指数関数
C
x, y 実数
利子率 r （小数表示）
a x+ y = a x a y
預金期間 t
a xy = a x
将来の金額 F
ax = x a
F = C (1 + r ) t
a0 = 1
a x− y = a x a − y = a x
( ) = (a )
1
y
y x
y
ax =
a1 = a
a −x =
( a)
x
y
1
ay
1
ax
= x ay
a −1 =
1
a
2
例題 3.3 指数関数
9 x = 3 ⋅ 3x
4
x+
1
2
=
預金勘定
• 銀行預金のように預けた元本に利子がつく口座を
預金勘定という．
• 利子を元本に対するパーセント表示を利率という．
通常年率で表記される．
• 利子のつき方には
( 2)
– 元本にしかつかない単利
– 元本に加えてこれまでの利子にも利子がつく複利
の２種類がある．
3x
• 利子は定期的に発生し，半年毎，１年毎など様々で
ある．
例題 3.3 指数関数
9 = 3⋅3
x
( )
LHS = 9 x = 3 2
x
RHS = 3 ⋅ 3 = 3
x +1
x
3 2 x = 3 x +1
4
x+
1
2
=
RHS =
• 単利とは預金勘定に預
けた当初の元本にしか
利子がつかない
• 例
= 32 x
⇒ 2x = x + 1 ⇒
x =1
– 元本
– 利率
( 2)
3x
LHS = 4
単利
x
x+
( )
1
2
= 22
( 2)
3x
3
2 2 x +1 = 2 2
x
x+
1
2
⎛ 1⎞
= ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟
⎝ ⎠
– 利子は１年ごとにつく．
= 2 2 x +1
3x
3
= 22
⇒ 2x + 1 =
100円
6% （年率）
現時点
1年後
2年後
3年後
100円
106円
112円
118円
10年後
160円
x
3
x ⇒
2
1
x = −1 ⇒
2
x = −2
3
複利
• 複利とは預金勘定に預
けた当初の元本に加え
てこれまでの利子にも
利子がつく．
• 例
– 元本
– 利率
100円
6% （年率）
半年複利
現時点
1年後
2年後
3年後
100円
106円
112.36円
119.102円
10年後
179.085円
– 利子は１年ごとにつく．
• 利子が半年毎につく．
• 例
– 元本
– 利率
100円
6%（年率）
• 年率で6%であるから半年
＝0.5年ではその半分の
3%になる．
• 半年を1単位期間として勘
定するからn年は2n期間と
なる．
複利の計算式
現時点
0.5年後
1年後
1.5年後
2年後
100円
103円
106.09円
109.273円
112.551円
10年後
180.611円
半年複利の計算式
現時点
1年後
2年後
3年後
100
100×(1+0.06)^1=106円
100×(1+0.06)^2=112.36円
100×(1+0.06)^3=119.102円
現時点
0.5年後
1年後
1.5年後
2年後
100
100×(1+0.06/2)^1=103円
100×(1+0.06/2)^2=106.09円
100×(1+0.06/2)^3=109.273円
100×(1+0.06/2)^4=112.551円
10年後
n年後
100×(1+0.06)^10=179.085円
100×(1+0.06)^n円
10年後
n年後
100×(1+0.06/2)^20=180.611円
100×(1+0.06/2)^(2n)円
4
さまざまな複利期間
• 3ヶ月複利では
– n年後 100×(1+0.06/4)^(4n)
• 1ヶ月複利では
– n年後 100×(1+0.06/12)^(12n)
• 1日複利では
– n年後 100×(1+0.06/365)^(365n)
• もっと複利期間を短くしていくとどうなる？
指数関数による表現
FV (n)
= (1 + kr )
r ⎞
⎛
= ⎜1 + ⎟
rm
⎝
⎠
⎛ 1⎞
= ⎜1 + ⎟
⎝ m⎠
rmn
rmn
⎛⎛ 1 ⎞m ⎞
= ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟
⎜⎝ m ⎠ ⎟
⎝
⎠
rn
→e
連続複利の定式化
•
•
•
•
•
•
•
1年間をk期間に分割
1/k 年複利
元本
1円
金利
r
n年後の預金勘定をFV(n)と書くと
FV(n) = 1×(1+r/k)^(k*n)
k→∞の極限はどうなる？
指数eの定義
mを無限大に大きくすると
(1+1/m)^m → e=2.71828...
k = rm
kn
rn
k を無限大に大きくした極限，
すなわちmを無限大に大きくし
た極限をとると
指数関数のグラフ
指数関数
25
20
y = f ( x) = e x
15
10
5
0
-3
-2.75 -2.5 -2.25
-2
-1.75 -1.5 -1.25
-1
-0.75 -0.5 -0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
1.25
1.5
1.75
2
2.25
2.5
2.75
3
5
指数関数の表記方法
• e の肩に指数を小さく表記する
年複利と連続複利
r
利率
n 預金期間
– ex
• e の代わりにexp（英語で指数を意味する
exponentialの略）を使う
– exp(x)
C 元本
F 将来価値
年複利
F = C (1 + r )
n
連続複利 F = Ce rn = C exp(rn )
連続複利の公式
r
利率
n 預金期間
C 元本
F 将来価値
F = Ce rn
F = C exp(rn )
3.3 複利計算−その2
• 銀行預金
– 利子率（年率）
5%
– 元本
10000円
• 複利計算
– 銀行預金が2万円を超えるのは何年後か？
– 10000×1.05^14=19799
– 10000×1.05^15=20789
– 1.05^y=2 となるyが知りたい
6
3.4 対数の計算
対数法則
a > 0, a ≠ 1 x > 0
log a xy = log a x + log a y
a y = x の解
x = a X y = aY
(X + Y ) = X + Y
y = log a x 対数
a 対数の底
x 真数
a log a x = x
xy = a X × a Y = a X +Y
a 0 = 1 ⇒ log a 1 = 0
a 1 = a ⇒ log a a = 1
対数のグラフ
a >1
0 < a <1
対数法則
y = log a x ⇔
y = an
(a > 0)
y ⇔ a を何乗したら x になるか？
log a
x
= log a x − log a y
y
1 = log a a
⇔ a = a1
x = aX
0 = log a 1
⇔ 1 = a0
(X − Y ) = X − Y
y = aY
x aX
=
= a ( X −Y )
y aY
6 = log 2 64 = log 2 2 6 = 6 log 2 2 = 6
7
対数法則
対数法則
log a xy = log a x + log a y
( )
log a x p = p log a x
log a
x = a X x p = a pX
pX = p × X
( )
log a x p = p log a x
log a x =
log a x =
log b x
log b a
x=b
a=b
A
log10 ( x − 1) + log10 2 = log10 x
log b x
log b a
x = aX
x = aX
Y
log 3 x − log 9 ( x + 2) = 0
x = bY
a=b
⇒ b=a
( )
a X = b Y = a1 A
∴X =Y
A
log b x
log b a
例題 3.4 対数関数
対数法則
log a x =
x
= log a x − log a y
y
Y
1A
= aY
A
A
(b )
A X
a X = bY
⇒
= bY
AX = Y
⇒ ∴X =Y
⇒ b AX = bY
A
8
例題 3.4 対数関数
3.5 常用対数による近似計算
log10 ( x − 1) + log10 2 = log10 x
log 3 x − log 9 ( x + 2) = 0
x −1 > 0
x>0
x>0
log10 2( x − 1) = log10 x
log 3 x =
⇒ 2( x − 1) = x
⇒ x=2
常用対数底を10とする対数
log := log10
x+2>0
log 3 ( x + 2)
log 3 9
1.05 y = 2
log 3 ( x + 2)
⇒ log 3 x =
2 log 3 3
⇒ log 3 x = log 3 ( x + 2)
1
⇒
⇒
⇒
x = ( x + 2) 2
x = 2,−1
x>0→x=2
1
2
log 1.05 y = log 2
log 1.05 = 0.02119
y = 14.20
例題 3.5 常用対数
72の法則
(1 + r ) = 2
⇒
y log 1.05 = log 2
log 2 = 0.3010
n
log e (1 + r ) = loge 2
n
LHS = n log e (1 + r ) ≈ nr
log e (1 + r ) ≈ r
2100
15 200
r << 1
log e 2 ≈ 0.6931
0.6931 0.72
n=
≈
r
r
y < 10 x となる最小の x が y の桁数と関係
xが整数のときはその値
xが実数のときはその整数部分 + 1
9
例題 3.5 常用対数
練習問題 3.1 展開せよ
2100
2100 < 10 x
⇒
⇒
log 2100 < log 10 x
⇒
100 log 2 < x
⇒
31 桁
30.10 < x
(
α
log x y
β
)
p
= log x α + log y β
=
= α log x + β log y
15 200
15 200 < 10 x
⇒
⇒
log 15 200 < log 10 x
200 log 15 < x
10
log15 = log 3 + log 5 = log 3 + log = log 3 + log 10 − log 2 = 1.1761
2
235.2 < x
⇒
236 桁
=
=
y < 10 x となる最小の x が y の桁数と関係
xが整数のときはその値
=
xが実数のときはその整数部分 + 1
練習問題 3.1 展開せよ
(
log x α y β
p
)
qσ
(p
σ −1
+q
σ
σ −1 σ −1
⎛⎛ α ⎞
log⎜ ⎜
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠
⎝
)
1−α
+q
pσ
(p
σ −1
⎛1− α ⎞
+⎜
⎟
⎝ α ⎠
α
+q
σ
σ −1 σ −1
)
⎞
⎟ (0 < α < 1)
⎟
⎠
α1
α2
⎛⎛ α
⎛ α2
I ⎞
I ⎞ ⎞⎟
1
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟
log⎜ ⎜⎜
⎜ ⎝ α 1 + α 2 p1 ⎠
⎝ α 1 + α 2 p 2 ⎠ ⎟⎠
⎝
(σ ≠ 1)
(p
σ −1
+ q σ −1
σ
σ −1
)
+q
pσ
(p
σ −1
+ q σ −1
σ
σ −1
)
pq σ + qp σ
(p
σ −1
(
+ q σ −1
σ
σ −1
)
pq q σ −1 + p σ −1
)
σ
σ −1 σ −1
(p
σ −1
+q
pq
)
(p
σ −1
+ q σ −1
pq
(p
σ −1
+ q σ −1
σ
−1
σ −1
)
)
1
σ −1
練習問題 3.1 展開せよ
⎛ ⎛ α ⎞1−α ⎛ 1 − α ⎞α ⎞
+⎜
log⎜ ⎜
⎟ ⎟
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠
⎝ α ⎠ ⎟⎠
⎝
( x, y > 0)
qσ
⎛ ⎛ α ⎞1−α ⎛ α ⎞ −α ⎞
+⎜
= log⎜ ⎜
⎟ ⎟
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠
⎝ 1 − α ⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ ⎛ α ⎞ −α ⎛ α
⎞⎞
= log⎜ ⎜
+ 1⎟ ⎟
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − α
⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ ⎛ α ⎞ −α ⎛ 1 ⎞ ⎞
⎟
= log⎜ ⎜
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠ ⎜⎝ 1 − α ⎟⎠ ⎟
⎝
⎠
⎛ α ⎞
= log⎜
⎟
⎝1− α ⎠
−α
⎛ 1 ⎞
+ log⎜
⎟
⎝1− α ⎠
α1
α2
⎛⎛ α
I ⎞ ⎛ α2
I ⎞ ⎞⎟
1
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
log⎜ ⎜⎜
⎜ ⎝ α 1 + α 2 p1 ⎠ ⎝ α 1 + α 2 p 2 ⎠ ⎟
⎝
⎠
α1
α2
⎛ α1
⎛ α2
I ⎞
I ⎞
⎟⎟ + log⎜⎜
⎟⎟
= log⎜⎜
⎝ α 1 + α 2 p1 ⎠
⎝ α1 + α 2 p2 ⎠
⎛ α2
⎛ α1
I ⎞
I
⎟⎟ + α 2 log⎜⎜
= α 1 log⎜⎜
⎝ α1 + α 2 p2
⎝ α 1 + α 2 p1 ⎠
= α 1 (log α 1 − log(α 1 + α 2 ) + log I − log p1 )
⎞
⎟⎟
⎠
+ α 2 (log α 2 − log(α 1 + α 2 ) + log I − log p 2 )
= (α 1 + α 2 ) log I − α 1 log p1 − α 2 log p 2
⎛ α ⎞
= log⎜
⎟ + (log 1 − log(1 − α ))
⎝1− α ⎠
= −α (log α − log(1 − α )) − log(1 − α )
+ α 1 log α 1 + α 2 log α 2 − (α 1 + α 2 ) log(α 1 + α 2 )
= (α − 1) log(1 − α ) − α log α
10
練習問題 3.1 展開せよ
(
リターン
)
log x α y β = α log x + β log y
p
qσ
(p
σ −1
+q
σ
σ −1 σ −1
⎛⎛ α ⎞
log⎜ ⎜
⎜ ⎝ 1 − α ⎟⎠
⎝
)
1−α
+q
one - period rt =
pσ
(p
σ −1
⎛1−α ⎞
+⎜
⎟
⎝ α ⎠
α
+ q σ −1
σ
σ −1
)
=
pq
(p
σ −1
+ q σ −1
)
pt − pt −1
pt −1
1
σ −1
ln = log e
⎞
⎟ = (α − 1) log(1 − α ) − α log α
⎟
⎠
log - return rt = ln
rt = ln
α1
α2
⎛⎛ α
I ⎞ ⎛ α2
I ⎞ ⎞⎟
1
⎟⎟ ⎜⎜
⎟⎟
log⎜ ⎜⎜
⎜ ⎝ α 1 + α 2 p1 ⎠ ⎝ α 1 + α 2 p 2 ⎠ ⎟
⎠
⎝
= (α 1 + α 2 ) log I − α 1 log p1 − α 2 log p 2 + α 1 log α 1 + α 2 log α 2 − (α 1 + α 2 ) log(α 1 + α 2 )
pt
pt −1
⎛
pt
p − pt −1 ⎞ pt − pt −1
⎟≈
= ln⎜⎜1 + t
pt −1
pt −1 ⎟⎠
pt −1
⎝
pt − p t −1
<< 1
pt −1
Cobb=Douglus 生産関数
Black=Scholes モデル
株式価格
C コール・オプションの価値
P
生産量
S
K
固定資本
τ オプションの残存期間（年）
L
雇用者数
r リスクフリー・レート
P = bK C
k
K オプションの行使価格
σ
z = log P
株式のボラティリティ
1− k
log P = log b + k log L + (1 − k ) log C
x = log L
z = β + kx + (1 − k ) y
y = log C
β = log b
ln
d
P プット・オプションの価値
(±)
=
1 ⎞
S ⎛
+ ⎜ r ± σ 2 ⎟τ
2 ⎠
K ⎝
σ τ
( )
( )
( )
(
C = SN d ( + ) − Ke − rτ d ( − )
P = − SN − d ( + ) + Ke − rτ − d ( − )
ln = log e
)
11

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