第３学年 組 数学科学習指導案 指導者 （発展コース） （基本コース） １ 単元名 平方根 ２ 単元の目標 ○数の拡張や平方根の必要性と計算に関心をもち，問題の解決に進んで活用しようとしている。 （数学への関心・意欲・態度） ○平方根についての基礎的・基本的な知識及び技能を活用しながら，事象に含む法則を見いだし，論 理的に考察し，数学的な見方や考え方ができる。 （数学的な見方や考え方） ○平方根を含む式の計算をしたり，数を平方根で表現や処理をしたりすることができる。 （数学的な技能） ○平方根の必要性や四則計算の意味と計算方法を理解している。 （数量や図形などについての知識・理解） ３ 単元について （１）単元観 本単元は第１学年での「負の数」以来の数が拡張される大切な単元である。身の回りの事象の中か ら具体的な例を取り上げ，今まで使ってきた有理数の範囲では正確に表すことができない量の存在に 気づかせ，√の記号を用いることの必要性とよさを理解できるようにさせながら，無理数まで広げて い く こ と に な る 。 そし て ， これ ま で表 す こと が でき な かっ た 面積 が ２㎝ ２ とな る 正方 形 の１ 辺 を根 号 √を使って表すことができることやそこから２乗すると根号がとれること，文字を用いた演算と同様 に計算できることをおさえ，無理数を記号√を使って表すことのよさを生かして，その処理について 学習することになる。また，有理数との関連も意識して指導する必要がある また，平方根は今後の２次方程式や２乗に比例する関数，相似や三平方の定理につながる重要な内 容であるため，具体的な場面で平方根を用いて表したり処理できるようにしたい。 （２）生徒観（省略） （３）指導観 平方根は初めて学習する内容であるが，生徒は電卓等で根号√を目にすることもあるため，日常生 活に密着する点があることに注目させたい。√のついた数の計算の指導において，機械的に計算の方 法を指導するのではなく，その計算方法は図形との対応やおよその値などの具体的な量と関連付けて 理 解 でき る よう に配 慮し たい。 そこで，既習事項の有理数の計算方法と関連させながら，自ら発見的に計 算方法を学んでいける工夫をしていく必要がある。また，図形を利用して平方根の大きさをつかんだり，電 卓を利用して平方根の近似値を調べたりする活動を通して平方根の必要性や意味を理解させたい。また，グ ループでの話し合いの場面を設定して，数学の用語を使いながら伝え合う力を育てていきたい。 本 時 で は 方眼 紙 に い ろ い ろ な 大 き さの 正 方 形 を か き ， そ の 1 辺 の 長 さ に 興 味 を 持た せ る 。 そ こ に 出てくる「2 乗して□になる数」の追求から平方根の定義に入りたい。無理数といえ，その長さを自 分の目で確かめることができ，√という記号の便利さも感じ取ることができると考える。この課題を 通して，平方根という概念をより身近なものとして伝えていきたい。 ４ 単元（題材）の指導計画と評価 評価の観点 時 学 習 内 容 評価の規準と方法 関 思 技 知 １ 面積が整数になる正方形の１辺 ○ の長さを求める。（本時） ○ ２ 平方根に関する基本性質を理解 ・無理数となる正方形の１辺に関心をもち，その近似値を求めよう としている。（観察） ・正方形の１辺の長さを通して，平方根の必要性と意味を理解して いる。（観察・ノート） ○ ・平方根の性質について理解している。（ノート） ○ ・平方根の大小関係について理解している。（ノート） ○ ・無理数，有理数の意味を理解している。（発言・観察） している。 ３ 平方根の大小を不等号を使って 表す。 ４ 無理数と有理数の意味を理解し， 数を分類する。 ５ 自然数を素因数分解する。 ６ 素因数分解を利用して，平方根 ○ ・素数を求めたり，素数でない数を素因数分解したりすることがで きる。（小テスト） ○ ・素因数分解を利用して数を積の形に表し，それを問題解決に利用 することができる。（発言・ノート） を求めたり，平方因数をみつけ たりする。 ７ 根号をふくむ数を変形する。 ○ ８ 根号をふくむ式の乗法と除法の ○ 計算をする。 ・根号の中の数を簡単にするなど根号のついた数を変形することが できる。（ノート・小テスト） ○ ９ 分母の有理化の意味とその計算 ○ ・分母を有理化して根号のついた数を変形することができる。 （小テスト） をする。 10 平方根のおよその値を求める。 ○ 11 根号をふくむ式の加法と減法の ・平方根の乗除の計算方法を利用して，近似値の計算を考えること ができる。（観察） ○ 計算をする。 ○ 12 分母を有理化してから，根号を ・分母の有理化を利用して，根号をふくむ式の式の加減の計算がで きる。（ノート） ○ ・分配法則や乗法公式を利用して，根号をふくむ式の計算ができる。 （観察・ノート） 根号をふくむ式の計算をする。 14 身のまわりで，平方根が利用さ ○ ・身のまわりの平方根に関心をもち，平方根が利用されている具体 的な場面を調べたり，そのよさを考えたりしようとしている。 ・具体的なことがらで，平方根を用いて表すことのよさを考えるこ とができる。（観察・ノート） れている場面について考える。 ○ 15 章のまとめ ・根号をふくむ式の式の加減の計算ができる。（ノート） ・根号をふくむ式の加減の計算の方法を理解している。（観察） ○ ふくむ式を計算する。 13 分配法則や乗法公式を利用して ・根号をふくむ式の乗除の計算ができる。（小テスト） ・根号のついた数の乗除の計算の方法を理解している。（観察） ○ ・学習した内容の問題を解くことができる。（プリント） ５ 本時の計画（本時 １／１５）［発展コース］ （１）ねらい ・無理数となる正方形の１辺に関心をもち，その近似値を求めようとしている。 ・無理数となる正方形の１辺の長さについて考えることを通して，平方根の必要性と意味を理解している。 （２）学習過程 過程 学 習 活 動 (時間) つ か む １ （３） 見 通 す ２ 教 師 の 支 援 と 評 価 （○支援 ◇つまずきへの対応） 方眼紙を利用して面積が１㎝２ ○正方形の面積は１辺の２乗であることを確認す ～５㎝ ２ の整数になる正方形をか る。 く。そのときの正方形の１辺の長 ○正方形の定義や性質を確認する。 さを求める。 学習課題を確認する。 面積が□㎝ ２ の正方形の１辺の長 さは何㎝だろうか。 ○正方形の１辺を求めるときは，定規や電卓を使 って求めるようにする。 ○面積が□㎝ ２ である正方形であることを説明で きる図をつくるように指示する。 教材・資料 黒板用方眼 紙 方眼紙 （5） ３ 追 求 す 方眼紙を利用して，正方形をか ◇２㎝ ２ の面積などの正方形をかくのに苦労して き，正方形の１辺の長さを求め いる場合は斜線を利用するというヒントを与え る。 る。 ○できない正方形があることも気づかせる。 ○電卓を利用して，１辺の長さの近似値を小数第 ２位まで求めることを指示する。 無理数となる正方形の１辺に関心をもち，そ の近似値を求めようとしているか。 ＜関心・意欲・態度＞ （観察） ◇正方形を作成するの段階でほめながら，定 規で測定しておよその値を求めて，電卓を 利用して，近似値を求めていくように助言 する。 る （34） ○個で考える時間を設けたあとグループの中で話 し合いを行い，考えを伝え合う時間を設定する。 ○面積が□㎝ ２ になる説明するとき，いろいろな 考えを取り上げる。 ４ ５ ６ 面積２㎝２と５㎝２の正方形の１ ○面積が２㎝２の面積の正方形の１辺が 1.41.㎝が 辺の長さに注目して，正確に出 およその数であることを気づかせる。 す方法を考える。 ○根号√は平方根を表す記号であることを確認す る。 他にも面積が整数で１辺の長さ ◇方眼紙を利用して，斜線の種類がいろいろある が√を使わないと表せない正方 ことを助言する。 形をかく。 発見した正方形の１辺を発表し ○面積が８㎝２の正方形がある場合は面積２㎝２ 合う。 の面積の１辺の長さが２倍であることに着目さ せる。 無理数となる正方形の１辺の長さを通して， 平方根の意味を理解しているか。 ＜知識・理解＞ （観察・ノート） ◇有理数では表せない数のπなどの例を出し て助言する。 ま と め る ６ 根号√の使い方と平方根の性質 ○面積が２㎝２や５㎝２などの正方形の１辺の長さ を確認する。 を表す数は有理数で表せないことを確認する。 ○２乗して正 の整数になることを利用して， １ ＝１， ４ ＝２であることを確認する。 本時の視点 ・数学的な言葉を身に付けさせる指導の工夫は、表現活動に生かされていたか。 ・生徒が達成感を感じることができるような学習課題や学習活動であったか。 電卓 ５ 本時の計画（本時 １／１５）［基本コース］ （１）ねらい ・無理数となる正方形の１辺に関心をもち，その近似値を求めようとしている。 ・無理数となる正方形の１辺の長さについて考えることを通して，平方根の必要性と意味を理解している。 （２）学習過程 過程 学 習 活 動 (時間) つ か む １ （5） 見 通 す （7） ２ 方眼を利用して正方形をかき， ○正方形の定義や性質を確認する。 その面積を求める。 ○面積が考えやすいように，もととなる方眼１つ 分の面積を提示しておく。 ◇正方形が作れない生徒には，１辺を与え，それ と等しい４辺で囲んでみるように促す。 学習課題を把握する。 面積が□ cm2 の正方形の１辺の長 さは何 cm だろうか。 ３ 教 師 の 支 援 と 評 価 （○支援 ◇つまずきへの対応） ○全体の前での説明に取り組ませやすくするため に，図に書き込むなど，個の考えをまとめる時 間を確保する。 ◇言葉での理解が難しい生徒も視覚で理解できる ように，色を使い分けた図にする。 ４ 面積が２ cm2 の正方形につい ○実測した数が２乗しても２にならない数である て，１辺の長さを考え，調べる。 ことを明らかにするために，(正方形の１辺の 長さ)２＝（正方形の面積）という形の式で書き 残す。 ◇２乗して２になる数を，適切な数の範囲の中で 探すことができるように，整数を２乗した数を 掲示しておく。 追 無理数となる正方形の１辺に関心をもち，そ の近似値を求めようとしているか。 ＜関心・意欲・態度＞ （観察） ◇今までに学習した数では２乗しても２にな らないことに自ら気づき，実感できるよう に，電卓を使って様々に計算させる。 す ５ る （33） 面積が２ cm2 以外の正方形につ ○面積を求める段階でとどまってしまうことのな いて，面積を求め，１辺の長さを いように，状況を見て，進んでいる生徒の正方 求める。 形を紹介したり，斜めの１辺を与えたりして， 自力で１辺の長さを求める段階まで到達させ る。 ○問題解決に数学的手段を用いることができるよ うに，図や式を利用するよう助言する。 ○ペアで説明させ，相手に分かるように伝え合う 場を設ける。 ◇面積を求めることができない生徒には，めやす となる一部を囲んで思考を助ける。 無理数となる正方形の１辺の長さを通して， 平方根の意味を理解しているか。 ＜知識・理解＞ （観察・ノート） ◇面積が２ cm2 の正方形の場合と比べながら 確認をする。 ま と め る ６ 本時のまとめをする。 黒板用方眼 紙 方眼紙 ○斜めではない正方形について課題に取り組むこ とにより，課題を見通しやすくする。 ○(正方形の１辺の長さ)２ ＝（正方形の面積）と いう形の式を書かせておくことで，平方根の意 味理解につながるようにする。 面積が２ cm2 の正方形につい て，面積を求める。 求 教材・資料 ○図や穴埋めなどを利用して，平方根の意味をよ りかみくだいた形で理解させる。 （5） 本時の視点 ・数学的な言葉を身に付けさせる指導の工夫は、表現活動に生かされていたか。 ・生徒の主体的な活動を促すための支援は適切であったか。 電卓
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