数学演習 A 問題（解析 1A） No.2 2015 年 4 月 28 日 ( g(x) )′ g ′ (x)f (x) − g(x)f ′ (x) 2-1. (1) 微分の定義により， = を示せ． f (x) f (x)2 f ′ (x) (2) 対数微分法 (log f (x))′ = を用いて，次の関数の導関数を求めよ．ただし，a, b は実数で f (x) あり a > 0 とする． (1) f (x) = ax (x ∈ R) (2) g(x) = xb (x > 0) 2-2. (1)–(4) は値を求め，(5),(6) は簡単にせよ． (1) (1) Arcsin 2 (5) e− log x (2) Arcsin(−1) (6) (3) Arctan(1) ( 1 ) (4) Arctan − √ 3 e5 log x+x log 5 2-3. 次の関数の導関数を求めよ．ただし x が独立変数，a, b は定数である． (x) (1) y = Arcsin(ax + b) (2) y = Arctan (3) y = xArcsin(x) a (ヒント：sin(y) = ax + b の両辺を x について微分する．残りも同様．) 2-4. 次の関数の n 階導関数を求めよ． (1) f (x) = eax (2) g(x) = log(1 + 2x) 2-5. (1) 次を簡単にせよ． (i) tan(Arcsin(x)) (ii) cos(2Arctan(x)) (ヒント：(i) Arcsin(x) = α とおいて，図を描く．(ii) Arctan x = β とおいて．．．) π π (2) y = Arcsin(sin x) (x ∈ R) のグラフを描け．(注意：− ≦ Arcsin(u) ≦ である．) 2 2 2-6. 関数 y = x3 + 1 の逆関数を求めよ．ただし，x を独立変数とした表記にすること．また，その導関数を求めよ． 2-7. 導関数を求めよ．ただし，a は正の定数である． ( ) x (1) Arctan(e−x ) (2) Arcsin √ x 2 + a2 (1) (3) Arctan(x) + Arctan x 2-8. 逆関数とその導関数を求めよ． (1) y = exp(tan(x)) (2) y = Arcsin(1 − 2x2 ), 0 ≦ x ≦ 1