第5回環と体

第 5 回環と体 1
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√
問 1. i = −1 とするとき Z[i] を
Z[i] = {z = a + bi ∈ C | a, b ∈ Z}
とする．Z[i] は自然な演算で環となる．以下の問いに答えよ．
(1) Z[i] が可換環であることを示せ．
z1 = a + bi, z2 = c + di ∈ Z[i] に対して z1 z2 = z1 z2 を示す.
z1 z2 = (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + cd)i,
(2) z = a + bi ∈ Z[i] に対して N (z) = z z¯ =
a2
+
b2
z2 z1 = (c + di)(a + bi) = ac − bd + (ad + cd)i.
とする．(ここでz¯ = a − bi) N (i) と N (1 + i) を求めよ．
N (1 + i) = 12 + 12 = 2
N (i) = 1,
(3) i と 1 + i は積に対する逆元を持つか、もてば求めなさい．
i(−i) = 1 なので i の逆元は −i である. 1
1−i
1
1
(1 + i)x = 1 とすると x = 1+i
= (1+i)(1−i)
= 1−i
2 = 2 − 2 i である.
ここで 21 ∈ Z なので 12 − 12 i ̸∈ Z[i] なので 1 + i は逆元をもたない. (4) z ∈ Z[i] が逆限をもてば N (z) = 1 であることをを示せ．( 実は逆も成り立つ．)
w ∈ Z[i] を z の逆元とすると zw = 1 である.
1 = N (1) = N (zw) = zwzw = zw¯
zw
¯ = z z¯ww
¯ = N (z)N (w)
なので, N (z) ∈ Z に注意すると N (z) = 1 がわかる.
問 2. R を整域で a, b, c ∈ R (c ̸= 0) のとき
ac = bc ⇒ a = b
を示せ．
ac = bc ⇔ (ac − bc) = (a − b)c = 0
仮定より R は整域なので c ̸= 0 のとき a − b = 0 すなわち a = b となる.

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