数学授業線型代数学Ⅰ 科目 Linear Algebra Ⅰ 単位 2 開講教畑田一幸（専攻：代数科目 1 年前学期員番号時期学・数論） 5 【授業概要】線型代数学の基礎理論は，数学のみならず，自然科学，工学，経済学等にも応用される。本講義では，行列と行列式について，基礎的な理論・方法を理解させると共に実際の計算技術も習得させる。 1．平面・空間ベクトル 2．直線と平面の方程式，パラメータ表示 3．平面の回転と行列，線型変換 4．3 次行列と線型変換 5．行列の定義と演算 6．正方行列，正則行列 7．行列と数空間の線型写像，線型変換 8．行列の基本変形，階数 9．一次方程式系 11．合同変換 10．内積，ユニタリ行列，直行行列 12．置換と行列式 13．行列式の展開 15．まとめと復習 14．数空間に関して，基底，次元，一次独立性と一次従属性【事前履修科目】【参考資料等】教科書：斎藤正彦著線型代数入門（東大出版会）数学授業線型代数学Ⅱ 科目 Linear Algebra Ⅱ 単位 2 開講教 1 年後学期員藤本圭男時期科目番号 10 【授業概要】一次関数ｙ＝ aｘは，独立変数ｘと従属変数ｙの間の比例関係を表すが，x,yをベクトル X,Yに，比例定数ａを行列Ａで置き換えると，自然に線型性なる概念にたどり着く。中高で習うデカルトの座標平面，空間を，一搬化したｎ次元ユークリッド空間，更に線形（ベクトル）空間の上で，線形写像，行列の理論を展開していく。高校数学の行列や，連立１次方程式の解の構造を，より統一的な立場から捉える。中高の解析幾何で登場した直交座標軸の上で，図形を表す事は，時として面倒である。そこで，適当な斜交座標系を設けて，この上で，図形を出来るだけ簡単な式で表示する事を試みる（基底変換，ゲージ変換）。同様のアイデアを，線形空間の上の線形写像に対して遂行する事が基本原理です。具体的には，前期の線形代数学 I を基礎として，固有空間（スペクトル）分解，及び，ジョルダン分解理論，２次形式理論等を体得する。【授業内容】 1 ∼ 4 週：線形空間 5 ∼ 9 週：固有空間分解及び２次形式 10 ∼ 14 週：ジョルダン分解 15 週：試験【テキスト】前期，線形代数 I と同様。授業代数学Ⅰ 科目 Algebra Ⅰ 単位 2 開講教畑田一幸（専攻：代数科目 2 年後学期員時期番号学・数論） 15 【授業概要】代数学Ⅰ，Ⅱ，Ⅲで 1 セットになっている授業の第 1 番目。群論を初心者の為に講義する。群の基本性質を述べると共に，高度な数学の基礎となる部分も扱う。高等学校までに学んだ数学，算数との関連も述べる。【授業内容】 1．集合と写像の復習。 2．数と多項式の基本的な性質。 3．代数系。モノイドと群の定義。群の実例。可換群と非可換群。 4．部分群と正規部分群。コセット分解。 5．剰余群。群の準同型写像と同型写像。 6．群の準同型定理と同型定理。 7．直積と直和。自己同型群。 8．群の作用。 9．共役類と類等式。 10．シローの定理。 11．有限可換群。有限生成可換群の基本定理。 12．有限生成可換群の続き。作用域を持つ群。 13．正規列。組成列。 14．可解群。べき零群。 15．自由群。生成元と基本関係。【事前履修科目】線型代数学Ⅰ，Ⅱ。代数学Ⅰ演習も履修することが望ましい。【参考資料等】彌永昌吉，彌永健一著代数学（岩波全書）；小平邦彦監修岩波講座基礎数学。 N.Bourbaki, ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Hermann. -67- 授業代数学Ⅱ 科目 Algebra Ⅱ 単位 2 開講教畑田一幸（専攻：代数科目 3 年前学期員学・数論）時期番号 20 【授業概要】代数学Ⅰ，Ⅱ，Ⅲで 1 セットになっている授業の第 2 番目。初等整数論と環と加群について，基礎的概念を把握させる。自然数，有理整数環，有理数体，実数体，複素数体も扱う。高等学校までに学んだ数学，算数との関連も扱う。（副専の，中学校数学２種免許用として必修。）【授業内容】 1．環と多元環の定義と例。有理整数環，多項式環，行列環。 2．整域と可換環。 3．左，右，両側イデアル，素イデアル，極大イデアル。 4．剰余環，環の準同型写像と同型写像，環の準同型定理と同型定理。 5．約元と倍元。素元と既約元。 6．単項イデアル整域，一意分解環。 7．初等整数論（その 1）。 8．単項イデアル整域上の有限生成加群の基本定理。 9．初等整数論（その 2）。 10．可換環の局所化，局所環。 11．加群と準同型写像。 12．ネター加群，アルチン加群，ネター環，アルチン環。 13．斜体，非可換環，ラジカル。 14．半単純性。半単純環。完全可約加群。 15．アルチン加群。ウェッダーバーンの定理。【事前履修科目】代数学Ⅰ；線型代数学Ⅰ，Ⅱ．【参考資料等】彌永昌吉，彌永健一著代数学（岩波全書）；小平邦彦監修岩波講座基礎数学； N. Bourbaki, ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Hermann．授業代数学Ⅲ 科目 Algebra Ⅲ 単位 2 開講教畑田一幸（専攻：代数科目 3 年後学期員学・数論）時期番号 25 【授業概要】代数方程式，体論，ガロワ理論の講義。代数学Ⅰ，Ⅱ，Ⅲで1セットになっている授業の第3番目。高等学校までに学んだ数学，算数との関連も述べる。【授業内容】 l．体の拡大と合成。 2．拡大次数，有限次拡大，単純拡大。 3．代数拡大，代数閉体，代数的数。 4．超越拡大，超越次数，超越数。 5．体の準同型写像と同型写像。 6．分離次数と分離拡大。 7．正規拡大と体の自己同型群。 8．ガロワ拡大，ガロワ群，ガロワの基本定理。 9．有限体。代数学の基本定理。 10．1 の巾根，クンマー拡大。 l1．可解拡大，巾根拡大，巾根により可解な代数方程式。 12．根の公式について。 13．ギリシヤの作図問題と体論と円周率。 l4．実体と順序体。 15．代数的整数論との関連。【事前履修科目】代数学Ⅰ，Ⅱ；線型代数学Ⅰ，Ⅱ。【参考資料等】彌永昌吉，彌永健一著代数学（岩波全書）；小平邦彦監修岩波講座基礎数学； N. Bourbaki, ELEMENTS DE MATHEMATIQUE, Hermann,（和訳東京図書）. 授業代数学Ⅰ演習科目 Algebra Ⅰ (Exercises) 単位 1 開講教畑田一幸（専攻：代数科目 2 年後学期員学・数論）時期番号 30 【授業概要】群論と関連する数学の内容の演習を行う。演習を通じて学生の理解を確実にする。【授業内容】 l．集合，写像，自然数に関する演習。 2．数と多項式に関する演習。 3．巡回群，対称群等の実例に関する演習。 4．合同変換群，2 面体群，行列群に関する演習。 5．部分群，正規部分群，中心，交換子群，正規化群等の演習。 6．剰余群及び群の準同型写像と何型写像の演習。 7．直積，直和，自己同型群の演習。 8．群の作用に関する演習。 9．共役類と類等式に関する演習。 l0．シローの定理に関する演習。 11．有限可換群に関する演習。 l2．有限生成可換群に関する演習。 l3．作用域を持つ群，正規列，組成列に関する演習。 l4．可解群，べき零群に関する演習。 l5．自由群，群の基本関係に関する演習。【事前履修科目】線型代数学Ⅰ，Ⅱ。【参考資料等】彌永昌吉，彌永健一著代数学（岩波全書）；小平邦彦監修岩波講座基礎数学； N. Bourbaki, ELEMENTS DE MATHHMATIQUE, Hermann.（和訳東京図書）. -68- 授業幾何学Ⅰ 科目 Geometry Ⅰ 単位 2 開講教 2 年前学期員藤本圭男時期科目番号 35 【授業概要】複素数の基本的性質から始めて，複素数にまつわる幾何学，非ユークリッド幾何の紹介。複素数というと，高校数学のイメージから，現実には存在しないが，2 次方程式を解くために無理やり造られた幽霊の数体系だと，信じている人が多いと思われる。しかし，実は逆で，実数の世界の現象でも，複素数の世界から眺めて，初めて，本質の見える事が多々ある。（例えば，オイラーの等式により，円周率πと自然対数の底eが，複素数の世界で結合する。初等幾何のポンスレーの閉形定理は，驚くべき事に，複素数を用いて初めて説明可能。）複素数の四則演算の幾何的意味付けから始めて，複素数の幾何学，リーマン球面や一次分数変換，無限遠点等を紹介する。応用として，合同変換の幾何，非ユークリッド幾何（三角形の内角の和が 180 度にならない幾何学も存在する）にも触れる。【授業内容】 1 ∼ 8．複素平面の話から始めて，複素数の幾何学の基礎を紹介。 9 ∼ 15．非ユークリッド幾何の紹介。【事前履修科目】線形代数学Ⅰ，線形代数学Ⅱ 【参考資料等】ユークリッド幾何から現代幾何へ（小林昭七著，日本評論社），複素数 30 講（志賀浩二著，朝倉書店）幾何再入門（G．ジェニングス著，伊理正夫，由美訳，岩波書店）数学授業幾何学Ⅱ 科目 Geometry Ⅱ 単位 2 開講教 3 年前学期員藤本圭男時期科目番号 40 【授業概要】台風の目や，人間の頭の旋毛が，何故，生じるのか考えたことが有りますか？又，球面3角形では，内角の和が180度よりも大きくなり，小学校以来の日常生活の経験とは，大いに異なる。こうした疑問に答えるのが，微分幾何のガウス，ボンネの定理です。幾何学Ⅰの続編として，解析や幾何の交錯する面白いトピックを，2，3 回を 1 セットとして，数回，紹介する予定。【授業内容】 1 ∼ 5．幾何学と対称性，合同変換の話 6 ∼ 10．ガウス，ボンネの定理入門 11 ∼ 15．線形群入門，等質空間上の幾何学【事前履修科目】線形代数Ⅰ，Ⅱ 代数学Ⅰ，幾何学Ⅰ．【参考資料等】曲線と曲面の微分幾何（小林昭七著，しょう華房） Caution: 線形代数＆群論＆幾何学 1 のイロハを知らずに単位が取れる確率＜横浜が優勝する確率。授業幾何学Ⅲ 科目 Geometry Ⅲ 単位 2 開講教 3 年後学期員藤本圭男時期【授業概要】幾何学Ⅱと同じ。【授業内容】 1 ∼ 6．代数曲線の話。 7 ∼ 12．Poncelet の閉形定理の紹介。 13 ∼ 15．組み紐の数理。Dirac の紐ゲーム。【事前履修科目】線形代数Ⅰ，Ⅱ 代数学Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ 幾何学Ⅰ，Ⅱ．【参考資料等】 -69- 科目番号 45 授業続微分積分学科目 Calculus 単位 2 開講教 1 年後学期員山田雅博時期科目番号 50 【授業概要】微分積分学の基本的な部分を学ぶ。1 変数関数の積分法に関する授業。【授業内容】 Ⅰ．不定積分と定積分 1．積分の定義 Ⅱ．初等関数の積分 1．部分積分と漸化式 2．部分積分と置換積分 2．有理関数の積分 3．無理関数の積分 4．三角関数の積分 Ⅲ．広義積分 1．積分の収束，発散 2．ガンマ関数，ベータ関数【事前履修科目】 1 年前期に全学共通科目（ジャンル別）「微分積分学」を履修していることが望ましい。【参考資料等】中井三留著，微分法と積分法，学術図書出版授業解析学Ⅰ 科目 Analysis Ⅰ 単位 2 開講教 2 年前学期員山田雅博時期科目番号 55 科目番号 60 【授業概要】微分積分学Ⅱの続き，微分積分学の基礎的な部分を学ぶ。多変数関数の微分法，積分法に関する授業。【授業内容】 Ⅰ．多変数関数の微分法 1．多変数関数について 2．偏微分，全微分 3．接平面と法線 Ⅱ．多変数関数の積分 4．多変数関数の極大，極小 1．重積分について 3．積分順序の交換 2．重積分の計算 4．重積分の変数変換 5．広義重積分【事前履修科目】微分積分学Ⅱ 【参考資料等】教科書使用。中井三留，微分法と積分法，学術図書出版社授業解析学Ⅱ 科目 Analysis Ⅱ 単位 2 開講時期 3 年前学期教石渡哲哉員【授業概要】複素関数論入門。複素数，複素平面から始まり複素積分まで。【授業内容】 Ⅰ．複素数 1．複素数 2．複素平面 Ⅱ．複素関数 1．連続関数 2．正則関数 3．初等関数 Ⅲ．複素積分 1．複素積分 2．コーシーの積分定理 3．コーシーの積分公式【事前履修科目】続微積分学，解析学Ⅰ 【参考資料等】特になし -70- 授業解析学Ⅲ 科目 Analysis Ⅲ 単位 2 開講教 3 年後学期員山田雅博時期科目番号 65 【授業概要】 4 年次の卒業研究の準備として，ゼミ形式で行う。【授業内容】内容については，数学及び数学教育に関連した何冊かの本を提示し，学生と相談の上で決める。3 年後期にゼミ配属となった学生を中心に輪講を行う．なお，他の学生についても聴講を進める。【事前履修科目】特になし【参考資料等】特になし数学授業解析学Ⅳ 科目 Analysis Ⅳ 単位 2 開講時期 3 年後学期教石渡哲哉員科目番号 70 【授業概要】 4 年次の卒業研究を進める上で必要な解析学および応用数学に関する基礎的事柄を習得することを目指す。【授業内容】内容については，解析学あるいは応用数学に関連した本を掲示し，学生と相談の上で決める。３年後期にゼミ配属となった学生を中心に輪講を行う。なお，他の学生についても聴講を勧める。【事前履修科目】続微積分学，解析学Ⅰ，Ⅱを履修していることが望ましい。【参考資料等】特になし授業位相数学Ⅰ 科目 Topology Ⅰ 単位 2 開講教 2 年後学期員竹内茂時期科目番号 75 【授業概要】授業形態としては講義・演習を併用し，現代数学のあらゆる分野において必要とされる集合論の基礎的事項から始まって，距離空間の位相の基本的事項の解説を行う。現代数学のあらゆる分野で多用される基礎的概念や方法なので，是非マスターしてもらわねばならない。学生は自宅学習として随時，演習問題を解く。予習復習の履行状況を見るために，毎週 30 分程度を演習・質問時間枠として確保する予定。【授業内容】 1．ユークリッド空間，近傍，内点，外点 2．境界点，触点，孤立点，集積点 3．内部，外部，境界，閉包，開集合，閉集合 4．距離空間，距離関数，三角不等式 5．連続写像，連続関数 6．有界閉集合，連続関数の最大（小）値 7．ハイネ・ボレルの定理 8．連結集合，中間値の定理， 9．点列，部分列，収束 10．コーシー列，完備距離空間，距離空間の完備化 11．位相空間，コンパクト空間 12．分離公理，ハウスドルフ空間 13．積空間 14．商空間 15．試験【参考資料等】教科書「集合と位相」内田伏一著（裳華房，1986）【評価】授業時間内の演習問題解答と期末考査成績を総合評価 -71- 授業位相数学Ⅱ 科目 Topology Ⅱ 単位 2 開講教 3 年前学期員竹内茂時期科目番号 80 【授業概要】授業形態としては講義・演習を併用し，幾何学・解析学の基礎空間としての微分可能多様体の基本的事項の解説と問題演習を行う。内容的には物理学や工学で取扱うベクトル解析をより数学的にしたものと思えばよい。以下の用語・概念・定理等の定義・解説・証明等を行い，学生は演習問題を解く。予習復習の履行状況を見るために，毎週 30 分程度を演習・質疑応答時間枠として確保する予定。【授業内容】 1．位相多様体，微分多様体，座標近傍系と局所座標，座標変換 2．多様体の具体例と座標の導入の仕方 (1) 球面，トーラス 3．多様体の具体例と座標の導入の仕方 (2) 射影空間 4．微分可能写像，微分可能関数 5．微分位相同型，微分構造 6．部分多様体，直積多様体 7．接空間，写像の微分 8．埋め込み，はめ込み 9．正則点，臨界点 l0．ベクトル場，微分形式・テンソル場 11．外微分，ド・ラーム複体 12．ストークスの定理 13．多様体のド・ラームコホモロジー群 14．微分多様体の応用 15．試験【事前履修科目】予備知識として，位相数学Ⅰ，微分積分学ⅠⅡ，線形代数学ⅠⅡの履修を前提する。【参考資料等】教科書「多様体の基礎」松本幸夫著（東大出版）授業位相数学Ⅲ 科目 Topology Ⅲ 単位 2 開講教 3 年後学期員竹内茂時期科目番号 85 【授業概要】トポロジーの重要分野である代数的位相幾何学において，基本的な概念である基本群やホモロジー群の基礎的事項について講義，問題演習を行う。卒論の準備として必修【授業内容】 1．写像空間，弧状連結集合， 2．局所弧状連結，ホモトピー， 3．基本群，単連結空間 4．誘導写像，ホモトピー逆写像， 5．基本群の不変性・函手的性質， 6．被覆空間，ホモトピー被覆定理， 7．被覆変換群，普遍被覆空間， 8．曲面の基本群の具体例とその計算， 9．単体的複体，具体例， 10．位相空間の単体分割・向き付け， 11．鎖加群及びそのホモロジー群， 12．ベッチ数，捻れ係数，オイラー標数， 13．オイラー・ポアンカレの定理， 14．ホモロジーとホモトピーの関係 15．試験【事前履修科目】位相数学Ⅰ，Ⅱ，代数学Ⅰ，Ⅱを履修していることが望ましい。【参考資料等】参考書「位相幾何学」加藤十吉著（裳華房）授業位相数学Ⅰ演習科目 Topology Ⅰ (Exercises) 単位 1 開講教 2 年後学期員竹内茂時期科目番号 90 【授業概要】授業形態としては学生による演習を主体とし，同時並行の講義「位相数学Ⅰ」を補完するものである。位相的概念は現代数学のあらゆる分野に登場すると言っても過言ではない。これをしっかりマスターするためには，講義の受講だけでなく，自分自身で演習問題を解く努力が必要である。【授業内容】 1．ユーグリッド空間，近傍，内点，外点，境界点，触点，孤立点，集積点， 2．内部，外部，境界，閉包，開集合，閉集合， 3．距離空間，距離関数，三角不等式， 4．連続写像，連続関数， 5．位相，位相空間，積位相，商位相 6．コンパクト集合 7．有界閉集合，連続関数の最大（小）値，ハイネ・ボレルの定理 8．連結集合，中間値の定理， 9．点列，部分列，収束，コーシー列， 10．完備距離空間【事前履修科目】数学概論，位相数学Ⅰ 【教科書】「集合と位相」内田伏一著（裳華房，1986）【評価】教科書の演習問題の解答による。時間の制約等により授業時間内に板書による解答が出来ないか，または不備がある者はレポートとして提出（e-mail 可）乃至教室に掲示すること。 -72- 授業統計学Ⅰ 科目 Statistics Ⅰ 単位 2 開講教 3 年後学期員愛木豊彦時期科目番号 95 【授業概要】確率の定義，事象の独立性，確率変数（離散型，連続型）の取り扱いを学ぶ。具体的な様々な確率変数に対し，期待値，分散を求めることができるようになることを目標とする。さらに，標本分布やいろいろな確率分布を学び，統計的推定や統計的検定を理解し，実際の場面でこれらを適用できる能力を身につけることを目標とする。試験の結果によって評価する。【授業内容】 1．平均，分散，標準偏差 2．試行，標本空間 3．確率の定義と基本的な性質 4．条件付き確率，事象の独立性 5．離散型確率変数の定義，期待値，分散 6．2 項分布 7．連続型確率変数の定義，期待値，分散 8．確率密度関数 9．正規分布の性質 10．2 次元の連続型確率変数，確率変数の独立性 11．2 次元の確率変数の期待値，分散 12．標本分布 13．平均値の区間推定 14．母平均に関する仮説の検定 15．試験【事前履修科目】微分積分学，続微分積分学【参考資料等】教科書は特に指定しない。「数理統計入門」猪野富秋・伊藤正義著森北出版，「数理統計入門」松本裕行・宮原孝夫著学術図書出版社授業電子計算機科目 Computer 単位 2 開講教 2 年前学期員石渡哲哉時期科目 100 番号【授業概要】講義（実習）を通して，基礎的なプログラミング技術を習得する。プログラミング言語としては BASIC を用いる。【授業内容】 Ⅰ．レポート作成技術 1．図版を取り込んだ文章の作成 Ⅱ．BASIC 入門 1．プログラム言語 2．基本操作の確認 3．データの入出力 Ⅲ．基礎的プログラミング 1．データ・変数の型 2．簡単なデータ処理，算術演算子 3．判断分岐，論理演算子 4．配列変数，繰り返し 5．ファイル入出力 Ⅳ．課題作成【事前履修科目】【参考資料等】特になし -73- 数学