I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
1 / 51
場の理論の定式化
I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
2 / 51
場の理論の定式化
場
空間の各点 r = (x, y, z) に自由度をもつ力学変数 (q i (t), i → r)
場の種類
スカラー場（スピン 0） ϕ(x) = ϕ(t, r)
スピノール場（スピン 12 ） ψα (x) (α = 1, 2, 3, 4)
ベクトル場（スピン 1） Aµ (x) (µ = 0, 1, 2, 3)
これ以外に,
重力場（スピン 2） gµν (x)
Rarita–Schwinger 場（スピン 32 ） ψµα (x)
反対称テンソル場 Bµ1 µ2 ···µn (x)
などもある。
以下では, 一般的な場を
φi (x)
(i = 1, 2, 3, · · · )
で表す。
3 / 51
場の理論の定式化
場の方程式
場の時間発展 (dynamics) を決める方程式（運動方程式）
自由場の場合（場について線形）
スカラー場 Klein–Gordon 方程式 □ = η µν ∂µ ∂ν ：ダランベルシアン
(
)
□ + m2 ϕ = 0
スピノール場 Dirac 方程式 γ µ ：ガンマ行列
(iγ µ ∂µ − m) ψ = 0
ベクトル場 Proca 方程式 Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ：場の強さ
∂µ F µν + m2 Aν = 0
(m = 0 のときは, Maxwell 方程式 ∂µ F µν = 0)
4 / 51
場の理論の定式化
Proca 方程式
Proca 方程式
←→
∂µ F µν + m2 Aν = 0
同値
(
)
□ + m2 Aν − ∂ ν ∂µ Aµ = 0
(1)
(1) の左の式の両辺に ∂ν を作用すると, ∂ν ∂µ F µν = −∂µ ∂ν F νµ = 0 だから,
m2 ∂ν Aν = 0 が得られる。したがって, m ̸= 0 ならば,
∂µ A µ = 0
(2)
)
□ + m2 Aµ = 0
(3)
これを (1) の右の式に代入すると,
(
逆に, (2), (3) が成り立てば, (1) が成り立つのは明らかである。
したがって, m ̸= 0 のとき, Proca 方程式 (1) は方程式の組 (2), (3) と同値である。
5 / 51
場の理論の定式化
(3) は, Aµ を量子化したとき, 質量 m の粒子が現れることを表す。
(2) は, Aµ の 4 つの成分のうち独立なものは 3 つ (A1 , A2 , A3 ) であることを表す。
したがって, m ̸= 0 の場合は, 3 つのスピン（偏極）自由度（横波 2 つ, 縦波 1 つ）
がある。
p
m = 0 の場合 (電磁場の場合) は, ゲージ不変性があるため, 2 つのスピン（偏極）
自由度（横波 2 つ）しかない。
p
6 / 51
場の理論の定式化
場の方程式
相互作用のある場合（場について非線形）の例
(
)
□ + m2 ϕ + λϕ3 = 0,
[iγ µ (∂µ − ieAµ ) − m] ψ = 0
(λ, e：結合定数)
相互作用の形を決める原理は？ =⇒ 対称性
適当な対称性を要請することにより, 相互作用の形を決める（制限する）。
対称性を議論するには, 場の方程式よりも作用やラグランジアンを使った方が便利。
7 / 51
場の理論の定式化
変分原理
∫
作用
d4 x L(φi , ∂µ φi ),
S[φi ] =
(
L : ラグランジアン（密度）
∫
L=
)
∫
d r L : ラグランジアン,
3
S=
dt L
変分
]
∂L
∂L
+ δ(∂µ φi )
∂φi
∂(∂µ φi )
i
[
(
)]
∫
∑
∂L
∂L
4
δφi
=
d x
− ∂µ
+ (表面項)
∂φi
∂(∂µ φi )
i
∫
δS =
d4 x
δS = 0
=⇒
∑[
δφi
(
∂µ
∂L
∂(∂µ φi )
)
−
∂L
= 0 (場の方程式)
∂φi
8 / 51
場の理論の定式化
ラグランジアン
自由場の場合（場について 2 次）
スカラー場
L=
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2
2
2
スピノール場 (ψ¯ = ψ † γ 0 ：Dirac 共役)
)
1 (¯ µ
¯ µ ψ − mψψ
¯
i ψγ ∂µ ψ − ∂µ ψγ
2
= ψ¯ (iγ µ ∂µ − m) ψ + (全微分項)
L =
ベクトル場
1
1
L = − Fµν F µν + m2 Aµ Aµ
4
2
相互作用のある場合（場について 3 次以上の項を含む）の例
L=
1
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − λϕ4
2
2
4
9 / 51
場の正準量子化
I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
10 / 51
場の正準量子化
正準量子化
■ Lagrange 形式 −→ Hamilton 形式
正準座標 φi (x), 正準運動量 (密度) π i (x) =
∫
ハミルトニアン
H[φ, π] =
∂L
∂ φ˙ i (x)
(
)
d3 r π i φ˙ i − L
Poisson 括弧
{ φi (t, r), π j (t, r ′ ) }PB = δij δ 3 (r − r ′ ),
{ φi (t, r), φj (t, r ′ ) }PB = 0 = { π i (t, r), π j (t, r ′ ) }PB
■ 量子化
正準変数 φi (x), π i (x)
−→
演算子 φ
ˆi (x), π
ˆ i (x)
Poisson 括弧 { ·, · }PB
−→
交換子
1
[ ·, · ]
i
11 / 51
場の正準量子化
スカラー場
ラグランジアン
1
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − λϕ4
2
2
4
1 ˙2 1
1
1
= ϕ − (∇ϕ)2 − m2 ϕ2 − λϕ4
2
2
2
4
∂L
˙
正準座標 ϕ(x), 正準運動量 π(x) =
= ϕ(x)
˙
∂ ϕ(x)
L =
ハミルトニアン
∫
(
)
d3 r π ϕ˙ − L
[
]
∫
1
1
1
1
=
d3 r π 2 + (∇ϕ)2 + m2 ϕ2 + λϕ4
2
2
2
4
H =
正準交換関係
ˆ r), π
[ ϕ(t,
ˆ (t, r ′ ) ] = i δ 3 (r − r ′ ),
ˆ r), ϕ(t,
ˆ r′ ) ] = 0 = [ π
[ ϕ(t,
ˆ (t, r), π
ˆ (t, r ′ ) ]
12 / 51
場の正準量子化
自由場の場合 (λ = 0)
モード展開 pµ = (Ep , p) (Ep =
√
p 2 + m2 )
∫
)
d3 p
1 (
√
a
ˆp e−ip·x + a
ˆ†p eip·x ,
3
(2π)
2Ep
√
∫
)
d3 p
Ep (
π
ˆ (x) = −i
a
ˆp e−ip·x − a
ˆ†p eip·x
(2π)3
2
ˆ
ϕ(x)
=
逆に解くと,
a
ˆp
= √
i
2Ep
∫
i
a
ˆ†p = − √
2Ep
)
(
d3 r eip·x π
ˆ − iEp ϕˆ ,
∫
(
)
d3 r e−ip·x π
ˆ + iEp ϕˆ
正準交換関係から,
[a
ˆp , a
ˆ†p′ ] = (2π)3 δ 3 (p − p′ ),
a
ˆp : 消滅演算子,
[a
ˆp , a
ˆ p′ ] = 0 = [ a
ˆ†p , a
ˆ†p′ ]
a
ˆ†p : 生成演算子
13 / 51
場の正準量子化
エネルギーと運動量
]
∫
1
d3 p
1 2 1
π + (∇ϕ)2 + m2 ϕ2 −→
Ep a
ˆ†p a
ˆp ,
2
2
2
(2π)3
∫
∫
d3 p
3
P = − d r π∇ϕ −→
pa
ˆ†p a
ˆp
(2π)3
[
∫
E =
d3 r
状態 (ˆ
ap |0⟩ = 0)
|0⟩
真空状態
E = 0, P = 0
|0⟩
1 粒子状態
E = Ep , P = p
ˆ†p2 |0⟩
a
ˆ†p1 a
2 粒子状態
E = Ep1 + Ep2 , P = p1 + p2
n 粒子状態
E = Ep1 + · · · + Epn ,
a
ˆ†p
..
.
a
ˆ†p1 a
ˆ†p2 · · · a
ˆ†pn |0⟩
P = p1 + · · · + pn
..
.
14 / 51
場の正準量子化
ベクトル場
ラグランジアン
1
1
L = − Fµν F µν + m2 Aµ Aµ
4
2
1 ˙
1
1
2
= (Ai − ∂i A0 ) − (Fij )2 + m2 Aµ Aµ
2
4
2
正準座標 Aµ (x) 正準運動量 Πµ (x)
Π0 (x) =
∂L
= 0,
∂ A˙ 0 (x)
Πi (x) =
∂L
= A˙ i − ∂i A0
∂ A˙ i (x)
Π0 = 0 は, Poisson 括弧
{A0 (r), Π0 (r ′ )}PB = δ 3 (r − r ′ )
と矛盾する。
=⇒ Dirac の拘束系の正準理論 (Part III) が必要。
15 / 51
場の正準量子化
スピノール場
ラグランジアン
L=
)
1 (¯ µ
¯ µ ψ − mψψ
¯
i ψγ ∂µ ψ − ∂µ ψγ
2
正準座標 ψα (x), ψ ∗α (x) 正準運動量 π(x)α , πα (x)
π α (x) =
∂L
1
= iψ ∗α (x),
˙
2
∂ ψα (x)
πα (x) =
∂L
1
= iψα (x)
∗α
˙
2
∂ ψ (x)
これらの正準座標と正準運動量の間の関係は, Poisson 括弧
{ψα (r), π β (r ′ )}PB = δαβ δ 3 (r − r ′ ),
{ψα (r), ψ ∗β (r ′ )}PB = 0
と矛盾する。
=⇒ Dirac の拘束系の正準理論 (Part III) が必要。
16 / 51
場の理論における対称性
I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
17 / 51
場の理論における対称性
対称性
作用 S[φ] が, 場の変換
φi
−→
φ′i = Fi (φ, ∂µ φ)
に対して不変である (S[φ′ ] = S[φ]) とき, 理論はこの変換に対する対称性をもつと
いう。
[
]
∫
1
1
1
′
例） ϕ (x) = −ϕ(x), S[ϕ] =
d4 x
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − λϕ4
2
2
4
[
]
∫
1
1
1
=
d4 x
∂µ ϕ′ ∂ µ ϕ′ − m2 ϕ′2 − λϕ′4 = S[ϕ′ ]
2
2
4
対称性の分類
{
{
{
時空対称性 内部対称性 ・・・ 時空の変換 (並進, Lorentz 変換など)
・・・ 時空以外の変換 (複素場の位相変換など)
連続的対称性
離散的対称性
・・・ 連続的な変換 (並進, Lorentz 変換など)
・・・ 離散的な変換 (空間反転, 時間反転など)
大局的対称性
局所的対称性
・・・ 変換のパラメータが定数
・・・ 変換のパラメータが時空座標の任意関数
18 / 51
場の理論における対称性
無限小変換
この Part I では, 連続的かつ大局的対称性を考える。
連続的対称性の場合は, 場の無限小変換を考えることができる。
有限変換は, 無限小変換の繰り返しによって表すことができる。
大局的対称性の無限小変換（ϵ : 無限小の定数変換パラメータ）
δφi ≡ φ′i − φi = ϵfi (φ, ∂µ φ)
作用が不変
δS ≡ S[φ′ ] − S[φ] = 0
=⇒
δL ≡ L(φ′ , ∂µ φ′ ) − L(φ, ∂µ φ) = ∂µ (ϵK µ (φ, ∂µ φ))
ラグランジアンの変化が全微分であればよい。
19 / 51
場の理論における対称性
Noether の定理
対称性と保存量の間の関係を与える。
定理
無限小変換 δφi = ϵfi (φ, ∂µ φ) に対して δL = ∂µ (ϵK µ (φ, ∂µ φ)) のとき,
Noether カレント
Jµ ≡
∑
fi
i
∂L
− Kµ
∂(∂µ φi )
µ
は, 連続の方程式 ∂µ J = 0 を満たす。
Noether チャージ
∫
Q=
d3 rJ 0 ,
dQ
= 0 （保存）
dt
(
)
∫
∫
dQ
∂J 0
∵)
= d3 r
= − d3 r ∇ · J = 0
dt
∂t
Noether チャージは, 無限小変換の生成子になっている：
ˆ φˆi (x) ]
δ φˆi (x) = i [ ϵQ,
20 / 51
場の理論における対称性
証明
無限小変換 δφi = ϵfi によるラグランジアンの変化は,
∑[
]
∂L
∂L
δφi
δL =
+ δ(∂µ φi )
∂φi
∂(∂µ φi )
i
[
]
∑
∂L
∂L
=
ϵfi
+ ϵ∂µ fi
∂φi
∂(∂µ φi )
i
[
(
( (
)
)
)]
∑
∂L
∂L
∂L
=
∂µ ϵfi
− ϵfi ∂µ
−
∂(∂µ φi )
∂(∂µ φi )
∂φi
i
これが, δL = ∂µ (ϵK µ ) となることから,
µ
∂µ J =
∑
i
[ (
f i ∂µ
∂L
∂(∂µ φi )
)
∂L
−
∂φi
]
場の方程式を使うと, この式の右辺はゼロになり, 連続の方程式 ∂µ J µ = 0 が得ら
れる。
21 / 51
時空対称性
I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
22 / 51
時空対称性
Poincaré 変換
Poincaré変換 ＝ Lorentz 変換 ＋ 時空の並進
x′µ = Λµ ν xν − aµ
(ηµν Λµ ρ Λν σ = ηρσ )
無限小変換の場合は, Λµ ν = δνµ − λµ ν (λµν = −λνµ ) とおき, λµ ν と aµ を無限小
パラメータとする：
x′µ = xµ − ξ µ (x),
ξ µ (x) = aµ + λµ ν xν
この ξ µ (x) は, Killing 方程式
∂µ ξ ν + ∂ν ξ µ = 0
を満たす。逆に, この方程式の一般解は上の形の ξ µ であることが証明できる。
この ξ µ (x) は Killing ベクトルとよばれ, Minkowski 時空の対称性を表す。
cf. 計量の一般座標変換 δgµν = ∇µ ξν + ∇ν ξµ
23 / 51
時空対称性
場の変換
■ スカラー場の変換
ϕ′ の関数形は,
ϕ(x) −→ ϕ′ (x)
ϕ′ (x′ ) = ϕ(x),
x′µ = Λµ ν xν − aµ
によって決める。xµ = (Λ−1 )µ ν (x′ν + aν ) だから,
ϕ′ (x′ ) = ϕ(Λ−1 (x′ + a))
∴ ϕ′ (x) = ϕ(Λ−1 (x + a))
無限小変換の場合は, ϕ′ (x) = ϕ(x + ξ(x)) (ξ µ (x)：Killing ベクトル) となり,
δϕ(x) = ϕ′ (x) − ϕ(x)
= ϕ(x + ξ(x)) − ϕ(x)
= ξ µ (x)∂µ ϕ(x)
24 / 51
時空対称性
■ ベクトル場とスピノール場の変換
Aµ (x) −→ A′µ (x),
ψ(x) −→ ψ ′ (x)
A′µ , ψ ′ の関数形は,
A′µ (x′ ) =
∂xν
Aν (x),
∂x′µ
ψ ′ (x′ ) = S(Λ)ψ(x)
(S(Λ) は, スピノールに対する Lorentz 変換の行列) によって決まる。
無限小変換は,
δϕ = ξ µ ∂µ ϕ,
δAµ = ξ ν ∂ν Aµ + ∂µ ξ ν Aν ,
1
δψ = ξ µ ∂µ ψ + ∂µ ξν γ µν ψ
4
(γ µν = γ [µ γ ν] )
25 / 51
時空対称性
スカラー場の理論
L=
1
1
1
∂µ ϕ∂ µ ϕ − m2 ϕ2 − λϕ4
2
2
4
無限小変換 δϕ = ξ ν ∂ν ϕ に対して,
δL = ∂µ δϕ∂ µ ϕ − m2 δϕϕ − λδϕϕ3
= ∂µ (ξ ν ∂ν ϕ)∂ µ ϕ − m2 ξ ν ∂ν ϕϕ − λξ ν ∂ν ϕϕ3
= ξ µ ∂µ L + ∂µ ξν ∂ ν ϕ∂ µ ϕ
1
= ∂µ (ξ µ L) − ∂µ ξ µ L + (∂µ ξν + ∂ν ξµ )∂ ν ϕ∂ µ ϕ
2
= ∂µ (ξ µ L)
(∵ ∂µ ξ µ = 0, ∂µ ξν + ∂ν ξµ = 0)
∴
δS[ϕ] = 0
26 / 51
時空対称性
Noether カレント
J µ = δϕ
∂L
− K µ = T µν ξν
∂(∂µ ϕ)
Tµν = ∂µ ϕ∂ν ϕ − ηµν L
∂µ T
µν
エネルギー・運動量テンソル
= 0,
Tµν = Tνµ
Noether の定理から, このカレント J µ は連続の方程式 ∂µ J µ = 0 を満たす。
次のように, エネルギー・運動量テンソルの性質を使って, 連続の方程式が
成り立つことを確かめることもできる：
∂µ J µ = ∂µ (T µ ν ξ ν ) = ∂µ T µ ν ξ ν + T µν ∂µ ξν
= T µν ∂µ ξν
1
= T µν (∂µ ξν + ∂ν ξµ )
2
= 0
(∵ ∂µ T µ ν = 0)
(∵ T µν = T νµ )
(∵ Killing 方程式)
27 / 51
時空対称性
Noether チャージ
∫
∫
d3 r J 0 =
Q[ξ] =
■ 並進 ξ µ = aµ
d3 r T 0 ν ξ ν
∫
d3 r T 0 µ aµ = aµ Pµ ,
Q[ξ] =
∫
Pµ =
[
∫
P0 =
d3 r
d3 r T 0 µ
4 次元運動量
]
1 ˙2 1
ϕ + (∇ϕ)2 + V (ϕ) ,
2
2
∫
Pi =
˙ iϕ
d3 r ϕ∂
■ Lorentz 変換 ξ µ = λµ ν xν
∫
∫
Mµν =
1 νµ
λ Mµν ,
2
)
− xν T 0 µ
Lorentz 変換の生成子
d3 r T 0 µ λµ ν xν =
Q[ξ] =
(
d3 r xµ T 0 ν
28 / 51
時空対称性
ˆ は Poincaré変換の生成子になっている：
量子論では, Q
ˆ
δ(ξ)φ(x) = i[ Q[ξ],
φ(x)
ˆ
]
[証明]
ˆ r) ] = i[
i[ Tˆ0 0 (t, r ′ ), ϕ(t,
(
)
1 2 1 ˆ2
ˆ
ˆ r) ]
π
ˆ + (∇ϕ) + V (ϕ) (t, r ′ ), ϕ(t,
2
2
ˆ r) ] π
= i[ π
ˆ (t, r ′ ), ϕ(t,
ˆ (t, r ′ )
= δ 3 (r − r ′ ) π
ˆ (t, r) = δ 3 (r − r ′ ) ∂0 ϕ(t, r),
ˆ r) ] = i[ (ˆ
ˆ
ˆ r) ]
i[ Tˆ0 i (t, r ′ ), ϕ(t,
π ∂i ϕ)(t,
r ′ ), ϕ(t,
ˆ r) ] (∂i ϕ)(t,
ˆ
= i[ π
ˆ (t, r ′ ), ϕ(t,
r′ )
ˆ
r)
= δ 3 (r − r ′ ) (∂i ϕ)(t,
∫
ˆ ] =
ˆ
∴ i[ Q[ξ],
ϕ(x)
d3 r ′ i[ T 0 µ (t, r ′ ), ϕ(t, r) ]ξ µ (t, r ′ )
∫
ˆ
=
d3 r ′ δ 3 (r − r ′ ) (∂µ ϕ)(t,
r ′ )ξ µ (t, r ′ )
ˆ
ˆ r)
= (ξ µ ∂µ ϕ)(t,
r) = δ(ξ)ϕ(t,
29 / 51
時空対称性
ベクトル場の理論
1
1
L = − Fµν F µν + m2 Aµ Aµ ,
4
2
δL = ∂µ (ξ µ L)
Noether カレント
J µ = T µ ν ξ ν + ∂ν (−ξ ρ Aρ F µν )
Tµν = −Fµ ρ Fνρ + m2 Aµ Aν − ηµν L
∂µ T µν = 0,
エネルギー・運動量テンソル
Tµν = Tνµ
カレント J µ には, T µ ν ξ ν 意外に, ∆J µ = ∂ν X µν (X µν = −X νµ ) の形の余分な項
がある。この項は, 自動的に（場の方程式を使わずに）連続の方程式を満たす：
∂µ ∆J µ = ∂µ ∂ν X µν = 0
また, この項はチャージには寄与しない：
∫
∆Q =
∫
3
0
d r ∆J =
3
d r ∂ν X
∫
0ν
=
d3 r ∂i X 0i = 0
30 / 51
時空対称性
電場・磁場
Ei = −F0i ,
Bi =
1
ϵijk Fjk
2
を使うと,
T 0 0 = −F 0i F0i + m2 A0 A0 − L
) 1
1( 2
1
=
E + B 2 + m2 (Ai )2 + m2 (A0 )2
2
2
2
T 0 i = −F 0j Fij + m2 A0 Ai
= − (E × B)i + m2 A0 Ai
(エネルギー密度)
(m = 0 のときは Poynting ベクトル)
Noether チャージ
∫
d3 r T 0 µ ,
Pµ =
∫
Mµν =
)
(
d3 r xµ T 0 ν − xν T 0 µ
31 / 51
時空対称性
スピノール場の理論
L=
)
1 (¯ µ
¯ µ ψ − mψψ,
¯
i ψγ ∂µ ψ − ∂µ ψγ
2
δL = ∂µ (ξ µ L)
Noether カレント
(
J
µ
Tµν
1
¯ µνρ ψ
= T ν ξ + ∂ν
i ξρ ψγ
4
)
1 (¯
¯
= i ψγ
(µ ∂ν) ψ − ∂(ν ψγµ) ψ
2
µ
)
ν
∂µ T µν = 0,
(場の方程式を使い L = 0 とした)
エネルギー・運動量テンソル
Tµν = Tνµ
ベクトル場の場合と同様に, カレント J µ には ∆J µ = ∂ν X µν (X µν = −X νµ ) の
形の余分な項があるが, 連続の方程式やチャージには寄与しない。
32 / 51
時空対称性
場の方程式を使って ∂0 ψ, ∂0 ψ¯ を消去すると,
)
1 (¯
¯
(αi = γ 0 γ i , β = γ 0 )
T 0 0 = i ψγ
0 ∂0 ψ − ∂0 ψγ0 ψ
2
)
1 (
= − i ψ † αi ∂i ψ − ∂i ψ † αi ψ + mψ † βψ,
2
(
)
1
¯ (0 ∂i) ψ − ∂(0 ψγ
¯ i) ψ
T 0 i = i ψγ
2
) 1
(
)
1 (
= i ψ † ∂i ψ − ∂i ψ † ψ + i ∂j ψ † γ ji ψ
2
4
Noether チャージ
∫
∫
(
)
P0 =
d3 r T 0 0 = d3 r ψ † −iαi ∂i + mβ ψ,
∫
∫
Pi =
d3 r T 0 i = − d3 r ψ † (−i∂i )ψ,
[
]
∫
∫
)
(
1
Mij =
d3 r xi T 0 j − xj T 0 i = d3 r ψ † −i(xi ∂j − xj ∂i ) + iγij ψ,
2
∫
(
)
M0i =
d3 r x0 T 0 i − xi T 0 0
33 / 51
時空対称性
Poincaré 代数
理論を量子化して, 正準交換関係を使うと
ˆ 1 ], Q[ξ
ˆ 2 ] ] = iQ[ξ
ˆ 3]
[ Q[ξ
(ξ3µ = ξ1ν ∂ν ξ2µ − ξ2ν ∂ν ξ1µ )
右辺の ξ3 も Killing ベクトルになっている： ∂µ ξ3ν + ∂ν ξ3µ = 0
ˆ は交換関係に関して閉じた代数をつくっている。
したがって, Q[ξ]
[確認] (スカラー場の場合) δ(ξ)ϕˆ = ξ µ ∂µ ϕˆ
ˆ − (1 ↔ 2)
(δ(ξ1 )δ(ξ2 ) − δ(ξ2 )δ(ξ1 )) ϕˆ = δ(ξ1 )(ξ2 · ∂ ϕ)
ˆ − (1 ↔ 2)
= ξ2 · ∂(ξ1 · ∂ ϕ)
= −ξ3 · ∂ ϕˆ = −δ(ξ3 )ϕˆ
ˆ だから,
ˆ
δ(ξ)ϕˆ = i[Q[ξ],
ϕ]
ˆ − i[Q[ξ
ˆ = −i[Q[ξ
ˆ
ˆ 1 ], i[Q[ξ
ˆ 2 ], ϕ]]
ˆ 2 ], i[Q[ξ
ˆ 1 ], ϕ]]
ˆ 3 ], ϕ]
i[Q[ξ
Jacobi 恒等式から,
ˆ
ˆ 1 ], Q[ξ
ˆ 2 ] ], ϕ]
(左辺) = −[[ Q[ξ
34 / 51
時空対称性
ˆ の交換関係を, Pˆµ と M
ˆ µν に分けると,
Q[ξ]
[Pˆµ , Pˆν ] = 0,
(
)
ˆ µν , Pˆρ ] = i ηνρ Pˆµ − ηµρ Pˆν ,
[M
(
)
ˆ µν , M
ˆ ρσ ] = i ηνρ M
ˆ µσ − ηνσ M
ˆ µρ − ηµρ M
ˆ νσ + ηµσ M
ˆ νρ
[M
・・・ Poincaré 代数
35 / 51
内部対称性
I. 場の理論の基礎
1
場の理論の定式化
2
場の正準量子化
3
場の理論における対称性
4
時空対称性
5
内部対称性
36 / 51
内部対称性
U (1) 対称性
例）複素スカラー場 ϕ(x) =
√1
2
(ϕR (x) + i ϕI (x))
L = ∂µ ϕ∗ ∂ µ ϕ − m2 ϕ∗ ϕ − λ(ϕ∗ ϕ)2
(
) 1 (
)2
1
1
= (∂µ ϕR ∂ µ ϕR + ∂µ ϕI ∂ µ ϕI ) − m2 ϕ2R + ϕ2I − λ ϕ2R + ϕ2I
2
2
4
■ L は, 位相変換
ϕ(x) −→ ϕ′ (x) = eiθ ϕ(x)
(θ: 実定数)
に対して不変・・・U (1) 対称性
U (1)：1 × 1 ユニタリー行列（= 位相）からなる群
(U ：Unitary, 1：1 × 1)
U (1) は可換群（アーベル群）： eiθ1 eiθ2 = eiθ2 eiθ1
無限小変換
δϕ(x) = iθϕ(x),
δϕ(x)∗ = −iθϕ(x)∗
37 / 51
内部対称性
■ Noether カレント
J µ = iϕ
∂L
∂L
− iϕ∗
∂(∂µ ϕ)
∂(∂µ ϕ∗ )
= i (∂ µ ϕ∗ ϕ − ϕ∗ ∂ µ ϕ)
Noether チャージ
∫
Q=
∫
d3 r J 0 =
(
)
d3 r i ϕ˙ ∗ ϕ − ϕ∗ ϕ˙
ˆ は U (1) 変換の生成子になっている：
量子論では, Q
ˆ
ˆ
ˆ ϕ(x)]
δ ϕ(x)
= iθ[Q,
∫
(
)
ˆ r)] = iθ [ d3 r ′ i π
ˆ r) ]
ˆ ϕ(t,
∵) iθ[Q,
ˆ ∗ ϕˆ − ϕˆ∗ π
ˆ (t, r ′ ), ϕ(t,
∫
ˆ r) ] ϕ(t,
ˆ r′ )
= iθ d3 r ′ i[ π
ˆ ∗ (t, r ′ ), ϕ(t,
∫
ˆ r′ )
= iθ d3 r ′ i (−i) δ 3 (r ′ − r) ϕ(t,
ˆ r) = δ ϕ(t,
ˆ r)
= iθϕ(t,
38 / 51
内部対称性
■ U (1) 対称性を要請すると, 相互作用項
ϕ4 ,
ϕ∗ ϕ3 ,
ϕ∗3 ϕ,
ϕ∗4
は禁止される。（対称性によって相互作用の形が制限される。）
■ 複数の場がある場合の例
2 つの複素スカラー場 ϕ1 (x), ϕ2 (x)
L = ∂µ ϕ∗1 ∂ µ ϕ1 − m21 ϕ∗1 ϕ1 + ∂µ ϕ∗2 ∂ µ ϕ2 − m22 ϕ∗2 ϕ2
(
)
− λ ϕ31 ϕ∗2 + ϕ∗3
1 ϕ2
位相変換
ϕ1 (x) −→ eiθ ϕ1 (x),
ϕ2 (x) −→ e3iθ ϕ2 (x)
に対して不変。
一般に, 場によって異なるチャージ（位相の係数）qi をもつ U (1) 変換を考えるこ
とができる。
ϕi (x) −→ eiqi θ ϕi (x)
(i = 1, 2, 3, · · · , N )
39 / 51
内部対称性
SU (N ) 対称性
例）N 個の複素スカラー場 ϕi (x) (i = 1, 2, · · · , N ; N ≥ 2)
L=
N
∑
(
∂µ ϕ∗i ∂ µ ϕi
−
m2 ϕ∗i ϕi
i=1
)
(
−λ
N
∑
)2
ϕ∗i ϕi
i=1
(以下では, 和の記号
∑
を省略する。)
N 個の場は, 同じ質量 m をもっている。
■ L は, N 次元特殊ユニタリー変換
ϕi (x) −→ ϕ′i (x) = Ui j ϕj (x)
(U † U = 1, det U = 1)
に対して不変・・・SU (N ) 対称性
SU (N )：行列式が 1 の N × N ユニタリー行列のつくる群
(S ：Special (行列式 = 1), U ：Unitary, N ：N × N )
SU (N ) は非可換群（非アーベル群）： 一般には, U1 U2 ̸= U2 U1
40 / 51
内部対称性
■ L は, 位相変換
ϕi (x) → ϕ′i (x) = eiθ ϕi (x)
に対しても不変・・・U (1) 対称性
SU (N ) 変換と U (1) 変換を合わせると, U = eiθ U0 (U0 ∈ SU (N )) として,
一般的なユニタリー変換
ϕi (x) → ϕ′i (x) = Ui j ϕj (x)
(U † U = 1)
が得られる。
したがって, L は U (N ) = SU (N ) × U (1) 対称性をもつ。
以下では, SU (N ) 対称性についてだけ考える。
41 / 51
内部対称性
■ 無限小変換
Ui j = δij + iθi j
(θ: 微小 N × N 行列)
†
U U = 1 −→ θ† = θ
(エルミート行列)
det U = 1 −→ tr θ = 0
(トレースレス)
j
δϕi (x) = iθi ϕj (x)
■ 有限変換
U = eiθ
(θ: 有限 N × N 行列, θ† = θ, tr θ = 0)
U † U = e−iθ eiθ = 1,
det U = ei tr θ = 1
■ 生成子（エルミートでトレースレスな N × N 行列の基底）
(Ta )i j
(Ta )† = Ta ,
(a = 1, 2, · · · , N 2 − 1)
tr Ta = 0,
tr (Ta Tb ) =
1
δab
2
任意のエルミートでトレースレスな N × N 行列は, Ta の線形結合として表せる：
j
θi =
2
N∑
−1
θa (Ta )i j ≡ θa (Ta )i j
(θa ：実数)
a=1
42 / 51
内部対称性
例）SU (2)
Ta =
σa : Pauli 行列
(
σ1 =
0
1
1
0
1
σa
2
)
(
,
σ2 =
Ta =
1
λa
2
(a = 1, 2, 3)
0
i
−i
0
)
(
,
σ3 =
1
0
0
−1
)
例）SU (3)
λa : Gell-Mann 行列
λ1
λ4
λ7
0
= 1
0
0
= 0
1
0
= 1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
i
(a = 1, 2, · · · , 8)
0
0 −i 0
0 , λ2 = i
0
0 ,
0
0
0
0
1
0 0 −i
0
0 0
0 ,
, λ5 =
0
i 0
0
0
1 0
0
1
−i , λ8 = √ 0 1
0
3
0
0 0 −2
1
λ3 = 0
0
0
λ6 = 0
0
0
−1
0
0
0
1
0
0 ,
0
0
1 ,
0
43 / 51
内部対称性
■ {Ta } は交換関係に関して閉じた代数 (SU (N ) Lie 代数) をつくっている：
[Ta , Tb ] = ifab c Tc
(fab c : 構造定数 (structure constant))
[証明]
†
†
(−i[Ta , Tb ]) = i (Ta Tb − Tb Ta ) = i (Tb Ta − Ta Tb ) = −i[Ta , Tb ],
tr (−i[Ta , Tb ]) = −i tr (Ta Tb − Tb Ta ) = 0
だから, −i[Ta , Tb ] を SU (N ) の生成子の線形結合で表せる：
−i[Ta , Tb ] = fab c Tc
例）SU (2) [Ta , Tb ] = iϵabc Tc (ϵ123 = 1)
■ fabc ≡ fab d δdc は, abc について完全反対称。
[証明]
fabc = −2i tr ([Ta , Tb ]Tc )
ab について反対称
= −2i tr ([Tb , Tc ]Ta )
bc について反対称
= −2i tr ([Tc , Ta ]Tb )
ca について反対称
44 / 51
内部対称性
■ 表現
行列の組 {Ta′ } が, {Ta } と同じ交換関係
[Ta′ , Tb′ ] = ifab c Tc′
を満たすとき, {Ta′ } を SU (N ) Lie 代数の表現という。
例） SU (2) の (2j + 1) 次元表現
′
(Ta(j) )m m = ⟨jm| Jˆa |jm′ ⟩
Jˆa : 角運動量演算子
m, m′ = −j, −j + 1, · · · , j − 1, j
[Jˆa , Jˆb ] = iϵabc Jˆc
−→
(j)
[Ta(j) , Tb ] = iϵabc Tc(j)
45 / 51
内部対称性
■ よく使われる表現
(N )
基本表現 N (Ta
)i j (N × N トレースレス・エルミート行列)
(N )
[Ta(N ) , Tb
] = ifab c Tc(N )
¯ (Ta(N¯ ) )i j = −((Ta(N ) )i j )∗
基本表現 N
¯
¯)
(N
[Ta(N ) , Tb
¯
] = ifab c Tc(N )
(¯
2)
(2)
( N = 2 のときは, 2 と ¯
2 は同値な表現：Ta = S −1 Ta S )
(adj)
随伴表現 adj (Ta
)b c = −ifab c
(adj)
[Ta(adj) , Tb
∵) Jacobi 恒等式
] = ifab c Tc(adj)
[Ta , [Tb , Tc ]] + [Tb , [Tc , Ta ]] + [Tc , [Ta , Tb ]] = 0
−→ fbc d fad e + fca d fbd e + fab d fcd e = 0
46 / 51
内部対称性
■ いろいろな表現によって変換する場を含む理論
cf. いろいろなチャージをもつ場を含む U (1) 対称な理論
例）SU (2)
2 個のスピノール場
ψi (x) (i = 1, 2)
3 個の実スカラー場
ϕa (x) (a = 1, 2, 3)
SU (2) 変換
δψi = i θa (Ta(2) )i j ψj = i θa ( 12 σa )i j ψj
基本表現
δϕa = i θc (Tc(adj) )a b ϕb = i θc (−iϵca b ) ϕb
随伴表現
SU (2) 不変なラグランジアン (ψ¯i = (ψi )† γ 0 )
1
1
1
L = ψ¯i (iγ µ ∂µ − M )ψi + ∂µ ϕa ∂ µ ϕa − m2 ϕa ϕa + g ψ¯i (σa )i j ψj ϕa
2
2
2
47 / 51
内部対称性
L の不変性
(
ψ=
ψ1
ψ2
)
とおくと,
δψ =
1 a
iθ σa ψ,
2
1
¯ a,
δ ψ¯ = − iθa ψσ
2
δϕa = θc ϵcab ϕb
(
)
¯ a ψϕa = δ ψσ
¯ a ψϕa + ψσ
¯ a δψϕa + ψσ
¯ a ψδϕa
δ ψσ
1
¯ b σa ψϕa + 1 iθb ψσ
¯ a σb ψϕa + ψσ
¯ a ψθc ϵcab ϕb
= − iθb ψσ
2
2
1
¯ c ψj ϕa
¯ b , σa ]ψϕa − θb ϵbac ψσ
= − iθb ψ[σ
2
1
¯ bac σc ψϕa − θb ϵbac ψσ
¯ c ψϕa (∵ [σb , σa ] = 2iϵbac σc )
= − iθb ψ2iϵ
2
= 0
48 / 51
内部対称性
SO(N ) 対称性
例）N 個の実スカラー場 ϕi (x) (i = 1, 2, · · · , N ; N ≥ 2)
L=
1
1
1
2
∂µ ϕi ∂ µ ϕi − m2 ϕi ϕi − λ (ϕi ϕi )
2
2
4
N 個の場は, 同じ質量 m をもっている。
■ L は, N 次元直交変換
ϕi (x) → ϕ′i (x) = Oi i ϕj (x)
(OT O = 1, det O = 1)
に対して不変・・・SO(N ) 対称性
SO(N )：行列式が 1 の N × N 直交行列のつくる群
(S ：Special, 行列式 = 1, O：Orthogonal, N ：N × N )
SO(N ) (N ≥ 3) は非可換群（非アーベル群）： 一般には, O1 O2 ̸= O2 O1
SO(2) は可換群で, U (1) と同型： SO(2) ∼ U (1)
49 / 51
内部対称性
■ 無限小変換
Oi j = δij + iθi j
(θ: 微小 N × N 行列)
O O = 1 −→ θT = −θ
T
∗
(反対称行列)
∗
O = O −→ θ = −θ
(成分は純虚数)
δϕi (x) = iθi j ϕj (x)
■ 有限変換
O = eiθ
(θ: 有限 N × N 行列, θT = −θ, θ∗ = −θ)
OT O = e−iθ eiθ = 1,
det O = ei tr θ = 1,
O∗ = O
■ 生成子（成分が純虚数で反対称な N × N 行列の基底）
(Ta )i j
(a = 1, 2, · · · ,
(Ta )T = −Ta ,
θi j = θa (Ta )i j ,
1
2 N (N
− 1))
(Ta )∗ = −Ta
[Ta , Tb ] = ifab c Tc
50 / 51
内部対称性
例）SO(3) (Ta )b c = −iϵabc
0
T1 = 0
0
0
0
i
0
−i ,
0
0
T2 = 0
−i
0
0
0
i
0 ,
0
0
T3 = i
0
−i
0
0
0
0
0
交換関係
[Ta , Tb ] = iϵabc Tc
SU (2) Lie 代数の交換関係と同じ。
準同型： SO(3) ∼ SU (2) (1 対 2 対応)
51 / 51
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