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■ 平面内の回転
s
θ
ω
θ2
θ1
r
• 角度の定義:
θ=
s
r
• 角度は足し算、引き算ができる。
• 角速度: 時間あたりの回転角,
ω=
dθ
dt
• 角速度の単位。
SI 組立単位は s−1 である。
角速度であることを明示する固有の名前は rad/ s
注意：同じ SI 組み立て単位 s−1 を持つ振動数（1 秒あたり何回）の固有の
名称は Hz である。
エンジンの回転数は、しばしば、1 分あたり何回転であらわされ、r.p.m
で表される。3000 r.p.m = 50 Hz.
■ 回転で点の座標はどう変わるか。 (x, y) を角度 θ 回転すると (x′, y ′)
に移るとする。
(x’, y’)
θ
r を定数として、
x = r cos α,
y = r sin α.
(x,y)
α
x′ = r cos(α + θ) = r cos α cos θ − r sin α sin θ
= cos θx − sin θy
y ′ = r sin(α + θ) = r sin α cos θ + r cos α sin θ
= sin θx + cos θy .
行列を使って表記すると
( ′)
(
)( )
x
y′
=
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
x
y
1 3
sin θ = θ − θ + . . .
3!
1 2
cos θ = 1 − θ + . . .
2!
もし、回転角 θ が無限小なら、θ 2 以上の高次の項は無視して
x′ = x − θy ,
y ′ = y + θx.
無限小角 θ による無限小変位は
( ′) ( )
(
)( )
x
y′
−
x
y
=
0 −θ
θ 0
x
y
もし無限小角 θ1, θ2 を続けて回転すると、
x′ = x − (θ1 + θ2)y ,
y ′ = y + (θ1 + θ2)x.
角度の足し算ができている。
ω=
dθ
dt
なら
x′ = x − ω(dt1 + dt2)y ,
y ′ = y + ω(dt1 + dt2)x
■ 3 次元空間中での回転
z 軸の周りに 90◦ 回転してから y 軸周りに 90◦ 回転した結果と
y 軸の周りに 90◦ 回転してから z 軸周りに 90◦ 回転した結果.
足し算は計算の順序によってはいけない。
回転角をたし算を使って考えることができない。
■ 回転による変位を数式であらわす。
• z 軸まわりの角度 θz の回転
 ′

 
x
cos θz − sin θz 0
x
y ′  =  sin θz cos θz 0 y 
0
0
1
z
z′
• y 軸周りの角度 θy の回転
 ′
 

x
cos θy 0 sin θy
x
y ′  = 
0
1
0  y 
− sin θy 0 cos θy
z
z′
• x 軸周りの角度 θx の回転
 ′

 
x
1
0
0
x
y ′  = 0 cos θx − sin θx y 
0 sin θx cos θx
z
z′
• (x 軸まわりの回転)(y 軸まわりの回転)-(y 軸まわりの回転)(x 軸まわ
りの回転)



1
0
0
cos θy 0 sin θy
0 cos θx − sin θx 
0
1
0 
0 sin θx cos θx
− sin θy 0 cos θy



cos θy 0 sin θy
1
0
0
0
1
0  0 cos θx − sin θx
−
− sin θy 0 cos θy
0 sin θx cos θx


0
− sin θx sin θy
sin θy − cos θx sin θy
sin θx sin θy
0
sin θx − sin θx cos θy 
=
sin θy − cos θx sin θy sin θx − sin θx cos θz
0
計算はできるけれど、なにが起こっているか、さっぱりりかいできない。
しかし、θx, θj が無限小量なら、差は 2 次の無限小量になっている。
■ 3 次元空間中の微小回転は足し算を使って理解できる。
• z 軸周りに微小角度 θ 回転し、続いて y 軸の周りに微小角度 θ ′ 回転。

′

x = x − θy
y ′ = y + θx

 ′
z =z

′′
′
′
′

x = x + θ z = x − θy + θ z
y ′′ = y ′ = y + θx

 ′′
z = z ′ − θ ′ x′ = z − θ ′ x
微小回転だから θθ ′ は無視した。
• y 軸周りに微小角度 θ ′ 回転し、続いて z 軸の周りに微小角度 θ 回転。


′
′
′′
′
′
′


x = x + θ z
x = x − θy = x − θy + θ z
y′ = y
y ′′ = y ′ + θx = y + θx


 ′
 ′′
′
z =z−θ x
z = z ′ = z − θ ′x
結果は回転の順序によらない。
• z 軸まわりの無限小回転
 ′  


   
x
x
0 −θz 0
0
x
y ′  − y  = θz
 =  0  × y 
0
z
0
0 0
θz
z
z′
• y 軸周りの微少回転
 ′  


   
x
x
0 0 θy
0
x
y ′  − y  =  0
0 0  = θy  × y 
z
−θy 0 0
0
z
z′
• z 軸まわりの回転と y 軸まわりの回転を組み合わせると、順序によら
ず
 ′
 
   
 
x
x
0
0
x
y ′  − y  = ( 0  + θy ) × y 
z
θz
0
z
z′
• 結論微少回転による微少変位
⃗×⃗
δ⃗
x = δθ
x
ここで × は外積をあらわす。
■ 角速度ベクトル ω
⃗
• 回転は足し算できないが、微小回転は足し算できる。
回転角はベクトルとして表せないが、その微分はベクトルとして表
せる。
• 角速度ベクトル ω
⃗ の方向は回転軸方向、大きさは角速度の大きさ。
空間中の回転（回転方向が変わる可能性のある回転）は微分、積分を使
わないと考えられない。
回転方向が変わらないことが保証できれば、微積は不要になって、問題
は簡単になる。
■ 回転運動の解析の難しさ。
• 一般に、角速度 ω
⃗ の方向が変わりうる。
• ω
⃗ の方向が変わるとき、有限の角度の回転はベクトルではないから、
⃗
dθ
=ω
⃗ とは書けない。
dt
重要な問題だから数学の研究は深くまで進んでいるが、難しい。
• ω
⃗ の方向が変わらないと保証できれば、ω
⃗ の変わらない方向の成分 ω
にたいしては、
dθ
dt
= ω と書ける。
この講義ではこの場合のみを論じる。
• したがって、運動方程式を使って、どんなとき ω
⃗ の方向が変わらない
かを調べる必要がある。
■ 回転で変わらないものを探す。
• 運動方程式からただちに分かるものは、角運動量の変化である。
⃗ の定義
• 角運動量ベクトル L
⃗ =⃗
L
r×p
⃗
ここで ⃗
r は位置ベクトル, p
⃗ は運動量ベクトル、× はベクトルの外積
を表す。
⃗ とω
⃗ について調べる。
• L
⃗ の関係が必要だが、まずは、L
⃗ の方向が変わらないことが分かったとき、変わらない方向を z 方向,
• L
その成分を L とすると、
L = xpy − ypx
である。この講義の問題で必要になるのはこの場合だけである。した
がって、これを角運動量と呼ぶことが多い。
■ 外積 ⃗
a × ⃗b = ⃗
c
2 つのベクトル ⃗
a, ⃗b に 1 つのベクトル ⃗
c を対応させる計算。
定義
• ⃗
a⊥⃗
c, ⃗b ⊥ ⃗
c.
• |⃗
c| = S . S は ⃗
a, ⃗b が作る平行四辺形の面積。
• 右手系なら (⃗
a, ⃗b, ⃗
c) は右手系、左手系なら (⃗
a, ⃗b, ⃗
c) は左手系をな
す。
a x b
S
b
S
a
右手系での外積
• 外積の計算
⃗
a = (ax, ay , az ), ⃗b = (bx, by , bz ) とすると
⃗
a×⃗
c = (ay bz − az by , az bx − axbz , axby − ay bx).
行列式を学んでいるなら、次のように覚える方がよい。
⃗
e2 ⃗
e3 e1 ⃗
ay az az ax ax ay ,
,
)
⃗
a × ⃗b = ax ay az = (
by bz
bz bx bx by bx by bz 右左はきわめて難しい概念である。お箸を持つ手が右と教えられも、そ
れは右左を分類して標識を付けただけで、左右で何が異なるかについて
は何も言っていない。外積という計算で左右の違いが分かる。
■ 右と左
• 右と左という 2 つの異なったものがある。
右と左で物理現象が変わることもある。パリティの非対称
過去と未来で物理現象が変わることもある。時間の非対称
• 左右は面の裏表とも結び付いている。
鏡のどちらが表か。
• 座標軸が右手系なら、鏡の中は左手系になっている。
親指 x 軸, 人差指 y 軸、中指 z 軸。
• 右手系を左手系に変えたとき (反転したとき)、変位ベクトルの異なっ
た変化をするベクトルがある。
• 楊振寧, 李政道, 呉健雄の実験
60Co の β 崩壊: 60Co
→ 60Ni + e− + ν
¯e
鏡の中
コバルト60の崩壊
自転
電子
回転の向きは
鏡の中でも変わらない
鏡の中では前後が逆になる
コバルトの崩壊は、その鏡の中の像と同じように起こるか?
答えは No. 電子が自転軸の反対側に放射される確率の方が大きい。
■ 作用反作用の法則と角運動量
作用反作用の法則
m1
r1
d( d⃗
dt )
dt
⃗,
=F
m2
r2
d( d⃗
dt )
dt
⃗
= −F
から、
⃗
r1 × m1
r1
d( d⃗
dt )
dt
+⃗
r2 × m2
r2
d( d⃗
dt )
dt
⃗1 − r⃗2 × F
⃗2
=⃗
r1F
(
)
d⃗
r1
d⃗
r1
d⃗
r2
d⃗
r2
(⃗
r1 × m2⃗
v1 + ⃗
r2 × m2⃗
v2)− m1
×
+ m2
×
=
dt
dt
dt
dt
dt
⃗1
(⃗
r1 − ⃗
r2 ) × F
d
d
dt
⃗1
(⃗
r1 × p
⃗1 + ⃗
r2 × p
⃗2) = (⃗
r1 − ⃗
r2 ) × F
⃗ =L
⃗1 + L
⃗ 2 に対して
全角運量動 L
⃗
dL
dt
⃗
= (⃗
r1 − ⃗
r2) × F
が導かれる。
■ 力が作用線 (2 点を結ぶ直線) 上で働くなら、全角運動量は変化しない。
• 遠隔力の場合、作用反作用の法則を満たす力が作用線上で働くかとい
う疑問がある。
大概の力はそうなっているが、例外が見つかり、大問題になった。そ
の論争の結論は 2 点間に場（光のようなもの）が存在し、場が角運動
量を担っているというものであった。
• 結論：力が作用・反作用の法則を満たしているとき、全角運動量は
保存する。
反作用を無視した力（外力）がないかぎり、全角運動量は保存する。
• 例：ケプラーの第２法則：面積速度一定の法則
面積速度一定の法則
v
r
太陽
S = 12 rv sin θ
⃗ = m⃗
L
r×⃗
v , L = 2mS .
惑星
θ
F 万有引力
• 力学の法則から分るのは角運動量。目に見えるのは角速度。
⃗ とω
残念ながら、L
⃗ は平行とは言えない。
⃗ = I⃗
▶ L
ω と書くと、I は行列であることまでは言える。行列 I は
慣性モーメントと呼ばれる。
⃗ が一定なら、運動は L
⃗ に垂直な面で考えればよい。
▶ もし L
⃗, ω
この面内では L
⃗ の大きさだけを考えればよい。
このとき、 I はスカラーとなる。
▶ そのほか、いろいろな制約をつけて、L = Iω と考えられる場合
がある。
• 反作用を無視できる環境中での回転
m
r
d( d⃗
dt )
dt
⃗,
=F
から
⃗
dL
dt
⃗,
=N
⃗ =⃗
⃗
N
r×F
⃗ は外力のトルクと呼ばれる。
が導かれる。N
⃗
dL
dt
=
d(m⃗
r×⃗
v)
dt
=m
= m⃗
v ×⃗
v + m⃗
r×
d⃗
v
dt
d⃗
r
dt
×⃗
v + m⃗
r×
d⃗
v
dt
⃗ =N
⃗
= 0+⃗
r×F
▶ 物体はトルクを働かせることにより回すことができる。
環境は物体の反対方向に回るが、環境は大きくて回転しているこ
とを無視できる。
落下運動で地球の運動が無視できるのと同じ。
▶ 一般論ではないが、この講義で解ける問題の場合、
角運動労 L = xpy − ypx
トルク N = xFy − yFx
回転角
dθ
dt
=ω
と考えればよい。
一般論としては正しくないが、このように書ける特殊な場合以外、
基礎物理の問題としては難しすぎる。
■ こまの運動
⃗ と地面の接点 ⃗
⃗ は同
• こまの重心 ⃗
r1 に働く重力 F
r2 で働く面の抗力 N
じ大きさで反対方向。
L
F
N
⃗ = −N
⃗
F
⃗ は平行ではない。
• こまの軸が傾いているなら、⃗
r1 − ⃗
r2 と F
⃗ ̸= 0
(⃗
r1 − ⃗
r2) × F
⃗ は時間的に変化する。
• こまの軸が傾いているなら角運動量 L
⃗ + ∆L
⃗ はL
⃗ を鉛直軸まわりに回転させたもの
L
こまの歳差運動。
• 重力は地球が蒙る反作用を無視した力だから、コマの角運動量は変
わってもよい。
■ 剛体振り子: ホイヘンスのアイデア
2 質点からなる剛体振り子
F1, F2 を剛体に保つ力とすると、てこの原
理が成立する。
r1F1 + r2F2 = 0
2 質点の運動方向の運動方程式は
m1
d2(r1θ)
dt2
d2(r2θ)
m2
dt2
θ
= −m1g sin θ + F1
= −m2g sin θ + F2
d2 θ
dt2
F1
r2
m1 g
m2 g
てこの原理を使うと
(r12m1+r22m2)
r1
= −(r1m1+r2m2)g sin θ
F2
■ 剛体の運動方程式: オイラー方程式
• I = r12m1 + r22m2
• M = m1 + m2
1 r1 +m2 r2
• R = mm
+m
1
2
を回転軸周りの慣性能率という。
を全質量という。
を重心の位置という。
これらを使うと運動方程式は
I
d2 θ
dt2
= −RM g sin θ
回転軸からの距離 R に外力 F = −M g の回転方向の成分 F sin θ を
かけたもの, つまり, N = RF sin θ をトルクという。
回転運動の運動方程式は
I
d2θ
dt2
=N

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