第 80 回数学検定 (実施日不明) 準 1 級 1 次：計算技能検定解答例 ※ 本解答例は、概ね次のような構成になっています。 • 問題問題文です。数検財団実施の、頭記の検定問題より引用させていただきました。 • 解答数学的にまともで、また時間的に現実的な解き方を示します。ただし、若干省略して書いている場合があります。本解答例のメインの部分です。 ※今回解答の原案は、大部分を「シュトラ姉さん」さまに提供いただきました（問題４を除く）。この場で厚く御礼申し上げます。 •（補足） • コメント１．問題次の式を因数分解しなさい。 (x − 1)(x − 3)(x + 3)(x + 9) + 12x2 解答（与式）= {(x − 1)(x + 9)}{(x − 3)(x + 3)} + 12x2 = (x2 + 8x − 9)(x2 − 9) + 12x2 X ≡ x2 − 9 とおくと = X 2 + 8xX + 12x2 = (X + 2x)(X + 6x) = (x2 + 2x − 9)(x2 + 6x − 9) …（答）コメント筆者は、できませんでした（涙）。すみません…。１問目は、こういう難しい問題が出ることも多いんですよね。２． y = −x2 + 2x + 1 で表される放物線を p とします。放物線 p を、点 (−2, 3) に関して対問題称移動し、さらに x 軸の正の方向に 1 、y 軸の負の方向に 3 だけ平行移動して得られる放物線を q とします。このとき次の問いに答えなさい。 ⃝ 1 放物線 q の方程式を求めなさい。 ⃝ 2 放物線 p を 1 回の点対称移動で放物線 q に重ねるには、対称の中心をどこにとればよいですか。その座標を求めなさい。解答 ⃝ 1 放物線 p の方程式は、y = −x2 + 2x + 1 = −(x − 1)2 + 2 より、上に凸で頂点は (1, 2) . これを点 (−2, 3) に関して対称移動させると下に凸になり、また頂点が (a, b) に移るとすると ( 1+a 2+b , 2 2 ) = (−2, 3) −→ (a, b) = (−5, 4) さらにこれを x 軸方向に 1 、y 軸方向に −3 だけ平行移動させると、頂点が (−4, 1) に移る。すなわち放物線 q の方程式は、 y = (x + 4)2 + 1 …（答） ⃝ 2 対称の中心を (c, d) とおくと、これは p の頂点と q の頂点の中点になるので、 ) ( ) ( 3 3 1 + (−4) 2 + 1 , = (c, d) −→ (c, d) = − , …（答） 2 2 2 2 （補足） ⃝ 2 の解答は、もちろん十分ではありません。頂点どうしの点対称しか確かめていないので。しかしこれ以上の解答は要求されていないでしょう。コメント数検 1 次にしては、問題文が長いですね（汗）。無駄に複雑なだけのような、気もしますが…。３．問題次の式を簡単にしなさい。 log2 3 · log7 8 · log243 343 解答底の変換公式により log2 8 log2 7 3 = log2 3 · log2 7 （与式）= log2 3 · log2 343 log2 23 log2 73 = log2 3 · · log2 243 log2 7 log2 35 3 log2 7 9 · = …（答） 5 log2 3 5 · コメント対数の公式を使った、よくある計算問題です。確実に解けるように、練習しておきたいものです。４．問題複素数平面上において、点 3 + 4i を原点のまわりに x◦ だけ回転し、原点からの距離を y 倍すると、点 −12 + 9i になりました。このとき、x, y の値を求めなさい。ただし、i は虚数単位を表し、x, y は実数とします。解答問題より ◦ x = arg ( −12 + 9i 3 + 4i ) ¯ ¯ ¯ −12 + 9i ¯ ¯ . , y = ¯¯ 3 + 4i ¯ −12 + 9i = 3i より、x◦ = 90◦ , y = 3 . 3 + 4i （答） x = 90, y = 3 コメント複素数のかけ算が、複素数平面上の実数倍＆回転移動に相当することを用いる問題ですね。大事な性質なので、覚えておきたいところです。５．問題 A= ( ) 4 3 1 1 ( , B= 1 −2 ) −3 1 とするとき、次の等式を満たす 2 次の正方行列 X を求めなさい。 A(X − B) = B 解答 A−1 1 = 4−3 ( 1 −1 ) −3 4 ( = 1 −1 ) −3 4 より、方程式の両辺に左から A−1 をかけると X − B = A−1 B X = A−1 B + B = (A−1 + E)B ( )( ) ( ) 2 −3 1 −3 8 −9 = = −1 5 −2 1 −11 8 …（答）コメント A−1 を左からかけることを思いつきさえすれば、あとは計算するだけです。ただ行列計算は間違えやすいので、そこは注意ですね。６．問題次の極限値を求めなさい。 2x2 − 5x + 3 x→1 x2 + x − 2 lim 解答 2x2 − 5x + 3 (x − 1)(2x − 3) = lim x→1 x2 + x − 2 x→1 (x + 2)(x − 1) 2x − 3 = lim x→1 x + 2 1 = − …（答） 3 lim コメント極限値の初歩の問題ですね。とりあえず、点をいただいておきましょう。それ以外に、言うべき言葉が見つかりません… ７．問題次の不定積分を求めなさい。 ∫ ex dx ex + e−x 解答 t ≡ ex とおくと dt = ex dx より ∫ ∫ ∫ 1 2 ′ 1 t 1 2 (t + 1) （与式）= dt = dt = dt = log(t2 + 1) + C t + t−1 t2 + 1 t2 + 1 2 1 log(e2x + 1) + C （C は積分定数） = 2 （別解１） ∫ （与式）= e2x dx e2x + 1 t ≡ e2x + 1 とおくと dt = 2e2x dx より ∫ = = 1 1 1 · dt = log |t| + C t 2 2 1 log(e2x + 1) + C （C は積分定数） 2 （別解２） ∫ {1 } } ∫ { 1 1 (ex + e−x )′ 1 （与式）= + dx = + dx 2 2 ex + e−x 2 1 x = log(ex + e−x ) + + C （C は積分定数） 2 2 x −x ) 2 (e − e x −x e +e （補足）別解は、上記のほかにもあるでしょう。もちろんどれでも正解です。コメント置換積分の典型的な問題であり、合格のためには必ず点を取っておきたいところです。ただ、係数を間違えるなどのミスもおきやすいですね。必ず検算をする（答えを微分して元に戻るか確かめる）習慣をつけておきたいものです。