適応信号処理レポート課題

適応信号処理レポート課題
KIM DONGHYUN (24A12035)
平成 26 年 1 月 30 日
問題１
チャネル行列 H が次に与えられる 2 × 2 の MIMO システムに関して以下の問いに答えよ.
[
]
1/2
√
3/2
1
H=
0
(1.1)
(a) 送信信号行列 S が次に与えられる直交 STBC を用いたとき, 受信機において STBC 復号を行った後の
SNR を求め, その値を用いて通信路容量 CST BC を計算せよ. ただし総送信電力は P とし, また雑音電力
は σ 2 とする.
[
S=
s1
s2
−s∗2
s∗1
(解答) まずチャネル行列 H ∈ C2×2 を一般的な形
[
H11
H=
H21
]
(1.2)
H12
H22
]
とおいて SNR と通信路容量を計算して, それから (1.1) を代入して具体的な値を計算する. 送信信号行列
S が (1.2) で与えられる直交 STBC を用いた時, 受信信号 y は次のように表現される:
[y(k) y(k + 1)] = HS + [n(k) n(k + 1)]
[
][
]
H11 H12 s1 −s∗2
=
+ [n(k) n(k + 1)].
H21 H22 s2 s∗1
(1.3)
ここで n は雑音ベクトルである. 式 (1.3) は直行行列 He を用いて次の式 (1.4) でも書ける:
e = He s + n
e.
y
ここで

y1 (k)
y1∗ (k + 1)

e=
y
 y2 (k)  ,
y2∗ (k + 1)


H11
∗
H12
He = 
H21
∗
H22

H12
∗ 
−H11
,
H22 
∗
−H21
(1.4)
[ ]
s
s= 1 ,
s1
である. He が直交行列であることは易しく確認できる. つまり
[
HH
e He
|H|2F
=
0
である. ここで | · |2F は Frobenius ノルム, つまり |H|2F =
0
|H|2F
∑2

n1 (k)
n∗1 (k + 1)

e=
n
 n2 (k) 
n∗2 (k + 1)

]
i,j=1
|Hij |2 を表す. ZF detection を行ったと
H
2
すると, 式 (1.4) と行列 He の直交性 (H−1
e = He /|H|F ) より
b
e=
s = H−1
e y
HH
HH
e
e
e
e =s+n
b
(H
s
+
n
)
=
s
+
n
e
|H|2F
|H|2F
1
(1.5)
b=
が成り立つ. ここで n
HH
e
|H|2F
e である. そして Eﬀective Noise を計算してみると,
n
(
)(
)H 
H
H
[
]
2
H
H
σ2
e
e
 = σ HH
bn
bH = E 
e
e
E n
n
n
H
=
I2
e
|H|2F
|H|2F
|H|4F e
|H|2F
(1.6)
になる. ここで I2 は 2 × 2 単位行列を表す. したがって, 式 (1.5)–(1.6) より, この場合 Eﬀective SNR
γ STBC は
γ
STBC
∑2
2
i,j=1 |Hij |
2σ 2
P
P |H|2F
=
=
2
Mt σ
(1.7)
に与えられる. この時, 通信路容量 CSTBC は Shannon の公式によって,
(
CSTBC = log2 (1 + γ STBC ) = log2
1+
P
∑2
i,j=1 |Hij |
2σ 2
2
)
(1.8)
が得られる. 最後に (1.7)–(1.8) に (1.1) のチャネル行列 H の具体的な数値を代入すると,
γ
STBC
P
= 2,
σ
CSTBC
(
)
P
= log2 1 + 2
σ
(1.9)
が得られる.
(b) 送信信号ベクトル s が次に与えられる空間多重伝送を行ったとき, 受信機において ZF 復調を行った後
の各ストリームの SNR を求め, その値を用いて通信路容量 CZF を計算せよ.
[ ]
s
s= 1
s2
(2.1)
(解答) まず受信信号 y は雑音ベクトル n を用いて
y = Hs + n
(2.2)
(
で表現される. また、ZF ウェイト W は一般的に left–pseudo inverse H+ = HH H
)−1
HH で表現され
ますが, 現在 2 × 2 MIMO システムであるから, 簡単に
W = H+ = H−1
になる. したがって, 推定信号は
b
e
s = H+ y = H−1 y = s + H−1 n = s + n
(2.3)
e = H−1 n である. Eﬀective Noise を計算してみると,
になる. ここで n
(
)−1
]
[(
[
)(
)H ]
en
e H = E H−1 n H−1 n
= σ 2 HH H
E n
になるから, i ストリームの SNR γiZF は
γiZF =
(
P
Mt σ 2 HH H
)−1 =
(
P
2σ 2 HH H
ii
)−1 ,
ii
2
i = 1, 2
(2.4)
で得られる. 実際に,
(
H
H H
)−1
[
=
− 23
4
3
− 23
]
4
3
であるから, (2.4) は
γ1ZF = γ2ZF =
3P
8σ 2
(2.5)
になり, 通信路容量 CZF は
CZF
(
)
(
)
3P
ZF
log2 1 + γi
= 2 log2 1 + 2
=
8σ
i=1
2
∑
(2.6)
になる.
(c) SVD–MIMO では, チャネル行列 H を特異値展開し, 送信側では右特異行列 V を, 受信側では左特異
行列 U を用いることで直交伝搬路を構築する. この SVD–MIMO の送信ウェイト V および受信ウェイト
U を実際に求め, 実現される各モードの SNR を計算し, その値を用いて通信路容量 CSV D を計算せよ.
(解答) まず Rr := HHH の固有値 ξi を求める.
[
√ ]
(
)(
)
5
3
3
ξ −√ 54 − 43
det (ξI − Rr ) = det
= ξ−
ξ−
−
=0
3
3
4
4
16
ξ−4
− 4
を満たす ξ は ξ1 =
と [− 12
√
3 T
2 ]
3
2
と ξ2 =
1
2
である. ξ1 と ξ2 に対応する大きさ 1 の固有ベクトルはそれぞれ [
なので左特異行列 U は
[√
U=
3
2
1
2
1
−
√2
√
3
2
1 T
2]
]
3
2
になる. また, Rt := HH H の固有値 ηi を求める.
[
det (ηI − Rt ) = det
]
1
η − 1 − 12
= (η − 1)2 − = 0
− 12
η−1
4
3
1
2 と η2 = 2 である. 同じように η1 と η2 に対応する大きさ
[− √12 √12 ]T で計算される. したがって右特異行列 V は
を満たす η は η1 =
れ
[ √12
√1 ]T
2
と
[
V=
√1
2
√1
2
− √12
1 の固有ベクトルはそれぞ
]
√1
2
になる. ここで U と V は UH U = I, VH V = I を満たす. 最後に固有値行列 Λ と Σ を
[3
Λ=
2
0
0
1
2
[√
]
,
1
2
Σ=Λ =
0
3
2
]
0
√1
2
で定義すると,
Rr = HHH = UΣVH VΣUH = UΣ2 UH = UΛUH ,
Rt = HH H = VΣUH UΣVH = VΣ2 VH = VΛVH
が成り立って, H は
H = UΣVH
3
で分解される. これを用いると受信信号 y は
e (t) = Σs(t) + n
e (t)
y(t) = UH HVs(t) + UH n(t) = UH UΣVH Vs(t) + n
で表現できる. したがって各モードの SNR γi は次のようになる:
(
)
3
λ1 P
3P
第 1 固有モード λ1 =
: γ1SVD = 2 =
2
σ
2σ 2
(
)
1
λ2 P
P
第 2 固有モード λ2 =
: γ2SVD = 2 =
.
2
σ
2σ 2
(3.1)
(3.2)
したがって, 通信路容量 CSVD は
CSVD
)
(
)
(
)
(
3P
P
λi P
=
= log2 1 + 2 + log2 1 + 2
log2 1 +
2σ 2
4σ
4σ
i=1
2
∑
(3.3)
で求められる.
(d) 上記 (a), (b), (c) で求めた CST BC , CZF , CSV D をグラフにプロットし, その特徴を比較考察せよ. た
だしグラフのよこ横軸は γ = P/σ 2 としその範囲は適宜選択せよ.
(解答) 式 (1.9), (2.6), (3.3) で求めた通信路容量を γ = P/σ 2 の関数として書くと,
(
)
(
)
(
)
3
3
1
CSTBC (γ) = log2 (1 + γ) , CZF (γ) = 2 log2 1 + γ , CSVD (γ) = log2 1 + γ + log2 1 + γ
8
4
4
となる. 図 1 に横軸を γ として, これらをプロットした.
10
CSTBC
CZF
CSVD
Channel Capacity @bitsHzD
8
6
4
2
0
0.1
0.5
1.0
5.0 10.0
Γ = PΣ2
50.0 100.0
図 1 STBC, ZF, SVD を用いた時それぞれの通信路容量
4
図 1 を観察してみると十分大きい γ に対しては
CSTBC ≪ CZF < CSVD
であることが分かる. ただし, 小さい γ (γ ≤
16
9 )
に対しては STBC の通信路容量が ZF の通信路容量より
大きくなる.
(e) チャネル行列が偶然 H′ であったとき STBC, ZF, SVD–MIMO の特性の優劣はどの様に変化するか定
性的に考察せよ.
√ ]
[ √
1/√2 −1/√ 2
H =
1/ 2 1/ 2
′
(5.1)
(解答) (a), (b) と同じように STBC, ZF, を用いた時の通信路容量を計算してみると,
(
)
)
(
P
P
CSTBC = log2 1 + 2 ,
CZF = 2 log2 1 + 2
2σ
2σ
になる. また, SVD–MIMO の場合, チャネル行列 H′ がユニタリー行列, つまり H′ H′H = H′H H′ = I で
あるから,
H′ = UΣVH = H′ I IH
で分解できる. この場合二つの固有モードの SNR, γ1SVD , γ2SVD は同じく
γ1SVD = γ1SVD =
P
σ2
となり, 通信路容量 CSVD は問題 (c) と同じステップより
(
CSVD = 2 log2
P
1+ 2
2σ
)
(5.2)
で求められる. 即ち, この場合には CSTBC < CZF = CSVD になり, こういう特殊なチャネル行列に対して
は, SVD–MIMO の通信路容量と ZF の通信路容量が等しくなる.
問題 2
本講義ご後半の感想を書いて下さい. 来年度の参考にします.
(解答) 大学院に進学してから工学研究科の授業は今回がはじめでした。理学研究科で応用数学を専攻して
いますが、自分の研究領域を広くしたいと思って、基礎工学研究科や工学研究科の授業も単位を申請する
ようになりました。工学研究科事務室には聞いてみましたが、担当先生に受講申請の前あらかじめご連絡
差し上げなくて、本当に申し訳ございません。授業の内容は僕にとって少し難しかったと思いますが、レ
ポート問題を解きながら内容が少しずつ理解できるようになりました。授業ありがとうございました。宜
しくお願いいたします。
参考文献
[1] 阪口啓, 適応信号処理講義資料.
[2] 三瓶政一, 適応信号処理講義資料.
5

Download Report