Lösungen Unterstufe Februar 2016

Lösung des
Problems des Monats
Februar 2016
Die Randzahlen im Eingangsbeispiel wurden so gewählt, dass sich in den inneren Feldern
lauter verschiedene Summen ergeben; das muss nicht sein, lenkt aber ein bisschen ab…
Schauen wir uns eine Tabelle mit verschiedenen Symbolen an. In den neun inneren
Feldern stehen jeweils die Symbole, die am Rand in derselben Zeile bzw. Spalte stehen.
☺ ☺
☺
☺
Wenn das erste Feld ausgewählt und
eingekreist wird, dann enthält es zwei
bestimmte Symbole. In der folgenden
Abbildung haben wir ein Feld ausgewählt
und grau unterlegt (die Randfelder lassen
wir ab jetzt einfach weg):
☺
☺
Wenn dann von den restlichen vier
Feldern eines ausgewählt wird (in der
Abbildung grau unterlegt), dann sind in
diesem Feld zwei andere Symbole
enthalten als in dem ersten ausgewählten
Feld:
☺
Wenn dann die restlichen Felder in
derselben Zeile und Spalte gelöscht
werden, sind die beiden Symbole immer
noch erhalten, allerdings nur noch einmal
☺
Streicht man jetzt wieder die restlichen
Felder in derselben Zeile und Spalte,
dann bleibt ein Feld übrig, in dem die
restlichen beiden Symbole enthalten sind:
☺
☺
Insgesamt bleiben so alle sechs Symbole erhalten.
www.mathematik-ist-schoen.de © Heinz Klaus Strick Leverkusen 2016
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Bei den Streichquadraten des „Problem des Monats“ stehen am Rand keine Symbole,
sondern Zahlen und in den inneren Feldern Summen von Zahlen. Diese Summen setzen
sich aus je zwei Summanden zusammen, die vorher entweder am oberen oder am linken
Rand standen. Wenn dann das „Spiel“ beginnt und nacheinander Felder gestrichen
werden, bleiben alle ursprünglich am Rand stehenden Zahlen erhalten
Durch das oben beschriebene Auswahlverfahren erreicht man also, dass jede der sechs
Randzahlen genau einmal berücksichtigt wird, also die Summe von drei ausgewählten
Feldern immer die Summe der Randzahlen ergibt.
Man kann nun die Zeilen und Spalten der
Ausgangstabelle beliebig vertauschen,
z. B. die erste Zeile und die zweite Zeile
+
0
1
2
4
4
5
6
1
1
2
3
7
7
8
9
und dann die zweite und die dritte Spalte
+
5
4
6
8
7
9
2
1
3
Damit diese Tabelle entsteht, muss man
die erste und die zweite Spalte
vertauschen:
+
1
0
2
1
2
1
3
4
5
4
6
7
8
7
9
8
10
6
11
13
9
5
7
3
+
0
2
1
4
4
6
5
1
1
3
2
7
7
9
8
Das Ganze sieht jetzt ganz anders aus
(mit denselben neun inneren Zahlen) und
an den Randzahlen hat sich bis auf die
Reihenfolge nicht geändert.
und dann die erste Zeile nach unten
schieben, sodass die zweite Zeile zur
ersten wird und die dritte zur zweiten:
+
1
0
2
4
5
4
6
7
8
7
9
1
2
1
3
Man kann auch zuerst die Zeilen und
dann die Spalten vertauschen.
+
Die magische Zahl ist hier 24. Wenn man in dieser Tabelle die Zeilen und Spalten so
vertauscht, dass im oberen linken Feld der inneren Felder die kleinste Zahl steht, fällt es
leichter, die Randzahlen herauszufinden, z. B. so:
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+
+
5
7
3
3
5
7
8
10
6
6
8
10
11
13
9
9
11
13
und dann
Man sieht jetzt, dass die Zahlen in den
inneren Feldern von links nach rechts
jeweils um 2 größer werden und von
oben nach unten jeweils um 3.
Z. B. könnte oben 1, 3, 5 stehen,
dann ergibt sich für die linke Randspalte
2, 5, 8.
Es könnte aber auch oben 2, 4, 6 stehen
und dann links 1, 4, 7 – wie wir sehen, ist
das nicht eindeutig!
+
1
3
5
+
2
4
6
2
3
5
7
1
3
5
7
5
6
8
10
4
6
8
10
8
9
11
13
7
9
11
13
Man kann jetzt wieder die Spalten und Zeilen so zurück-vertauschen, dass die
Ausgangstabelle entsteht.
Aus der ersten Lösung ergibt sich dann
und aus der zweiten entsprechend
+
3
5
1
+
4
6
2
5
8
10
6
4
8
10
6
8
11
13
9
7
11
13
9
2
5
7
3
1
5
7
3
Um eine Tabelle mit magischer Summe 20 zu finden, muss man nur 6 Zahlen auswählen,
die als Summe 20 ergeben. Da die Summe der ersten 6 natürlichen Zahlen 1+2+3+4+5+6
größer ist als 20, ist es nicht möglich, lauter verschiedene Randzahlen zu finden (es sei
denn, man nimmt 0 mit zu den Randzahlen), aber das war bei dem zuletzt betrachteten
Beispiel auch nicht der Fall.
Beispiel für magische Summe 20
+
2
4
6
1
3
5
7
3
5
7
9
4
6
8
10
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Eine 4x4-Tabelle mit den natürlichen Zahlen 1,2 3, …, 16 könnte wie folgt aussehen.
Hierbei beginnt man mit dem oberen Rand 0, 1, 2, 3 und einer 1 im Randfeld der 1. Zeile.
Damit dann eine 5 am Anfang der inneren Felder der nächsten Zeile steht, muss auch
vorne am Rand eine 5 stehen usw.
+
0
1
2
3
1
1
2
3
4
5
5
6
7
8
9
9
10
11
12
13
13
14
15
16
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