(x) ganzrationaler Funktionen

Klasse: 11
Fach: Mathe
Von der Tangentensteigung zur Ableitungsfunktion
Die Ableitungsfunktion f’(x) ganzrationaler Funktionen
Gruppenarbeit: Mit diesem Arbeitsblatt sollt Ihr Rechenregeln für die schnelle Berechnung der
Ableitungsfunktion f’(x) herausfinden: Zuerst für Potenzfunktionen f(x)=xn dann für Polynome. Bearbeitet
die Aufgaben Schritt für Schritt in der Gruppe. Arbeitet nicht weiter, wenn ihr einen Schritt noch nicht
vollständig verstanden habt. Eure Zwischen-Ergebnisse werden wir gemeinsam besprechen.
1. Auf der Suche nach der Ableitungsfunktion für die Funktion f(x)=x2
Untersuche zunächst die Tangentensteigungen an den Stellen x=2 und x=3 und kontrolliere deine
Rechnungen mit dem ClassPad 300. Versuche dich dann am allgemeinen Fall: beliebiges x
a. Berechne den Grenzwert f’(2) mit der hMethode:
f’(2)= lim f(2+h)h– f(2) = lim
=
h80
4h + h2
lim h
h80
=
(2+h)2 – 22
h
h80
h·(4 + h)
lim
h
h80
(2)2 + 4h + h2– 22
h
h80
= lim
Mit dem ClassPad 300
kannst Du den Grenzwert
ebenfalls berechnen:
= lim (4+h) = 4
h80
b. Berechne den Grenzwert f’(3) mit der h-Methode c. Berechne den Grenzwert f’(x) mit der h-Methode
und kontrolliere mit dem Taschenrechner:
an einer beliebigen Stelle x:
f’(3) =
f’(x) =
(Kontrolle durch den Taschenrechner!)
d. Ergebnis: Wie lautet die Ableitungsfunktion, die jedem x-Wert die Tangentensteigung der Tangenten
an die Funktion f(x)=x2 zuordnet:
2. Auf der Suche nach der Ableitungsfunktion für die Funktion f(x)=xn
Berechne mit dem ClassPad 300 die Ableitungsfunktion f’(x) („Limes des Differenzquotienten“ - siehe
letzte Aufgabe) zu folgenden Funktionen:
f(x)= x3
f(x)= x4
f(x)= x5
f(x)= x6
n
Ergebnis: Formuliere einen Ergebnis für die Ableitungsfunktion f’(x) zur Funktion f(x) = x (nœÍ):
3. Der schnelle Weg zur Ableitungsfunktion f’(x) mit dem ClassPad: diff
Mit dem ClassPad 300 kannst du die Ableitungsfunktion auch direkt
berechnen: Der Befehl dazu lautet: diff(Funktionsterm(x),x)
Aufgabe:
Ermittle zu den folgenden Funktionen die Ableitungsfunktion f’(x):
f(x)=3·x4
f(x)=5·x2
f(x)= 3·x4 + 5·x2
f(x) = a·xn (aœÑ,nœÍ)
Ohne Taschenrechner: Überlege Dir, wie man daraus ein allgemeines Gesetz für Bestimmung der
Ableitungsfunktion ganzrationaler Funktionen machen könnte:
Wie könnte z.B. die Ableitungsfunktion für die Funktion f(x)= x3 – 3·x2 + 4·x +3 lauten?
n
Zusatzaufgabe*: Beweise dein Ergebnis aus der 2. Aufgabe für die Funktion f(x)= x mit der h-Methode.
n
n–1
Tipp: Überlege dir wie oft im Zähler des Differenzquotienten der Term x und der Term h·x vorkommt:
(x + h)n – xn
h
=
(x + h)· (x + h)·…·( x + h) – xn
h
Versuche dann h auszuklammern und bilde den Grenzwert. (Vergleiche auch mit deinem Lehrbuch).
Klaus Litfin: Die Ableitungsfunktion ganzrationaler Funktionen
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