Übungsblatt 2

16. Oktober 2014
Fachgruppe Angewandte Analysis und Numerik
Dr. Martin Gutting
Katrin Seibert
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wintersemester 2014/15
Übungsblatt 2
Bitte geben Sie Ihre Lösungen der Aufgaben am Donnerstag, 23. Oktober 2014, in der Vorlesung ab.
Die Aufgaben werden in der Übung am 27. Oktober 2014 besprochen.
Aufgabe 2.1 (4 Punkte):
Leiten Sie die Lösung
xT =
v02 cos2 (θ)
tan(θ) +
g
tan2 (θ) −
v02
2hg
cos2 (θ)
zum Basketball-Beispiel aus der Vorlesung mit dem Abwurfwinkel θ aus en Gleichungen
xT =v0 cos(θ)T
h =v0 sin(θ)T − 21 gT 2
her. Begründen Sie, warum nur der oben genannte „+“-Fall als Lösung in Frage kommt.
Aufgabe 2.2 (4 Punkte):
(a) Bei einem Schneeball verringert sich sein Volumen durch Abschmelzen mit einer zeitlichen Rate,
die proportional zu seiner Oberfläche ist. Stellen Sie eine Differentialgleichung auf für den Radius
r(t) eines kugelförmigen Schneeballs mit dem Anfangsradius r(0) = r0 . Bestimmen Sie die Lösung
und geben Sie dann das zeitliche Verhalten des Volumens an.
(b) Ein Tank enthält 1000 Liter Wasser, in dem 50kg Salz gelöst sind. Beginnend mit der Zeit
t0 = 0 sollen ständig pro Minute 10 Liter der Lösung ausfließen, aber auch 10 Liter mit einem
Salzgehalt von 2kg zu fließen (Zufluß = Abfluß). Ein Superrührgerät mische das Ganze sofort und
vollständig durcheinander. Wie lautet die Differentialgleichung zur Beschreibung des Salzgehalts
u(t) im Tank zur Zeit t ≥ 0?
(c) v(p) bezeichne den wöchentlichen Verkauf eines gewissen Produkts zum Stückpreis von p Euro.
Erfahrungsgemäß nimmt der Verkauf ab, wenn der Preis angehoben wird. Die durchschnittliche
Abnahmerate des Verkaufs sei umgekehrt proportional zum Preis. Bestimmen Sie die Differentialgleichung für v(p).
(d) Betrachten Sie den Hektarertrag eines Ackers E(x) bei der Menge von ausgebrachtem Dünger x.
Die Ertragsverbesserung/-verminderung (bei Überdüngung) ist proportional zur Differenz von
Ertrag und einem Maximalertrag Em . Stellen Sie die zugehörige Differentialgleichung auf.
Bitte wenden!
Aufgabe 2.3 (4 Punkte):
Bestimmen Sie eine Lösung der folgenden Anfangswertprobleme durch Trennung der Variablen und
geben Sie den Definitionsbereich der Lösung an.
(a) x˙ =
4t3 +2t+12
,
2(x+3)
(b) x˙ +
x
t
x(2) = −9,
= 0, t > 0,
(c) x˙ = ex cos(t),
x(1) = −1,
x( π2 ) = 0.
Aufgabe 2.4 (4 Punkte):
Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems
x˙ = tx2 + tx,
x(0) = x0 ,
in Abhängigkeit von x0 . Beachten Sie, dass beim Auflösen verschiedene Fälle zu unterscheiden sind.
Hinweis: Bei der Integration kann eine Partialbruchzerlegung hilfreich sein.

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