Physik I - Ausarbeitung für die mündliche Prüfung

Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Eine Ausarbeitung für die mündliche Prüfung Physik I – erstellt mit den VO-Folien vom WS
2014, dem Buch „Physik für Bachelors“ (3. Auflage, 2013) und Wikipedia. Das Kapitel
Mechanik von Flüssigkeiten/Hydrodynamik fehlt und die letzten Kapitel sind nicht mehr so
detailliert ausgeführt, sollte aber trotzdem hilfreich für die Prüfungsvorbereitung sein ;)
Einführung
Physikalische Grundgrößen
Länge, Zeit, Masse, Stromstärke, Temperatur, Stoﬀmenge, Lichtstärke – alle anderen
davon abgeleitet. In der Mechanik: Länge, Zeit, Masse
• Zeit: t, Sekunde s, Definition durch Schwingungen einer Cäsium-Atomuhr
• Länge: l, Meter m, Definition durch Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
• Masse: m, Kilogramm kg, Definition durch Masse des Pt-Ir Vergleichszylinders
Vektoren
Skalare Größe = Maßzahl ∙ Maßeinheit … wenn dies nicht eindeutig ist →
Vektorielle Größe = Maßzahl ∙ Maßeinheit ∙ Richtung
• Betrag eines Vektors = Länge (immer positiv)
• Vektoren können durch Zahlentripel angegeben werden: a→ = (ax,ay,az)
• Entgegengesetzter Vektor: –a→ hat gleichen Betrag wie a→, nur entgegenges. Richtung
Bahnkurve (Weg, Trajektorie)
…die Gesamtheit aller Ortspunkte, an denen sich ein punktförmiges
Objekt bei seiner Bewegung befindet. Ein Ortspunkt wird durch einen
Ortsvektor r→ angegeben. Eine Bahnkurve wird durch eine Funktion
r→(t) bestimmt: r→(t) = rx(t)ex→ + ry(t)ey→ + rz(t)ez→
(Ortsvektor als Funktion der Zeit angegeben) Ableitung eines Vektors
Die Ableitung da→/dt des Vektors a→ ist tangential an
die Bahnkurve a→(t) gerichtet. Koordinatensysteme
Ebene Polarkoordinaten
• Koordinaten r (Radius) und 𝜑 (Winkel Phi) • Umrechnung in kartesische Koordinaten A (r,𝜑) → A (x,y):
x = r cos 𝜑
y = r sin 𝜑 • Einheitsvektoren er→ und eᵩ→ in Polarkoordinaten sind
ortsabhängig
Matthias Elsner
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Zylinderkoordinaten
• Koordinaten r (Radius), 𝜑 (Winkel) und z (Höhe des Zylinders)
• Umrechnung in kartesische Koordinaten A (r,𝜑,z) → A (x,y,z):
x = r cos 𝜑
y = r sin 𝜑
z = z
• Einheitsvektoren er→ und eᵩ→ sind ortsabhängig, ez→ ist ortsunabhängig
Kugelkoordinaten
• Koordinaten r (Radius), ϴ (Polarwinkel Theta) und 𝜑 (Azimuthwinkel Phi)
• Umrechnung in kartesische Koordinaten A (r,ϴ,𝜑) → A (x,y,z):
x = r sin ϴ cos 𝜑
y = r sin ϴ sin 𝜑
z = r cos ϴ
• Einheitsvektoren er→ ,eϴ→ und eᵩ→ sind alle ortsabhängig
Kinematik
In der Kinematik gibt es 3 verschiedene Betrachtungsniveaus:
0.Mechanik des Massenpunktes: Körper unendlich klein mit endlicher Masse, z.B. für
Bewegungen in Planetensystemen
1. Mechanik des starren Körpers: keine Deformationen berücksichtigt
Geschwindigkeit
2. Mechanik des deformierbaren Körpers
Kinematik des Massenpunktes
Massenpunkt – Definition
Punktförmiges Objekt (∞ klein, räumliche Ausdehnung 0) mit endlicher Masse.
Für Körper endlicher Größe gilt: Bewegung = Translationsbewegung + Rotationsbewegung. Bei einem Massenpunkt bleibt die Rotationsbewegung außer
Betracht, die TranslaGeschwindigkeit
tionsbewegung wird mit der Bewegung des Schwerpunktes beschrieben.
Dimension und Maßeinheit
Geschwindigkeit v
Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit (bei gleichförmiger Bewe¢~s ¢~r d~r
~v =
=~v =
¢t = t2 ° t1
→
gung), bzw. die Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit. v
¢t ¢t dt
liegt tangential an der Bahnkurve. Einheit m/s.
V = L~r ·=T~r(t)°1
Zur¨
uckgelegter Weg ~s = ~r(t) ° ~r(t )
Beschleunigung a
[~r] an,mbzw. die
Beschleunigung gibt die „Geschwindigkeit der Geschwindigkeitsänderung“
[~v ] =
=
[t]
s
zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Einheit m/s2.
0
Bewegungsgleichungen & Herleitung
Wenn die Bahnkurve r→(t) bekannt ist, können v und a problemlos durch Diﬀerentiation
ermittelt werden. Um die Bahnkurve r→(t) bei bekannter a zu berechnen, wird a zwei Mal
über t integriert (a→v→r). Im ersten Schritt ergibt sich die Anfangsgeschwindigkeit v0 als
Integrationskonstante, man erhält v(t) = v0 + at. Bei der zweiten Integration ergibt sich der
Ortsvektor r0 des Anfangspunkts als Konstante, man erhält r(t) = r0 + v0t + (1/2)at2.
Matthias Elsner
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Für die Berechnung der Bahnkurve aus a sind somit die Anfangsbedingungen v0 und r0
notwendig (Anfangswertproblem).
Sonderfall: Geradlinig gleichförmige Bewegung
v = const., daher ist a = 0. Der Beschleunigungsterm fällt weg und es bleibt r(t) = v0t + r0.
Wenn man den Weg als s = r(t) - r0 angibt erhält man s = v ∙ t (eine Gerade).
Kreisbewegung
Sonderfall: Gleichförmig
beschleunigte Bewegung
In Polarkoorinatensystem
Hier können a→, v0→ und r0→ unterschiedliche Richtungen haben, daher muss man sie
vektoriell addieren bzw. in ihre Komponenten (x,y,z) zerlegen. Beispiele:
vz(t) = -gt
• Senkrechter Fall: rz(t) = h0 - (1/2)gt2
rz = (1/2)at2 • Waagerechter Wurf: rx = v0t
• Schiefer Wurf: maximale Reichweite bei 𝞱 = 45°
Kreisbewegung
Die Länge des Ortsvektors r→ ist konstant. Der Winkel 𝜑
ist abhängig von der Zeit.
Ortsvektor ~r :
|~r| = r = const
Def. Winkelgeschwindigkeit:
~r = r ~er
' = '(t)Winkelgeschwindigkeit. Darstellung als V
Gleichf¨ormige
Kreisbewegung (r, ! =
Zusammenfassung
Kreisbewegung
(rconst)
=c
Winkelgeschwindigkeit ω
¢' d'
! ¥ lim¢!0
=Winkelgeschwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit ist die
des Winkels
¢tAbleitung
dt
d'
Zusammenfassung Kreisbewegung
(r = const)
𝜑 nach der Zeit. Als Vektor dargestellt liegt ω→ an der
!=
dt
d' (r, ! = const)
Gleichf¨ormige Kreisbewegung
!=
dt zeigt den Drehsinn
Gleichförmige Kreisbewegung
!
~ liegt2º
an der Drehachse,
Gleichf¨
o
rmige
Kreisbewegung
(r,
! = const)
!
=
(T
°
einer Umdrehung)
Geschwindigkeit
Der Ortsvektor r und die Winkelgeschwindigkeit ω sindLineare
konstant.
ω ergibtDauer
sich
T
2º
~v = ! r · ~e'
~v = !
~ £ ~r
aus der Periodendauer T.
!=
(T ° Dauer
einer Umdrehung)
Lineare (Bahn-)Geschwindigkeit
T
Winkelgeschwindigkeit
Drehachse und gibt den Drehsinn an.
Mit der zeitlichen Ableitung des Ortsvektors erhält man
die
Zentripetalbeschleunigung
Linearebildet
(Bahn-)Geschwindigkeit
v =~a !r
~e'2r · ~er
lineare Bahngeschwindigkeit v→. Ihr Vektor
eine Tan- ~
= °!
gente an den Kreisradius und stehtZentripetalbeschleunigung
somit senkrecht auf r→.
~v = !r ~e'
v~a ==!~!r
£ ~v = !
~ £ (~! £
v = !r
Zentripetalbeschleunigung a (bzw. aZentripetalbeschleunigung
Z)
v 22r
~a = °! 2r ~er a = !2ar =
!
Die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ergibt die
~a = °! 2r ~er
=
r
Zentripetalbeschleunigung a→ (aZ→). Sie ist zum Mittelpunkt gerichtet und stellt eine Korrektur dar, damit der bewegte Massenpunkt immer
auf der Kreisbahn bleibt. Sonst würde er sich auf der Tangente bewegen.
Zeitlicher Verlauf der Vektorkomponenten
Mit der Startposition t = 0 und r→ = (r,0) ist die Phasenverschiebung zwischen den Vektoren r→, v→ und a→ jeweils π/2.
Winkelbeschleunigung α
Die Winkelbeschleunigung α ist die Ableitung der Winkelgeschwindigkeit ω nach der Zeit
bzw. die zweite Ableitung des Winkels 𝜑 nach der Zeit.
Matthias Elsner
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v2
=
r
Dynamik
In der Dynamik fragen wir uns, warum ein Körper eine Bewegung ausführt. Physikalisch
ist die Frage so eigentlich nicht korrekt, richtig lautet sie: „Warum ändert ein Körper
seinen Bewegungszustand?“ Die Ursache ist eine Wechselwirkung des Körpers mit seiner
Umgebung. Diese Wechselwirkung beschreibt man durch das Konzept der Kraft F→, einer
vektoriellen Größe.
Newtonsche Axiome
Die Newtonschen Axiome bilden den Übergang von der Kinematik zur Dynamik. Axiome
sind grundlegende Gesetze, die vielfach empirisch bestätigt worden sind, mit formaler
. nicht beweisbar sind. Die Folgen aus einem Axiomsystem sind nicht widerLogik aber
sprüchlich und ebenfalls empirisch bestätigt.
Axiom 1 - Tr¨agheitsprinzip
Axiom 1 – Trägheitsgesetz
F~ = 0
)
~v = const ⟺ a = 0
Alle Körper verharren im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen, geradlinigen Bewegung, wenn keine äußeren
Kräfte
sind.
Das heißt,
Alle K¨
orper vorhanden
verharren in
Zustand
der wenn
Ruhedie Kraft F = 0 ist, ist v
konstant und a = 0.
Newton
hat dies
von Galilei
übernommen.
oder
der gleichf¨
ormigen,
geradlinigen
Bewegung,
das Trägheitsgesetz gilt, heißen Inertialsysteme – in ihnen ver• Bezugsysteme, in denen
wenn keine ¨außere Kr¨afte vorhanden sind
laufen Bewegungen ununterscheidbar gleich. „Absoluter Stillstand“ ist nicht feststellbar,
aber auch nicht relevant.
Beschr¨ankung der Wirkung des Grundgesetzes
Axiom
2 - Grundgesetz
der Dynamik Die Reibung wird hier überwunden
– Dynamisches
Kräftegleichgewicht:
• Luftkissenbahn
und die Geschwindigkeit bleibt nach dem Anstoßen wirklich konstant (Luftwiderstand
ist vernachlässigbar gering).
Das 2.Axiom nimmt an, dass die Masse m konstant ist.
F~ = m · ~a
Axiom 2 – Aktionsgesetz
Wirkt auf einen frei beweglichen Körper eine Kraft F, so bewegt sich der Körper mit einer
Bei sehr hohen Geschwindigkeiten:
Beschleunigung
die proportional
zu der
Kraft ist.
Wirkt auf a,
einen
frei beweglichen
K¨
owirkenden
rper eine
Kraft
F~ , v nimmt die Masse zu:
Mit zunehmender
Geschwindigkeit
Dasder
2. Axiom
die Masse
m als Konstante
an. Bei sehr hohen
• Einschränkung:
so bewegt sich
K¨orpernimmt
mit einer
Beschleinigung
~a,
Geschwindigkeit
v nimmt aber
die wirkenden
Masse zu: Kraft ist
m0
die proportional
zu der
v
m(v)
=
,
u
u
m0…Ruhemasse bei v = 0 u
v2
t
1
°
c2
c…Lichtgeschwindigkeit (3∙108 m/s)
• Je größer die Masse ist, desto mehr Kraft ist nötig, um den Bewegungszustand (die
Geschwindigkeit) des Körpersm
zu0 ändern.
Damit
Masse das Maß der Trägheit
- Ruhemasse
beiistvdie
= 0,
(träge Masse). Die Trägheit wirkt besonders stark, wenn die Geschwindigkeit hoch ist.
c - Lichtgeschwindigkeit
Fundamentalkräfte
• Gravitation (WW zwischen Massen)
• Elektromagnetische Wechselwirkung (zwischen elektrischen Ladungen)
• Starke Wechselwirkung (zwischen Nukleonen (Kernteilchen, p+ und n0))
• Schwache Wechselwirkung (Verantwortlich für β-Zerfall radioaktiver Kerne)
Matthias Elsner
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Träge Masse und schwere Masse
Im Fallversuch tritt die Masse in ihren beiden Eigenschaften auf
• Gravitationsgesetz Die Masse ist die Ursache der Gravitationswechselwirkung (schwere Masse).
2. Axiom:
F~ = m~aauf m-tr¨age Masse
Im Fallversuch
tritt die
ihren
beiden Eigenschaften
F = Masse
ma (2. in
Axiom)
• Träge Masse:
ist F~ die Masse
Gravitationskraft
schwere
= träge Masse
• Äquivalenzprinzip:Hier
~
m beiden
· MErd Eigenschaften auf. Damit
2. Axiom:Im Fallversuch
F = m~atritt die
m-tr¨
age~ Masse
Masse
in °∞
ihren
• Fallversuch:
Axiom
1 - Tr¨agheitsprinzip
Gravitationsgesetz:
F =
~er
m, MErd-schwere Massen
2
kann
man das Gravitationsgesetz mit dem 2. AxiomRgleichsetzen und die Masse m
Hier ist F~ die
Gravitationskraft
m · Erdbeschleunigung
MErdm · MErd
kürzen. Man erhält
so die
g, die von der Körpermasse unabhängig
°∞
~er M
= Erd
m~
a
Darf
man m k¨
urzen?
Gravitationsgesetz:
F~ = °∞
~er 2 m,
-schwere
Massen
2
Rvernachlässigt oder im Vakuum arbeitet).
R
ist (wenn man den Luftwiderstand
Einsteins Gedankenexperiment
M
m · MErd ~
Erd
°=
∞ mconst
~errzen?
= ~a Erdbeschleunigung (¥ ~g )
~eF
m~a0 JA!
Darf
man
k¨
u
)
~
v
r ==
2
R2 Was l¨asst die Feder ausdehnen?
R
Gravitationskraft?
oder
MErd
Einsteins Gedankenexperiment
JA!
° ∞ 2 ~er = ~a Erdbeschleunigung (¥ ~g )
In einem geschlossenen
Fahrstuhl hängt eine Masse an einer
R
°∞
die Tr¨agheit des K
Alle K¨orper verharren in Zustand der Ruhe
Feder. Ein Experimentator in diesem geschlossenem System
oder
der zwischen
gleichf¨ozwei
rmigen,
geradlinigen Bewegung,
kann nicht
Fällen unterscheiden:
g ist von
der K¨orpermasse unabh¨angig
massiver
Körper
wurde unter dem
• Gravitationskraft:
wenn keine ein
¨außere
Kr¨
afte vorhanden
sind
Fahrstuhl
(Fahrstuhl
Krafthinzugefügt
- Maßeinheit
Newtonruht)
g ist
der K¨oder
rpermasse
unabh¨
ngig nach oben
desvon
Körpers:
Fahrstuhl
wirdaschnell
• Trägheit
gezogen (beschleunigt)
Einheit der Kraft
Ruhender Fahrstuhl
Beschleunigter Farhstuhl
~ = m~a
F
2
Die Kraft hat die abgeleitete Maßeinheit Newton
dies entspricht
(kg∙m)/s
.
EinN,Experimentator
in einem
geschlossenem
Fahrstuhl kann nich
[F ] = [m] · [a] = 1kg · 1 sm2 = 1 kg·m
¥ 1N
s2
Abgeleitete Kräfte
• Federkraft (elastische Kraft)
• Reibungskraft
• Gewichtskraft/Auftrieb
• usw.
chen den zwei F¨allen unterscheiden
Federkraft (elast
Federkraft (elastische Kraft)
Eine kleine Deformation eines Körpers erzeugt eine elastische Kraft, die der DeformationHookesches
entgegenwirkt. Das Maß der Deformation ist die Ausdehnung x. Die Federkraft ist der
Auslenkung proportional und entgegengerichtet.
~
FF = °k
• Hookesches Gesetz k…elastische Konstante (vom Stab abhängig – Material, kQuerschnitt
S und
Länge L) x . . . Deformati
. . . elastische
Konstante,
x…Deformation (k h¨angt vom Stab ab, d.h. von dem Material, de
e→D…Deformationsrichtung
Matthias Elsner
Die Federkraft ist der Auslenkung pr
(Gilt!29nur f¨ur kleine
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Schwerkraft
Die Schwerkraft auf der Erdoberfläche berechnet man: FGrav = m ∙ g
Die Erdbeschleunigung g = 9,81 m/s2 wird berechnet mit dem Gravitationsgesetz und um
die Zentrifugalkraft FZ korrigiert. Sie ist aber keine fundamentale Konstante – sie ist an
den Polen etwas höher und am Äquator etwas niedriger (Δ von ca. 0,03).
Masse und Gewicht
Masse und Gewicht sind nicht äquivalent!
• Masse: ist eine intrinsische Objekteigenschaft (fundamentale Eigenschaft, bleibt immer
konstant – außer bei extrem hoher Geschwindigkeit)
• Gewicht: ist die Kraft, mit der ein Körper auf die Unterlage oder Aufhängung wirkt – es
hängt von dem Umständen ab (z.B. Auftrieb) und kann auch 0 sein (Gewichtslosigkeit)
Reibungskraft FR
Die Reibungskraft wirkt bei 2 festen Kontaktoberflächen, da diese nie ideal glatt sind. Sie
lässt sich auf elektrostatische Kräfte zwischen e– und Atomkernen zurückführen. Sie ist
von der Auflagefläche und der Geschwindigkeit unabhängig!
μ…Reibungskoeﬃzient, FN…normale (⊥) Druckkraft – bei waagerechter Oberfläche mg
• Haftreibung/Gleitreibung: Bei Stillstand sind die Oberflächen „verzahnt“, daher wirkt am
Anfang die höhere Haftreibung. In Bewegung werden nur mehr „die Spitzen der Zähne
abgetragen“ und es wirkt die schwächere Gleitreibung. FH und FG → μ durch μH oder μG ersetzt (μH > μG)
• Stokessche Reibung: Dies ist die Widerstandskraft bei Bewegungen von Festkörpern in
Flüssigkeiten oder Gasen. Sie ist der Geschwindigkeit v proportional. cs…körperabhängiger Koeﬃzient, η (Eta)…Viskosität des Mediums, v…Geschwindigkeit Je größer die Geschwindigkeit und die Viskosität, desto größer die Reibungskraft.
Kraft als Vektorgröße
Axiom 3 Gesamtkraft
- Wechselwirkungsgesetz
actio-reactio
= Vektorsumme- der
einzelnen Kräfte
• Überlagerung:
• Zerlegung: Man kann jede Kraft im Komponenten zerlegen und die Wirkung der Komponenten einzeln betrachten (z.B. x und y).
• Kompensierbarkeit: Statisches Kräftegleichgewicht wenn ∑F = 0 – Körper ist kraftfrei z.B. Körper unbewegt (v = 0) auf einer Unterlage: FF + mg = 0. Bei horizontaler Bewegung (v ≠ 0) wirkt die Reibungskraft –Axiom
Kräftegleichgewicht
ist gebrochen.
3 - Wechselwirkungsgesetz
- actio-reactio
Dynamisches
Kräftegleichgewicht
–
Luftkissenbahn:
v
≠
0,
aber
mg
+
Luftdruckkraft
= 0
•
Axiom 3 – Reaktionsgesetz
°
!
°
!
Die Kräfte F1 und F2 sind
F1 = °F2
• gleich groß
• antiparallel zueinander ausgerichtet
Die Kr¨afte F~1 und F~2 sind
• längs der Verbindungslinie der beiden Körper wirksam.
• gleich gross,
Das Reaktionsgesetz gilt für eine WW beliebiger Natur. Es beschreibt
in
°
!die Symmetrie
°
!
F
=
°
F
•
antiparallel
zueinander
gerichtet
und
der WW zweier Körper.
1
2
Beispiel:
Skateboarder
halten ein
einer K¨
zieht,
nicht. Ergebnis: Die beiden
• l¨aZwei
ngs der
verbindungslinie
derSeil,
beiden
orpereiner
wirksam
Die
Kr¨afte
F~1 und F~2 sind
rollen (bei gleicher Masse) mit gleicher Geschwindigkeit aufeinander
zu.
Symmetrie in der Wechselwirkung zweier K¨orper
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• gleich gross,
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• antiparallel
zueinander
gerichtet undSeite 6
• l¨angs der verbindungslinie der beiden K¨orper wirksam
Symmetrie in der Wechselwirkung zweier K¨orper
Realkräfte und Scheinkräfte
Eine Realkraft wird von einer WW zwischen Körpern hervorgerufen. Eine Scheinkraft
kommt nur in beschleunigten Bezugssystemen vor. Diese Kräfte existieren trotzdem wirklich und wir können sie auch spüren. Beispiele für Scheinkräfte:
• Fahrstuhl: Körper darunter = Realkraft Gravitation nach oben gezogen = Scheinkraft durch die Beschleunigung
• in einem startenden Auto oder Flugzeug
• bei einer Kurvenfahrt
• bei der Kreisbewegung: Zentrifugalkraft, Corioliskraft
Scheinkraft = Trägheitswiderstand
Ein (äußerer) Beobachter im (ruhenden) Inertialsystem sieht bei der beschleunigten Bewegung
des Tisches keine Bewegung der Kugel (Trägheitsprinzip). Ein Beobachter im beschleunigten
Bezugssystem des Tisches sieht die beschleuScheinkr¨afte. Zentrifugalkraft
nigte Bewegung der Kugel auf dem Tisch. Er
schließt, es wirkt eine Kraft auf die Kugel.
Scheinkraft: Zentrifugalkraft/Fliehkraft FFl
Scheinkr¨
afte. Zentrifugalkraft
Vom Standpunkt des ¨
außeren Beobachters:
• Standpunkt des äußeren Beobachters ) es muss
Zentripetalbeschleunigung ~aZ sein, zentral gerichtet
Er sieht eine Kreisbewegung –Kreisbewegung
diese wird durch
die die
zentral
Federkraft (auch zentral gerichtet) ist die Zentripetalkraft, die ~aZ bewirkt
gerichtete Zentripetalbeschleunigung aVom
Die ebenfalls
Z verursacht.
Standpunkt des
Beobachters:
F~F¨außeren
aZ
2.Axiom
ed. = m~
zentral gerichtete Federkraft FFed. ist die Zentripetalkraft, die aZ
Kreisbewegung ) es muss die Zentripetalbeschleunigung ~aZ sein, zentral gerichtet
bewirkt. FFed. = maZ (2. Axiom)
Federkraft (auch zentral gerichtet) ist die Zentripetalkraft, die ~aZ bewirkt
• Standpunkt des inneren Beobachters F~F ed. = m~aZ
2.Axiom
Vom Standpunkt des inneren Beobachters:
Der Beobachter rotiert auch und sieht somit den Körper ruhen →
der K¨
ruht
) = –ma
~a = 0Z)(bzw.
alle Kr¨
a = 0 → alle Kräfte heben sich auf.
FoFlrper
= –F
FaFlfte+heben
FFed. sich
= 0) auf
Fed.
~
~
~
~
Fnach
+ FFAbriss
oder
FF l =
°FFvom
aZ
F lScheinkraft,
ed. = 0 des
ed. = °m~
FFl = –maZ…Zentrifugalkraft/Fliehkraft
– eine
Existenz
Wo fliegt der K¨oVom
rper
Fadens
hin?
Standpunkt
des
inneren deren
Beobachters:
Bezugssystem abhängig ist (existiert
nur wenn das Bezugssystem beschleunigt ist).
K¨orper
) ~a = 0 )
alle Kr¨afte deren
heben Existenz
sich auf vom Bezugsystem abh¨angig i
F~F l der
= °m~
aZ ruht
Zentrifugalkraft
(Fliehkraft),
Bei Abriss des Fadens fliegt der Körper tangential
weg,
er
bewegt
sich
geradeaus
weiter.
~
~
~
~
Scheinkr¨afte. Corioliskraft
F¨
ur einen ¨außeren Beobachter
oder
FF l = °FF ed. = °m~aZ
F¨
ur einen Beobachter im mitbewegten Bezugssystem
F~F l = °m~aZ Zentrifugalkraft (Fliehkraft), deren Existenz vom Bezugsystem abh¨angig ist
F~Cor ? ~v 0r
Matthias Elsner
FF l + FF ed. = 0
Scheinkraft: Corioliskraft Fcor
Sie entsteht in rotierenden Bezugssystemen,
wenn Massen sich mit einer Geschwindigkeit
vr radial bewegen, also senkrecht zur
Drehachse, z.B. vom Mittelpunkt zum Rand.
Der Beobachter im rotierenden System stellt
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Scheinkr¨afte. Corioliskraft
fest, dass eine gekrümmte Bahnkurve entsteht, also eine zusätzliche Beschleunigung aC senkrecht zu vr wirkt. Die
entsprechende Kraft heißt Corioliskraft.
F~cor = 2m(~v 0r £ !
~)
Für den äußeren Beobachter im ruhenden Bezugssystem ist sie
nur eine Scheinkraft – das Bezugssystem dreht sich einfach
Inertialsysteme und Galilei-T
unter der Masse während ihrer Bewegung nach außen hinweg.
Inertialsysteme
und
Galilei-Transformation
Ein Beispiel für die Corioliskraft ist die Bewegung von
Luftmassen in
Tiefdruckgebieten.
F~cor = 2m(~v 0r £ !
~)
Inertialsysteme und Galilei-Transformation
Inertialsystem
Definition: Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem das Trägheitsgesetz gilt und
das selbst keiner Beschleunigung unterliegt.
S 0 bewegt sich gleichm¨aßig in x-Richtung relativ zu
Beispiel: 2 Bezugssysteme, die sich relativ zueinander mitnaten
konstanter
Geschwindigkeit
und der Zeit:
S 0 bewegt sich gleichm¨aßig in x-Richtung
relativ zu S. Zusammenhang der K
Inertialsysteme
und
Galilei-Transformation
bewegen – eines ist am Ufer verankert (S), das andere
fließt mit
t =dem
t0 Wasserstrom
- die(S’).
Zeit l¨auft gleich in beide
0
naten~
und
der
Zeit:
u = ~u + ~v0
0
x=x +v t
(v = const)
0 in beiden Systemen
0
t = t0
- die Zeit l¨0a0uft gleich
0
) Wenn sich P gleichm¨aßig geradlinig (weil kraftfrei)
in
S
bewegt
(d.h.
~
u
=
const),
muss
~
u
=
const
y
=
y
x = x 0 + v0 t
(v0 = const)
0
z=z
in S sein - das Tr¨
agheitsprinzipygilt
in beiden Bezugssystemen
= y0
Geschwindigkeit des Punktes P :
dx0
Geschwindigkeit des Punktes Pdx
:
0 +~
uv = ~u 0 +oder
~v0 in ve
u
=
=
+
v
=
u
x
0
0
0
x
0
d~u
dt sich P dt
dx
) Wenn
gleichm¨aßig geradlinig (weil kraftfrei) in S 0 bewe
+ux0 =
= dx
~a 0 = (§)
+ v0 = eine
u0x +Invariante
v0
oder in vektorieller Form:
~u = ~u0
in S sein - das Tr¨
agheitsprinzip gilt in beiden B
z = z0
Beschleunigung:
d~u
~a =
=
dt
dt
dt der
dtKoordisich gleichm¨
aßigGeschwindigkeit
in x-Richtung relativ
zu S. Zusammenhang
Die
des Punktes
P ist gegeben durch:
~u = ~u 0 + ~v0
der Zeit:
0+v t
0
0
0
Wenn sich PDas
nunGrundgesetz
gleichmäßig
(weil
kraftfrei)
inßigS’geradlinig
bewegt(weil
(also
u’ = const),
muss auch u =
Beschleunigung:
) Wenn
P gleichm¨aBezugssytemen:
kraftfrei)
in S 0 bewegt (d.h. ~u 0 = const), muss ~u = co
insich
inertialen
const
sein
Trägheitsprinzip
gilt in beiden Bezugssystemen.
d~u d~u 0
- die
Zeit– l¨adas
uft gleich
in beiden
in S Systemen
sein - das Tr¨
agheitsprinzip gilt in beiden
Bezugssystemen
~a =
=
+ 0 = ~a 0 (§)
dt
dt
Beschleunigung
ist eine Invariante (in allen Bezugssystemen gleich):
(v0 = const)
(§) multiplizieren mit m
Für das Grundgesetz in inertialen Bezugssystemen multiplizieren wir die Invariante a mit
Beschleunigung:
Das Grundgesetz
in inertialen Bezugssyteme
der Masse (ebenfalls eine Invariante
mist
= auch
m’). eine
Daraus
erkennen
die Masse
Invariante
m =wir:
m 0eine Kraft wirkt in bei0
d~u d~u
0 (§)
den Bezugssystemen identisch.
~a~ =
=
+
eine
Invariante
0 0=
mit m
~ 0~a(§) multiplizieren
digkeit des Punktes P :
F = m~
dta = m~
dta = F
die Masse ist auch eine Invariante m
- eine Kraft
identisch
inGesetze
beiden Bezugssystemen
dx0 Allgemein –
das Galilei-Invarianzprinzip:
Diewirkt
grundlegenden
der Physik sind in
0
0
=
+ v0 = ux + v0
oder in vektorieller
Form:
~uin=inertialen
~u + ~v0 Bezugssytemen: F~ = m~a = m~a 0 = F~
Das Grundgesetz
allen Bezugssystemen, die sich zueinander mit gleichförmiger Geschwindigkeit be-
dt
- eine Kraft wirkt identisch
0
mit m
~u = ~u + ~v0(§)
+ ~amultiplizieren
des Tr¨agheitsprinzips
0t ° Verletzung
Nichtinertialsystem
0
Wenn sich P in S 0 kraftfrei mit konstanter Geschwindigkeit
bewegt,
ist seine
Geschwindigkeit
~u in0
die Masse~u ist
auch es
eine
Invariante
m =Beschleum
In einem Nichtinertialsystem ist v nicht mehr konstant,
denn
unterliegt
einer
konstant!
0=F
0
nigungSanicht
0. Für den Fall, dass a0 = const, gilt für die
F~ =
m~a~
m~
~u =
u=0 +
~va0 +
~a~0t ° Verletzung de
Geschwindigkeit
eines Punktes P: Beschleunigung:
- eine
Kraft
wirkt
identisch
in
beiden Bezugssystem
WennWenn
sich Psich
in S 0Pkraftfrei
mitu’konstanter
Dies stellt eine Verletzung
des Trägheitsprinzips dar.
in S’ mit
= const Geschwindigkeit ~u 0
0
d~u d~u
~a = ist
= seine+Geschwindigkeit
0 + ~a0 = ~a 0 +u~ain0SS nicht
(§) konstant!
Beschleunigung
keine Invariante
kraftfrei bewegt,
nicht
konstant!
DieistBeschleunigung
ist
dt
dt
hier keine Invariante mehr: a = a’ + a0. Dies ergibt für das Grundgesetz:
wegen, ident.
(§) £ m:
Beschleunigung:
F~ = m~a = m~a 0 + m~a0
d~u d~u 0 mit anderen 0
Sei die Masse m in S kr¨aftefrei - keine
Wechselwirkung
~a = Prüfung
=
+ 0 + ~aSeite
~a0
0 =~
! a von+!29
8
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche
~
dt
dt
K¨orpern, d.h. F = m ~a = 0 )
0 = m~a 0+m~a0(§) £ m:
)
m~a 0 = °m~a0
(~a0 6= 0)
(§)
F~ = m~a = m~a 0 + m
Arbeit
Wenn nun eine Masse m kräftefrei in S ist, also F = ma = 0, folgt daraus (in einem Nichtinertialsystem, a0 ≠ 0):
0 = ma’ + ma0
ma’ = –ma0 Obgleich es in S’ keine Wechselwirkung mit der Masse gibt, wirkt eine Kraft F = –ma0 –
eine Scheinkraft.
Arbeit und Energie
Arbeit ist definiert als Kraft
∙ Weg.
Der Wegder
s→Bahnkurve
ist das Segment
derOrt
Bahnkurve
Weg
12 (Segment
zwischen
1 und Ortzwischen
2); ~
s(t)
Ort 1 und 2, also die Diﬀerenz der Vektoren r→(t) – r→(t0). α ist der Winkel zwischen den
= ~r(t) ° ~r
beiden Vektoren F→ und s→.
W ¥ F~ · ~s = |F~ | · |~s| cos Æ
• Arbeit ist eine Skalargröße (Skalarprodukt)
ist> eine
oße (Skalarprodukt).
s (cos α
0)
Skalargr¨
• W > 0, wenn F in gleicher Richtung wieArbeit
• W < 0, wenn F in Gegenrichtung zu s (cos α < 0)
W > 0,anzuwenden!
wenn F~ in Die
gleicher
Richtung
s (cos Æ > 0)
Diese Definition ist aber schwierig
Formel
ist nur fürwie ~
~
geradlinige Wege und konstante
Kräfte
anwendbar.
Wenn F und s zu
nicht
W < 0,
wenn
F in Gegenrichtung
~s (cos Æ < 0)
konstant sind, approximiert man die Kurve s durch kleine geradlinige
Segmente Δs, in denen F jeweils konstant ist und summiert diese – man
bildet das Integral (berechnen der Stammfunktion, bilden der Diﬀerenz der Grenzwerte)!
Die Maßeinheit der Arbeit ist das Joule J.
Folgerungen aus den Eigenschaften des Integrals
•
•
•
•
bei Umkehrung des Weges: WA→B = –WB→A
Arbeit entlang eines geschlossenen Weges ist 0 (Ringintegral, nur im 1D-Fall, nicht 3D!)
bei Berechnung ist Arbeit durch einen Zwischenpunkt teilbar (Aufteilen von Integralen)
Arbeit hängt vom gewählten Weg zwischen Zuständen 1 und 2 ab – d.h. Arbeit ist eine
Prozessgröße (keine Zustandsgröße)
Arbeit im Schwerkraftfeld
• Arbeit der Schwerkraft (FG ⇊ s):
WB→A = mgh
• Hubarbeit – Arbeit einer Kraft gegen die Schwerkraft (FH = –FG):
WA→B = mgh
Arbeit der Federkraft
• Entspannung einer gedehnten Feder – sie leistet dabei Arbeit:
Kinetische Energie
• Spannarbeit (Spannkraft FS = –FF):
dW = F~ d~s
Kinetische Energie Wkin
d~v
F~ = m~a = m ;
d~s = ~v dt )
Die Arbeit auf dem Weg von Punkt 1 zu Punkt 2
dt
ist gleich der Änderung der kinetischen Energie
d~v
dW = m · ~v dt = m~v d~v
in diesen Punkten (= Beschleunigungsarbeit).
dt
Zv2
Oder anders: Die Beschleunigungsarbeit ist die
1
1
In Integralform: W12 = m~v d~v = mv22 ° mv12
Diﬀerenz der kinetischen Energie im End- und
2
2
v1
Startzustand. Die kinetische Energie ist eine
Wkin ¥ 12 mv 2
Skalargröße und hat die Einheit Joule J.
Matthias Elsner
¨
Arbeit auf dem Weg von Punkt 1 zu Punkt 2 ist gleich der Anderung
der kinetischen
Energie
in diesen Punkten (”Beschleunigungsarbeit”).
Seite 9
! von !29
Physik I – Ausarbeitung
mündliche
Prüfung
Kinetische Energie ist eine Skalargr¨oße.
Felder
Felder sind Funktionen, die vom Ort im 3D-Raum abhängig sind und überall definiert sind.
Geleistete Arbeit entlang eines geschlossenen W
• Skalarfeld: z.B. Temperaturfeld T (x, y, z) (3D-Temperaturverteilung)
• Vektorfeld: z.B. Kraftfeld V→ (x, y, z)
Einen beliebigen Punkt 2 auf dem Weg 1 ! 1 w¨ahlen:
Kraftfeld
Ein Kraftfeld liegt vor, wenn ein Körper in jedem Raumpunkt r→ eine wohldefinierte Kraft
F→(r→) erfährt. Beispiele für Kraftfelder sind die Schwerkraft oder elektrische Dipole.
• Konservative Kraftfelder: Ist das Kraftfeld so beschaﬀen, dass die Arbeit vom gewählten
0
0
W1!1
W1!2
+ es
W2!1
= W1!2 ° W1!2
Weg zwischen den Zuständen 1 und 2 unabhängig ist,
dann=nennt
man
konservativ. Um die geleistete Arbeit auf einem geschlossen Weg 1→1 zu berechnen wählt man
0
weil W1!2 = W1!2
f¨ur ein konservatives Feld.
einen beliebigen Punkt 2 auf dem Weg und verwendet
W1→2 = W’1→2 (für konservative
I
Felder): W1→1 = W1→2 + W’2→1 = W1→2 – W’1→2 = 0 F~ · d~s = 0
Bei einem konservativen Kraftfeld verschwindet die Arbeit bei der
Verschiebung eines Körpers längs eines geschlossenen Weges. Zentralkraftfelder (z.B. Gravitationskraft, Coloumbsche Kraft) haben Kugelsymmetrie
Bei einem
die Arb
und sind ein Beispiel für konservative Kraftfelder.
Hierkonservativen
ist der BetragKraftfeld
der Kraft verschwindet
nur vom
schiebung eines K¨
orpers l¨
angs eines geschlossenen Weges
Abstand zum Zentrum des Kraftfeldes abhängig.
Potentielle
Energie
Potentielle Energie Wpot
Potentielle Energie. Absolutwertproblem
Durch Einf¨uhrung des Bezugspunkts definiert man tats¨achl
¨
nur eine relative Anderung
der potentiellen Energie.
Der absolute Wert von Wpot ist unbekannt
(das Problem der Integrationskonstante!)
Die potentielle Energie Wpot am Punkt P ist die Arbeit, die zu verrichten
ist, um einen
ZP
ZP0 KörGem¨aß der Definition ~
per vom Bezugspunkt P0 in den Punkt P zu übertragen.
oder
Def.: Wpot(P
) = ° F · d~s
oder
F~ P· d~s
Z
Wpot am Punkt P ist die Arbeit, die das Kraftfeld bei Übertragung
P0 eines
Def.:Körpers
Wpot(P ) vom
=P ° F~ · d~s
2: um
dereinen
Bezugspunkt
eines Zentralkraftfeld
Wpot am Punkt P ist die Arbeit, die zuBeispiel
verrichten ist,
K¨orper vom Bezugspunkt
P0 in Punkt
Punkt P in den Bezugspunkt P0 verrichtet.
P0
P zu u¨bertragen,
oder gewählter
Bezugspunkt…ist ein bestimmter, beliebig
Ort in diesem
ist die potentielle
Energie Feld.
im Bezugspunkt
¥ 0:
¨
Wpot am Punkt P ist die Arbeit, die das Kraftfeld verrichtet bei Ubertragung
eines K¨orpers von Punkt
P
des Bezugspunkts
P in den Bezugspunkt
P0
Z0
• Absolutwertproblem: Durch die Einführung
W in diesem
(P0) =
° F~ · d~s = 0
definiert man nur eine relative Änderung
der potentiellen
Energie.
Bezugspunkt
- ein bestimmter, beliebig
gew¨ahlter Ort pot
Feld
P0
Der absolute Wert von Wpot ist unbekannt! Die potentielle Energie im Bezugspunkt ist aufgrund der Definition von Wpot 0.
m 1 m2
~
r ! 1 ) F (r) ! 0
0. = °∞ r2 ~er
• Beispiel 1: Der Bezugspunkt des Schwerkraftfeldes ist hF=(r)
Zr
Wpot(h = 0) = 0
Wpot(h) = mgh
0
0
Wpot(1
• Beispiel 2: Der Bezugspunkt eines Zentralkraftfeldes liegt in ∞. Wpot(r) = ° F (r )dr
1
Wpot(∞) = 0
• Ortsabhängigkeit: Die potentielle Energie (Lageenergie) ist vom Weg unabhängig.
Energieerhaltungssatz
Die Gesamtenergie ist eine Erhaltungsgröße: Wges = const
Die mechanische Gesamtenergie ist: Wges = Wpot + Wkin
In der Mechanik ist der Energieerhaltungssatz aber kein Axiom! Er ist eine hergeleitete
Aussage aus dem 2. Newtonschen Axiom.
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
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@Wpot
= °Fx
@x
@Wpot
= °Fy
@y
@Wpot
=
@z
~ = Fx~ex + Fy~ey + Fz~ez
F
~ = ° @Wpot~ex ° @Wpot~ey ° @Wpot~ez
Kraft als Gradient der potentiellen Energie
F
@x
@y
@z
Das Integral der Kraft F (Vektorgröße) wandelt sie in die Arbeit W Interpretation
(Skalargröße)des
um.
Um im
Gradienten
@@
@
@
3D-Raum die potentielle Energie Wpot (Skalargröße) in ein Kraft@
@
Def.: grad
Operator
ex~ez+ ~ey +
¥ ~exgrad
+ ¥
~ey + ~
@y
@z
@x
@y @x@z
feld F (Vektorgröße) umzuwandeln, wird der Operator Gradient
df (x)
angewendet. Er leitet die x, y, und z-Koordinaten partiell ab.
~ grad
= °grad
Wpot ~ex
1D-Analogie: F
f (x) =
dx
Der Gradient gibt im 3D-Raum die Richtung der schnellsten Zunahme
des Skalarfeldes und die Änderungsrate an.
Nichtkonservative Kräfte
Der Energieerhaltungssatz wird auf andere Energieformen erweitert – die Energie wird in
Leistung
andere Energieformen umgewandelt (hier die Wärme Q).
Ein Beispiel für eine nichtkonservative Kraft ist die Reibung. Die Umwandlung mechanischer
Arbeit in Wärme ist GegenP ¥ dW
dt
df (x)
stand der Thermodynamik. Wpot(1) + Wkin(1) = Wpot(2) + Wkin(2) + Q
dx > 0
Dimension:
df (x)
dx < 0
¨
grad gibt die Richtung der Zuname und die Anderungsrate
de
Leistung P
tion[W
an] J
Die Leistung ist die Ableitung der Arbeit nach[P
der
Einheit
] =Zeit. =Die =
W att =istWdas Watt W (J/s). Sie
[t]
s
ist auch als Skalarprodukt aus Kraft und Geschwindigkeit darstellbar.
P =
Abgeschlossenes System
dW F~ d~s ~
=
= F~v
dt
dt
Systeme von mehreren Massenpunkten
Schwerpunkt
es System wird
ohne Wechselwirkung
mit eines Systems von mehreren
Fürein
dieSystem
Berechnung
des Schwerpunkts
bezeichnet. Massenpunkten multipliziert man die Vektoren mit den jeweiligen
m1~v1 + m2~v2 = const
Massen, summiert diese Produkte und dividiert dann
durch die
Definition
Impuls:
p~ = m~v
Gesamtmasse
des
Systems.
∑m
des
Systems
Betrachten
wir
ein
System
aus
2
Massenpunkten:
i ≡ M…Gesamtmasse
s mehreren Massenpunkten:
p~1 + p~2 = const
re Kr¨afte auf,
d.h.
2 Massenpunkten sind durch eine Feder verbunden
Abgeschlossenes
System
X
Verallgemeinerung auf N Massenpunkte:
(anstelle
der Feder
kann
jede andere Wechselwirkung
sein)
System
ohne
Wechselwirkung
mit seinF~i = 0 Als abgeschlossenes System wird ein
ystem aus 2 Massenpunkten:
N
X
er Umgebung bezeichnet. Für ein System aus mehreren Massenpunkten gilt,
punkten sindi durch eine
Feder verbunden
p~i = const
dass nur innere Kräfte auftreten – das heißt die Summe aller Kräfte in einem
e der Feder kann jede andere Wechselwirkung sein)
i=1
abgeschlossenen System ist 0.
p~ges = const Impulserhaltungssatz f¨ur den Ge
Impuls p
Der Impuls p→ ist das ProduktAnwendung
aus der Masse
m und der Geschwindigkeit
v→.
des Wechselwirkungsgesetzes
(3.NA):
in einem
• Impulserhaltungssatz: Der Gesamtimpuls pges→ (also die Summe
F~1 aller
= °Impulse)
F~2
abgeschlossenen System ist konstant.
ungsgesetzes (3.NA):
Anwedung des Grundgesetzes F~ = m ~a (2.NA):
• Herleitung: Nach dem 3. NA ist F1 = –F2. Das 2. NA lautet F = ma, daher kann man
F~1schreiben
= °F~2 m1a1 = –m2a2 bzw. m1a1 + m2a2 = 0. Wenn man nun
man,
m1~aumformt
aerhält
1 = °m(1)
2~
2
~
F = m ~a (2.NA):dass die zeitliche Ableitung der Impulse 0 ist (2) – somit muss die Summe konstant sein. d~
v
m
~
a
+
m
~
a
=
0
[m~
a
=
m
1
1
2
2
Man
erhält
m
v
+
m
v
=
const,
also
p
+
p
=
const
–
den
Impulserhaltungssatz.
2 2
1
2
m1~a1 = °m2~a2 1 1
dt
m1~a1 + m2~a2 = 0 (1) [m~a = m
d~v
d
= (m~v )]
dt dt
(2)
d
(m ~v + m2~v2) = 0
dt 1 1
d
(m ~v + m2~v2) = 0
dt 1 1
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=
d
(
dt
• Damit kann man das Grundgesetz der Dynamik auch in der allgemeineren Impuls-Form
darstellen. Die zeitliche Ableitung des Impulses ist gleich der wirksamen Kraft.
Ortsvektor des Schwerpunktes
~rS =
lässt sich der Schwerpunktsatz fol• Schwerpunktsatz: Aus dem ImpulserhaltungssatzSchwerpunktsgeschwindigkeit:
gern: Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes
dr~s
1 X mi d~
ri
1 X
=
=
p~i = const
eines abgeschlossenen Systems ist konstant. ~v =
dt
M
dt
M
i
i
Er bewegt sich also unbeeinflusst von den inFolgt aus dem Impulserhaltungssatz
neren Kräften zwischen den einzelnen Körpern des Systems. vs = const
PN
i mir~
M
Schwer
Die Geschwindigkeit des Schwerpunktes eines abgeschlossen
Stöße
Massenpunktsystems ist konstant
Ein Stoß ist eine sehr kurze Wechselwirkung zwischen zwei Körpern. Durch den Stoß ändert sich die Geschwindigkeit (der Impuls) und die Energie der Stoßpartner. Man unterscheidet elastische und inelastische Stöße: Ekin1 + Ekin2 = E’kin1 + E’kin2 + ΔQ
- ΔQ = 0…elastischer Stoß (Erhaltung der kinetischen Energie)
- ΔQ ≠ 0…inelastischer Stoß: ΔQ > 0 endotherm, ΔQ < 0 exotherm (meist in Physik)
Weiters wird in zentrale und nichtzentrale Stöße unterschieden. Wenn alle Impulsvektoren
kollinear sind (auf einer Gerade liegen) ist es ein zentraler Stoß, sonst ein nichtzentraler.
Zentrale Stöße lassen sich auf den 1D-Fall reduzieren (skalare Größen).
Elastischer Stoß
2 Massenpunkte m1 und m2 mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 erfahren den elastischen Stoß. Gesucht werden die Geschwindigkeiten v1’ und v2’ nach dem Stoß. Man setzt
mit der Impulserhaltung und mit der Erhaltung der kinetischen Energie (weil elastisch) an:
- m1v1 + m2v2 = m1v1’ + m2v2’
- (1/2) m1v12 + (1/2) m2v22 = (1/2) m1v1’2 + (1/2) m2v2’2 Aus diesen Gleichungen lassen sich dann v1’ und v2’ ausdrücken.
• Sonderfall 1: Ein elastischer Stoß zweier Kugeln gleicher Masse (m1=m2), die zweite
Kugel ruht vor dem Stoß (v2=0). Es findet ein voller Impulsübertrag auf die zweite Kugel
statt – sie bewegt sich nach dem Stoß mit der Geschwindigkeit der ersten Kugel,
welche dann ruht. v2’ = v1 und v1’ = v2 = 0 und Δp = m1v1 • Sonderfall 2: Ein senkrechter elastischer Stoß gegen eine Wand (deren Masse m2→∞
angenommen wird). Der Impulsübertrag Δp auf die Wand beträgt 2m1v1, der Impuls der
Kugel kehrt sich beim Stoß um (sie prallt mit derselben Geschwindigkeit zurück). v1’ = –v1 und p1’ = –p1. Bei einem Stoß unter einem Winkel wird der Impuls in seine
Komponenten zerlegt, es wird nur der Impulsübertrag der senkrechten Komponente
berücksichtigt. Δp=2mvx • Mikroskopische Deutung des Gasdrucks: Druck ist definiert als Normalkraft pro Flächeneinheit (P = F/A). Der Impulsübertrag auf die Wand (Einzelstoß) Δp=2mvx. Die ideale
Gasgleichung pV = RT folgt aus der Betrachtung des Impulsübertrags aller Gasteilchen.
• Kugelstoßpendel (Newton-Pendel): Nach der Impulserhaltung könnten theoretisch auch
2 Kugeln mit halber Geschwindigkeit ausgelenkt werden, die Erhaltung der kinetischen
Energie verhindert dies aber (weil elastischer Stoß, Kugeln müssen sehr hart sein).
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Vollkommen inelastischer Stoß
Bei einem nichtelastischen Stoß gilt nur der Impulserhaltungssatz, die Erhaltung der
kinetischen Energie nicht! Nach einem vollkommen inelastischen Stoß (z.B. zwei
Spielzeugautos prallen mit Plastilin dazwischen zusammen und kleben aneinander fest)
bewegen sich beide Körper zusammen mit der gleichen Geschwindigkeit u.
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)∙u Rotation des Massenpunktes
Rotation des
Dreh
(auch Kr
Drehmoment D bzw. M
Drehmoment
Drehmoment
Das Drehmoment ist das Maß der Drehwirkung einer Kraft. Es ist definiert als das
Bewegung
Bewegung
eines
eines
starren
starren
K¨orpers
K¨orpers
= =
Kreuzprodukt/Vektorprodukt aus Ortsvektor
und
Kraft.
Der
Ortsvektor
Translationsbewegung
Translationsbewegung
desdes
Schwerpunktes
Schwerpunktes
+ Rotation
+ Rotation
umum
denden
Schwerpunkt
Schwerpunkt
ist vom Bezugspunkt abhängig, er ändert sich beim Wechsel des Ko-
Def.:
BeiBeim
Bei
derder
Beschreibung
Beschreibung
derder
Rotationsbewegung
Rotationsbewegung
w¨aw¨
hlt
ahlt
man
man
oftoft
denden
ordinatensystems.
Betrag
des Drehmoments
kommt der sin𝜑
Koordinatenursprung
Koordinatenursprung
imim
Schwerpunkt
Schwerpunkt
hinzu – wenn der Winkel zwischen
Ortsvektor und Kraftvektor
0 ist,
gibt es somit kein Drehmoment.
~ ~
~ ~
~ ~
DD
= ~r=£~r F
£F
|D||D|
= r=· rF· ·Fsin
· sin
''
Drehmoment
Drehmoment
ist
dasdas
Maß
Maß
derder
Drehwirkung
Drehwirkung
einer
einer
Kraft.
Kraft.+ RotaKörpers =istTranslationsbewegung
des Schwerpunktes
• Bewegung eines starren
|~c| = |~a
tion um den Schwerpunkt. Daher wählt man bei der Beschreibung der Rotationsbewe*vom Bezugspunkt abh¨angig! (¨andert s
gung oft den Koordinatenursprung im Schwerpunkt.
• Die Einheit des Drehmoments ist kgm2s-2 = N∙m (Newtonmeter, nur formal Joule).
Drehimpuls
• Teilchensystem: in einem abgeschlossenem System ist das Drehmoment D = 0
• Zentralkraft: Eine Zentralkraft wirkt entlang des~Radius eines Kreises. Das heißt der
Def.: L = ~r £ p~
Winkel ist 0, der sin(0) = 0 und das Drehmoment D = 0.
Dimension
Drehimpuls L
~ = [~r][~
L]
p] = kg
m2 · s°1 und Impuls. Wenn man
Der Drehimpuls ergibt sich aus dem[Kreuzprodukt
aus· Ortsvektor
den Drehimpuls nach der ZeitDrehimpuls
ableitet erhält man des Drehmoment D. Die Einheit der
2
-1
Drehimpulses ist kg∙m ∙s .
~
Dimension
~ = ~r £ p~
Def.: L
~ = dL
D
dt
~
d~
r
d~
p Wenn der Ortsvektor
Kreisbewegung:
r und die
2 s°1
• Drehimpuls bei gleichförmiger
~ =dL
~
[L]
[~r][~
Beweis:
=p] = kg
£ p~· m
+ ~r·£
= ~v £ m~v + ~r £ F~ = ~r £ F~ = D
Winkelgeschwindigkeit konstant
dt
dt sind, ist auch
dtder Drehimpuls L = const.
• Drehimpulserhaltung: Für ein abgeschlossenes System ist das Drehmoment 0. Da die
(uv)0 = u0 v + uv 0
~ das
L
Ableitung des Drehimpulses nach
derdZeit
Drehmoment ist, muss der Drehimpuls in
~
D=
dt in einem Zentralkraftfeld, da auch hier D = 0.
diesem Fall konstant sein. Dasselbe gilt
Beweis:
~
dL
d~r
d~
p
~
=
£ p~ + ~r £
= ~v £ m~v + ~r £ F~ = ~r £ F~ = D
dtZusammenfassung
dt
dt – Erhaltungsgrößen der Mechanik
für die mechanische Gesamtenergie (für konserva• Wges = const: Energieerhaltungssatz
(uv)0 = u0 v + uv 0
tive Kraftfelder)
• pges = const: Impulserhaltungssatz (für abgeschlossene Systeme)
• vs = const: Schwerpunktsatz (für abgeschlossene Systeme)
• L = const: Drehimpulserhaltungssatz (für abgeschlossene Systeme)
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Definition "starr"
3
r
i
3
r - 3r
i
k
Mechanik starrer Körper
3
r
k
Einführung/Wiederholung
O
2 Vektoren d ( ri − rk ) = 0
i, k = 1, 2, ...... N
• Definition „starr“: Der Abstand zwischen jeweils
dt
ist/bleibt konstant.
• Gesamtmasse: Die Masse über das Volumen zu integrieren stellt ein
Problem dar. Bei einem homogenen Körper löst man dies über die
Kreisbewegung: Vergleich mit Translationsbewegung
Dichte, denn dann gilt ρ = const.
• In der Mechanik starrer Körper sind alle Gleichungen
Translation
Rotation
s
ϕ
v =
a=
ds
dt
dv d 2s
= 2
dt
dt
ω=
α =
dϕ
dt
dω d 2ϕ
= 2
dt
dt
der Kreisbewegung verwendbar. Der Winkel 𝜑, die
Winkelgeschwindigkeit ω und die Winkelbeschleunigung α sind nämlich für alle Punkte gleich groß, egal
wie weit sie vom Mittelpunkt entfernt sind. r i dϕ Radiusvektor
dsi vom
• Das Bogenmaß gibt die Größe des
vi =
= ri ω
=
überstrichenen Winkels 𝜑 an. Ein dt
vollerdtUmlauf ergibt
dv
dt
dω
dt
ai = isti das
= ri Bogenmaß
= ri α
dann d𝜑 = 2π = 360°. Die Einheit ist das Radiant rad, physikalisch
aber dimensionslos.
Zentripetalbeschleunigung: zum Zentrum gerichtet
Die
Kreisfrequenz
ω
ergibt
sich
aus
der
Frequenz
f
oder
der Periode2T. Sie ist
von der
•
2
(
vi
ri ω )
aizgleichen
=
= Zahlenwert). = ri ω 2
Winkelgeschwindigkeit (ebenfalls ω) zu unterscheiden (hat aber
ri
ri
2π
f…Frequenz, Umlauﬀrequenz;
T…Periode, Umlaufzeit
ω
π
=
2
=
f
Kreisfrequenz:
T
• Zusammenhang zwischen Translationsgrößen und Grundgleichung der Kinematik:
1 2
Rotationsgrößen: v = at + v0
s = atAxiom:
+ v 0 t + s0
2. Newtonsches
2
f … 1(Umlauf)frequenz
vi = riω F = m a = m r α ⋅ ri ω = α t + ω
ϕit = α it 2 it+ ω0t +i ϕi 0
0 Drehmoment
2
ai = riα
= mi ri 2 α Periode
T r…
i FitUmlaufzeit,
F1
F2
• Drehmoment: Wird als M oder D bezeichnet. Wenn zweiM Kräfte radial anF = F
greifen, herrscht Kräftegleichgewicht und es entsteht kein Drehmoment.
2
M i = ∑ mi ri α
F1
Radialkomponenten einer Kraft haben keinen Einfluss ∑
auf
das Drehmoment.
i
i
F = F
Wenn sie aber einander gegenüber tangential angreifen,
entsteht
Starrer Körper:
αi fürein
allemaximi gleich
F2
males Drehmoment.
M = α ∑ mi ri 2 = α J
i
Es entsteht ein
Trägheitsmoment J
2
Trägheitsmoment:
mi ri
Das Trägheitsmoment J hängt von der Masse undDef.:
Geometrie
des Körpers J =
i
ab. Es ergibt sich aus der Summe der Produkte der Massen mi mit den
ri ist der Normalabstand
Quadraten der Ortsvektoren ri (Normalabstand zwischen
Masse undzwischen mi und der∞ Drehachse
Allgemein:
J = r⊥2 dm
Drehachse). Allgemein formuliert ist es das Integral des Quadrats
der
0
Ortsvektoren mal dm.
• Das Trägheitsmoment ist abhängig von der Drehachse. Bei Verschiebung
M = J α der F = m a
Drehachse kommt der Steinersche Satz zur Anwendung: Jx = Js + mb⊥2 Das Trägheitsmoment ist abhängig von der
Jx…Trägheitsmoment bei verschobener Drehachse, JsLage
…Trägheitsmoment
der Drehachse bezogen auf
den Schwerpunkt, b⊥…Normalabstand der Achsen
Bei Verschiebung der Drehachse kommt der
formulieren:
MAnwendung:
= J∙α. • Das Drehmoment M lässt sich mit dem Trägheitsmoment
Steinersche
Satz zur
• Formeln für J von verschiedenen Körper vorhanden (Zylinder, Kugel, Ring,…)
2
i
1
1
2
2
∑
∫
J x = J s + m b⊥
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 14
! von !29
bezogen auf Schwerpunkt
Normalabstand der Achs
i
∑M
i
i
=
∑m r
i
i
2
α
i
Starrer Körper: αi für alle mi gleich
•Herleitung
M =α
J Trägheitsmoments:
∑i mi ri 2 = αdes
Fit = mi ait = mi ri α ⋅ ri
Def.: Trägheitsmoment:
J = mi ri 2 ri Fit = mi ri 2 α
i
M
ri ist der Normalabstand zwischen mi und der Drehachse
∞
∑ Mi = ∑ mi ri 2 α
2. Newtonsches Axiom:
∑
Definition
i
i
i
Starrer Körper: αi für alle mi gleich
Allgemein: (allgemein)
0
M = α ∑ mi ri = α J
2
i
J = ∫ r⊥2 dm ∑
M = Jα
F = ma
Schwerpunkt
Def.: Trägheitsmoment: J =
m
i riTrägheitsmoment ist abhängig von der
Das
i
Schwerpunkt s
Lage der Drehachse
ri ist der Normalabstand zwischen mi und der Drehachse
Wenn
zwei oder mehr paralleleWenn
Kräfte
Körper
wirken,
können
sie durch
eine
zweiauf
odereinen
mehr parallele
Kräfte
auf einen
Körper wirken,
dann können
Beieine
Verschiebung
der Kraft
Drehachse
kommt
der
sie durch
einzelne äquivalente
ersetzt werden.
Diese
Ersatzkraft ist
einzelne äquivalente Kraft ersetzt
werden.
Diese
Ersatzkraft
ist gleich der Summe der
gleich der
Summe der Kräfte
und
an einem solchen Punkt an, dass das
Steinersche
Satz
zur greift
Anwendung:
vonan,
ihnen
bewirkte
gleich
dem resultierenden
Drehmoment
der
Kräfte und greift an einem Punkt
an
dem Drehmoment
das von ihr
bewirkte
Drehmoment
gleich
2
ursprünglichen
Kräfte
ist.
Wenn zwei
oder
mehr
parallele
Kräfte
auf
einen
Körper
wirken,
dann
können
J
=
J
+
m
b
dem resultierenden Drehmoment der ursprünglichen Kräfte
ists– dem Schwerpunkt.
⊥
x
sie durch eine einzelne äquivalente Kraft ersetzt werden. Diese Ersatzkraft ist
1
man
Schwerpunkt,
kompensieren
s = sich
mi Kräfte (speziell die
m sdass
=∑
gleich derUnterstützt
Summe der Kräfte
undden
greiftKörper
an einemim
solchen
Punkt an,
dasri mi
∑i ri alle
m
i
von ihnenGravitationskräfte)
bewirkte Drehmoment gleich
dem
resultierenden
Drehmoment
der
→ es
kommt
zu einem
Gleichgewicht.
bezogen auf Schwerpunkt
Normalabstand der Achsen
Rotationsenergie
2
Schwerpunkt
ursprünglichen Kräfte ist.
ms =
∑ ri mi
i
s=
1
∑ ri mi
m i
dWi Fit: dsi Fit∫rri ddm M i d
Def.: Schwerpunkt
s=
∫ dm
allg :
allg.:
dW Fs ds
dW M d
Gleichgewicht
man den
im Schwerpunkt
kompensieren
alle Kräfte
Für ein Gleichgewicht müssen rUnterstützt
die
derKörper
Kräfte
und die
derdsich
Drehmomente
dmSumme
dWSumme
P Fs v s
P
W M
M
M
Leistung: Gleichgewicht
(speziell die Schwerkräfte)
Def.:
Schwerpunkt
:
s
=
jeweils 0 sein: ∑ Fi = 0 und ∑ Mi = 0.
dt
dt
dm
Daraus folgt das Hebelgesetz: M1 = M2 und F1r1 = F2r2 1
1
1
2
E kin
mi v i2
mi ri
mi ri 2 2
isich iallehKräfte i (Beispiele):
Esman
gibtden
drei
verschiedene
vonKinetische Energie:
Gleichgewichten
Unterstützt
Körper
im SchwerpunktArten
kompensieren
2
2
2
I
I
i
Gleichgewicht
(speziell die
Schwerkräfte)
Kugel liegt
in einer Wanne
• stabil:
J
instabil:
Kugel
liegt
auf
einer
anderen
Kugel
•
1 2
1
rot
trans
E kin
J
E kin
mv 2
• indiﬀerent: zwei Kugeln liegen nebeneinander
2
2
Für Drehungen gilt: Rotation um eine Achse mit kleinerem Trägheitsmoment ist stabiler.
Überlagerung Translation und Rotation:
Rotationsenergie
1
1
trans
rot
Bei der (kinetische) Rotationsenergie überlagern
E kin E kin
E kin
mv 2
J 2
2
2
sich Rotation und Translation.
• Vergleich der Rollgeschwindigkeit eines Hohl- und eines Vollzylinders gleicher Masse:
Auf einer schiefen Ebene rollt ein Vollzylinder trotz gleicher Masse viel schneller, weil der
Hohlzylinder ein viel höheres Trägheitsmoment hat. Die Drehachse ist der Zylindermittelpunkt. Epot am Anfang ist gleich groß wie Ekin am Ende. Die Rotationsgeschwindigkeit
ist kaum von der Masse abhängig, nur zu kleinem Teil wegen der Reibung.
∫
∫
Drehimpuls L mit Trägheitsmoment
Der Drehimpuls lässt sich auch mithilfe des Drehmoments formulieren: L = r∙p = r∙m∙v =
= m∙r2∙ω L = Jω. Dies gilt nur für Kreisbewegung mit Drehachse ⊥ auf die Kreisebene.
Der Drehimpuls lässt sich auch berechnen, wenn sich m nicht auf einer Kreisbahn bewegt: L = mvr⊥ Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 15
! von !29
Anwendung Drehimpulserhaltung, Trägheitsmoment, Steinerscher Satz
• Drehsessel: Wenn man ein Rad mit Griﬀen zum Drehen bringt und es waagerecht einer
Person auf einem Drehsessel gibt, dreht sich der Sessel nicht. Wenn die Person das
Rad senkrecht hält, dreht sich der Sessel langsam. Nach Drehung des Rades um 180°
dreht sich der Sessel mit doppelter Geschwindigkeit. Beim Zurückdrehen um 180° dreht
sich das Rad wieder schneller und die Drehung des Sessels hört auf.
• Pirouette: Die Drehung ist beim Anlegen der Hände schnell, bei ausgestreckten Händen
viel langsamer.
Präzession, Erde als symmetrischer Kreisel
Präzession ist die Richtungsänderung, die die Drehachse eines rotierenden Körpers ausführt, wenn eine äußere Kraft ein Drehmoment senkrecht zu dieser Achse ausführt. Die
Rotationsachse beschreibt einen Umlauf auf dem Mantel eines gedachten Kegels mit fester Kegelachse.
Die Erde ist aufgrund der Zentrifugalkräfte ein Rotationsellipsoid (abgeflachte Kugel), der
obere und untere „Wulst“ haben unterschiedliche Schwerpunkte. Es dauert 26.000 Jahre
bis die Achse der Erde wieder komplett gleich steht.
Durch das Drehmoment der Sonne und den Mond wird die Präzession der Erde leicht
gestört, die Drehachse beschreibt eine Art „gewellten“ Kegel – dies nennt man Nutation.
Schwingungen
• Eine Schwingung ist eine periodisch hin und zurück verlaufende Bewegung nach
Auslenkung aus der Ruhelage. Ein Körper wiederholt eine Bewegung mit einer gewissen
Frequenz.
• Schwingungsfähige Systeme sind zum Beispiel Pendel, Federn oder Atome.
• Man unterscheidet zwischen freien und erzwungenen, sowie zwischen umgedämpften
(reibungsfreien) und gedämpften (auch absichtlich gehemmten) Schwingungen. Eine
Schwingung heißt harmonisch, wenn sie mit den gleichen mathematischen Mitteln wie
Modellsystem: waagrechte
die Kreisbewegung behandelt werden kann.
Fede
Ruhelage:
Freie Schwingungen
Schwingungsgleichung
Harmonischer
"Harmonischer
Oszillator"Oszillator
F
m
d 2 x(t )
ex
dt 2
2. Newton'sches
Axiom
2
d x(t )
dt 2
ey
kF
C
– freie ungedämpfte harmonische Schwingung
m
Das Modellsystem ist hier eine waagerechte Feder mit einerex
k x(t ) ex daran befestigten Masse, die aus ihrer Ruhelage ausgelenkt
wird, wobei Reibung und Schwerkraft vernachlässigt
werFederkraft
x=0
(Hooke'sches
den. Die rückwirkende Kraft ist die Federkraft, die mit dem
Gesetz)
Statische Auslenkung:
Hookeschen Gesetz for-k· x e
F =- C
k
x(t )
m
F
0
muliert wird F = k∙x∙(–ex→).
Diese Federkraft wird mit
Schwingungsgleichung der
B
Bewegung
entlang
tl
der
d x-Achse
A h
der Massenträgheit nach
dem 2. NA F = ma gleichgesetzt, und nach Umformung
erhalt man die Schwingungsgleichung.
kC F
x
F
ey
x(t)
m
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
k
ex
Hook
x=0
Matthias Elsner
Rück
Seite 16
! von !29
Lösung der Schwing
• Lösungsansatz: Für die Lösung der Schwingungsgleichung macht man einen Ansatz.k
2
Man ersetzt x(t) = const∙eα∙t und die Beschleunigung d2x(t)/dt2 = α2∙const∙eα∙t. Damit er- 0
m
hält man den Ansatz α2 + k/m = 0.
"Kreisfre
k
Lösungsformen harmonischer Oszillator • Die Wurzel aus k/m ist die Kreisfrequenz 0
kalischen
m und Mas
Komplexe Schreibweise
ω0. Sie beinhaltet die Federkonstante und
x( t ) const1 e i t const 2 e i t
die Masse und ist somit immer positiv. Nach2Um- 2
0
0
formen des Ansatzes erhält man α2 = –ω02. Da ω0
Überlagerung von Winkelfunktionen
2
2
0
positiv ist, ist das Ergebnis für α komplex.
x( t ) A sin( 0 t ) B cos( 0 t )
• Lösungen: Durch Umformen mit der Eulerschen i 0
Winkelfunktionen mit Phasenwinkel
Formel und den Zusammenhängen
Definitionen zwischen
II
x( t ) const e i 0 t
x( t ) C sin( 0 t
)
Winkelfunktionen und komplexen
Frequenz f: ExponentialfunkWas
bedeutet das?
der vollständigen
Schwingungen/Sekunde
tionen erhält man die dreiAnzahl
komplett
gleichwertigen
x( t ) C cos( 0 t
')
Di
Dimension
i
[f]
[f]: s-11; Einheit:
Ei h it 1 s-11 = 1 H
Hz (H
(Hertz)
t )
Lösungsformen für den harmonischen Oszillator.
Kreisfrequenz 0:
• Anfangsbedingungen: Alle in den Lösungsformen vorkommenden
Es gilt: Konstanten
2
f sind
0
-1
Dimension [ 0]]:führen
s ; Einheit:
rad·s-1
durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Gleiche Anfangsbedingungen
für 1alle
Periode
T:
Lösungsformen zu derselben Lösung. Die Anfangsbedingungen
bestimmen
daher das
Die für eine volle Schwingung benötigte Zeit.
System vollständig, für alle Zeiten.
Zusammenhang f, 0, T:
• Definitionen
1
2
- Harmonische Schwingung: Zur vollständigen Beschrei2
f f
0
0
T
T
bung wird nur eine einzige Kreisfrequenz ω0 benötigt.
- Amplitude A: Maximale Auslenkung des
Systems aus
seiner Ruhelage – entspricht
Physikalische
Zusammenhänge
hier der Anfangsauslenkung x0.
Die gesamte
der harmonischen
- Frequenz: Anzahl vollständiger Schwingungen
proPhysik
Sekunde,
Einheit s-1Schwingung
= Hertz Hz
St kt iin d
Steckt
den Beziehungen
B i h
- Kreisfrequenz
ω0:Zusammenhänge
Einheit rad/s. Frequenz ist unabhängig von der Auslenkung!
Physikalische
- Periode T: Die für eine volle Schwingung benötigte Zeit.
k
1
k
bzw. f
0
Die
gesamte
Physik
der
harmonischen
Schwingung
m
2
m
Physikalische
Zusammenhänge •
St kt iin d
Steckt
den Beziehungen
B i h
Die gesamte Physik der harmonischen Schwingung steckt in diesen Beziehungen:
0
0
0
k
m
bzw. f
1
2
k
m
Federkonstante
k
M
Masse
m
:f
:f
,T
,T
und Beschleunigung
• Bewegungsabläufe – Auslenkung, Geschwindigkeit
Bewegungsabläufe:
Federkonstante
k : f0∙t)
,T
x(t)
- Auslenkung/Ort:
x(t) = A∙cos(ω
Ort:
T
A
- Geschwindigkeit:
M
Masse
m =: f–A∙ω
, T 0∙sin(ω0∙t)
v(t) = dx/dt
x(t ) A cos( 0 t )
0
- Beschleunigung: a(t) = dv/dt = –A∙ω02∙cos(ω0∙t) A
A…Amplitude = Anfangsauslenkung x0
v(t)
➡ Phasenverschiebung um jeweils π/2
Geschwindigkeit:
A
0
d
dx
v(t )
A 0 sin( 0 t )
0
A
• Energiebetrachtung
dt
0
- Kinetische Energie
a(t)
- Potentielle Energie
Beschleunigung:
2
A
- Gesamtenergie
0
dv
2
a (t )
A 0 cos(( 0 t ) 2 0
A
d
dt
0
Linearitätsverletzung:
Überdehnung
der
Feder
•
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
0
0
0
0
0
t
0
0
0
0
0
t
0
0
0
0
0
t
Seite 17
! von !29
Mathematisches Pendel
• Pendel gehören zu den Prototypen nahezu idealer harmonischer Oszillatoren. • Annahmen: Die ganze Masse befindet sich in der Kugel, der Faden ist ein „unendlich
steifer Stab“.
• 𝜑…Winkel, um den das Pendel zum Zeitpunkt t ausgelenkt ist
• Masse und Auslenkung spielen keine Rolle, nur die Länge l des Pendels. Daher lassen
sich sehr genaue Pendeluhren bauen, wobei die „Schnur“ aus verschiedenen Materialien hergestellt werden kann, um die Eﬀekte der Wärmeausdehnung zu kompensieren.
• Die rückwirkende Kraft ist hier die Schwerkraft.
• Herleitung Schwingungsgleichung Es wird wieder das 2. NA der rückwirkenden Kraft gleichgesetzt, hier also der Schwerkraft: ma = –mg sin 𝜑. Für kleine Winkel (bis ca. 5°/0,09 rad) kann man sin 𝜑 ≈ 𝜑 setzen, außerdem kann man die Tangentialbeschleunigung a durch die Winkelbeschleunigung im Bogenmaß ausrücken. Durch Kürzen der Masse und Umformen erhält man die
Schwingungsgleichung und die Kreisfrequenz ω0.
• Linearitätsverletzung: zu große Auslenkung, Näherung sin 𝜑 ≈ 𝜑 wird ungültig
Physikalisches Pendel
Beim physikalischen Pendel werden im Gegensatz zum mathematischen Pendel Form
und Größe des Körpers berücksichtigt und damit die Verteilung der Masse. Daher
entspricht das physikalische Verhalten schon eher einem realen Pendel. Dies geschieht
durch den Ansatz mit dem Drehmoment M = r x F, welches dann durch das Trägheitsmoment J ausgedrückt wird M = J∙α. Wie beim mathematischen Pendel gilt sin 𝜑 ≈ 𝜑.
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 18
! von !29
Torsionspendel
Torsionspendel
Die einzige mögliche Vereinfachung des Modells ist
das Torsionspendel. Bei diesem befinden sich zwei
gleiche Massen auf einem Torsionsdraht. Es wird
wieder das Drehmoment M mithilfe des
Trägheitsmoments J ausgedrückt, aber diesmal dem
sogennanten Direktionsmoment D (Proportionalitätskonstante bei der Torsion) gleichgesetzt.
M
J
D
d2
dt 2
d2
dt 2
D
D
J
D
J
0
Gedämpfte Schwingung
Freie gedämpfte Schwingung
Zusätzliche Reibungskraft FR:
Bei der gedämpften Schwingung wird zusätzlich zur MassenC F x ex
F = - -k
trägheit (2. NA) und der Federkraft (Hookesches Gesetz) die
ey
wirkende Reibungskraft in Form der Stokesschen Reibung
x(t)
kF
C
FR
berücksichtigt, welche der Geschwindigkeit v proportional ist:
m
ex
FR = –cs∙η∙v. Damit kommt man auf die Schwingungsgleichung
für dem
gedämpften
Oszillator. Auch hier ist die SchwingfreGedämpfte
Schwingung:
Definitionen
x=0
FR
quenz
nicht von der Auslenkung abhängig.
Gedämpfter
Oszillator:
v(t) ex
F = CS
v(t)
d 2 x(t ) cS
d (t ) k
dx
R
dt 2
dt
m
m
x(t )
0
Neue
eue Oszillator-Gleichung:
Os ato G e c u g
Durch die Definition der Dämpfungskonstante δ und der Eigenfrequenz der2 ungedämpften
d x(t ) cS
dx(t )
d 2 x(t ) Schwingung:
dω(0t2) wird
dx
2 die Gleichung etwas vereinfacht.
Schwingung
Gedämpfte
Lösungsansatz
2
0
0 x(t )
2
Gedämpfte
Schwingung: Lösungsansatz
dt
dt
d 2 x(t )
dx(t )
dt 2
m
dt
2
2
2
x
(
t
)
0
d dtx(t ) 0
dx
t
(
)
2
k
dt c2 S
2 02
0
0 x(t )
Ansatz:
dt 2
dtm
2 m
Der Lösungsansatz ist derselbe wie beim harmonischen Oszillator. Man
•x( tLösungsansatz:
) const e
Ansatz: Eigenfrequenz der ungeDämpfungsα∙t Schwingung
dx
(
t
)
konstante
setztconst
x(t)e=x( tconst∙e
erste Ableitung = α∙const∙eα∙t und die zweite = α2∙const∙eα∙t.
) constdämpften
e t , die
Gedämpfte Schwingung: allgemeine Lösung
dt
dx
( t ) eine quadratische
t
führt
auf
Gleichung
in
α.
Je
nachdem,
welches Vorzeichen die
d xDies
(t )
const
e
Ausgangspunkt:
const e dt
dt
Diskriminante
hat (also wie das Verhältnis der Dämpfungskonstantet Aperiodischer
zur Eigenfrequenz
Fall
d 2 x( t )
2
x( t ) const e
const e t
Führt auf quadratische
2 Gleichung in :
dt
ist), unterscheidet
man drei verschiedene Fälle. Nur im Fall einer komplexen
2
2Lösung
0
2
2
0
2
2
2
2
2
0
0 auf
kommt es
zur
gedämpften
0
0
Führt
quadratische Schwingung.
Gleichung
in :
t
2
2
x(t 2) 02et t A e
B e
2
2
t
2
0
x
(
t
)
const
e
e
0
0
Definitionen:
k
m
t
t
2
2
t
2
2
2
0
x(t)
2
Die Masse wi
Fallunterscheidung:
• δ2 – ω02 > 0 – Aperiodischer Fall (Kriechfall) von der Fede
nähert sich d
2
2
2
2
2
2
Die Masse wird ausgelenkt, von der Feder zurückgezogen, nähert
sich A/B0> 0
x=0 an, erreic
0
0
0
0
0
punkt aber ni
Aperiodischer Fall
der Auslenkung x = 0 an aber erreicht den Nullpunkt nie. Es kommt zu
Die Konstante
Reelle Lösung;
Komplexe Lösung;
Reelle Lösung;
2
2
Aperiodischer Grenzfall
III werden durch
0
Aperiodischer
p
, Aperiodischer
p
Schwingung
g g
keiner Schwingung. Die Konstanten A und B0 werden
durch
dieFall,
AnA/B < 0
bedingungen
Kriechfall
Grenzfall
C
(
t
)
A
t
A
1
2
fangsbedingungen festgelegt.
t
t
x(t ) e t A e
B e
2 – ω 2 = 0 – Aperiodischer Grenzfall δ
0
•
x(t ) C (t ) e t ( A1 t A2 ) e t
Die Masse wird ausgelenkt,
Die Lösung erhält man durch Variation der Konstanten. DievonKonstander Feder zurückgezogen,
nähert sich der Auslenkung
g
Die Konstanten
ten A1 und A2 ergeben sich wieder aus denA/B Anfangsbedingungen.
x=0 an, erreicht Die
den NullA ergeben sich
>0
punkt aber nie.
wiederum aus d
Annäherung an den Nullpunkt ist hier am schnellsten, er wird
allerdAnfangsbedingu
Die Konstanten A und
nd B
Die Annäherung
werden durch die AnfangsNullpunkt ist hie
< 0 zu keiner Schwingung,
bedingungen festgelegt.
ings auch nicht erreicht! Auch hier kommtA/Bes
schnellsten, erre
wird er allerding
dieser Fall hat aber technische Bedeutung zur Dämpfung unerwünnicht!
–δ∙t
schter Schwingungen (z.B. Stoßdämpfer). x(t) = (A1∙t + A2)∙e 2
2
0
2
0
2
0
t
x(t)
x(t)
2
0
t
0
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
t
Seite 19
! von !29
• δ2 – ω02 < 0 – Gedämpfte Schwingung Nur in diesem Fall ergibt sich die gedämpfte Schwingung. Die Lösung lautet: x(t) = e–δ∙t∙A∙sin(ω∙t + ψ) (ω∙t + ψ)…Phasenwinkel (Phase), ψ…Nullphasenwinkel (Phase bei t = 0), A…Amplitude • Definitionen
-
Kreisfrequenz der gedämpften Schwingung
Frequenz der g. S.
Periodendauer der g. S.
Die Frequenz f der gedämpften Schwingung ist zeitlich konstant und geringer als die der umgedämpften Schwingung,
die Periodendauer T ist daher größer. Die Einhüllende der
Schwingung ist eine abklingende Exponentialfunktion.
• Logarithmisches Dekrement Λ Die Amplitude der gedämpften Schwingung ist zeitabhängig und nimmt exponentiell ab.
Das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden ist dabei konstant. Daher führt
man das logarithmische Dekrement Λ (groß Lambda) ein. Es erlaubt die Berechnung der
Dämpfungskonstante δ direkt aus dem Abklingverhalten der Amplitude, falls die Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators ω0 bekannt ist (Alternative zu ω2 = ω02 – δ2).
Erzwungene Schwingungen
Beispiele in der Praxis
• Wenn man ein Rotweinglas schwenkt, versetzt man es in Schwingung.
• Beim Quadfahren in der Wüste kann man ausgehoben werden, wenn die Dünen und
kleinen Hügel das Quad in seiner Eigenfrequenz anregen.
• Mehrere Brücken sind durch den Marsch von Soldaten im Gleichschritt eingestürzt.
• Die Tacoma- Brücke ist 1941 durch ihre starke Schwingung eingestürzt. Die Statik der
Brücke wurde vorher berechnet, die Dynamik aber nicht. Der Wind hat gegen die Seiten
geblasen und die Brücke genau in ihrer Eigenschwingung
Die erzwungeneangeregt.
Schwingung II
Die erzwungene Schwingung
Modellsystem:
e
Im Modellsystem wird der Oszillator mit einer
k
C
konstanten Erregerfrequenz Ω angeregt. Auch
e
m
hier ergibt sich eine Schwingungsgleichung,
x(t)
die noch durch die Masse m dividiert wird.
Schwingungsgleichung:
y
F
x
Matthias Elsner
F(t) = F cos(Ωt) ex
0
Ω
d 2 x(t )
dx(t )
! cos(
von
Physik I – Ausarbeitungm mündliche
⋅
+ cSPrüfung
⋅η ⋅
+ k ⋅ x(t )Seite
= F0 ⋅20
Ω ⋅!29
t)
2
dt
dt
Division durch die Masse liefert wiederum:
2
k
CF
ex
m
x(t)
F(t) = F cos(Ωt) ex
0
Ω
Schwingungsgleichung:
m ⋅
Ansatz: rechnerisch
Ausgangspunkt:
2
d x(t )
dx(t )
+ cS ⋅ η ⋅
+ k ⋅ x(t ) = F0 ⋅ cos(Ω ⋅ t )
2
dt
dt
Division durch die Masse liefert wiederum:
2
d x(2 t ) + 2 ⋅ δ ⋅ dx(t ) + ω02 ⋅ x(t ) = F0 ⋅ cos(Ω ⋅ t )
dt
dt
m
Übergang auf komplexe Formulierung:
Man geht beim Ansatz von drei Überlegungen aus.
• dLösungsansatz:
2
F0
x(t )
dx(t )
+ 2hinreichend
⋅δ ⋅
+ ω02langer
⋅ x(t ) = Zeit
⋅ cos(
⋅ t ) Masse
F0 m mit der Erregerfrequenz
F0
- Nach
wirdΩdie
Ω schwingen.
i⋅Ω ⋅t
2
⋅ cos( Ω ⋅ t ) → ⋅ [cos( Ω ⋅ t ) + i ⋅ sin( Ω ⋅ t )] ≡ u0 ⋅ e
dt
dt
m
m ist zeitlichmkonstant, sie hängt aber
- Die Amplitude A der erzwungenen Schwingung
von Ω ab: A = A(Ω).
Lösungsweg
d 2 xˆ(t )
dxˆ(t )
+zur
⋅2
+ ω02 ⋅ xˆ(t ) = u0 ist
⋅ e i⋅Ω⋅t
2 ⋅ δErregerschwingung
- Die Phase ψ der erzwungenen Schwingung in Relation
2
dt
dt
d xˆ(t )
dxˆ(t )
i⋅Ω⋅t
2
zeitlich konstant, hängt aber ebenfalls von Ω ab: ψ = ψ(Ω).
dt 2 + 2 ⋅ δ ⋅ dt + ω0 ⋅ xˆ(t ) = u0 ⋅ e
Man geht dann bei der Schwingungsgleichung auf eine komplexe
ˆ ( Ω ) ⋅ e i⋅Ω ⋅t
Ansatz: ˆx( t ) = A
Formulierung über und macht einen Ansatz (bei der ersten/zweiten
Ableitung zusätzlich noch ⋅i⋅Ω bzw. ⋅(–Ω2)).
Zunächst Bestimmung der komplexen Ampl
funkion Â(Ω)
• Lösung: Zunächst bestimmt man die komplexe Amplitudenfunktion Â(Ω). Dann spaltet
Danach
Aufspalten
von Â(Ω) in Real- und Im
man Â(Ω) in Real- und Imaginärteil auf. Nur der Realteil wird als
physikalisch
relevant
teil. Nur der Realteil wird als physikalisch re
betrachtet. Aus diesem ergeben sich dann die Amplitude A(Ω)betrachtet.
sowie die Phase ψ(Ω) der
Interpretation der Lösung
erzwungenen Schwingung.
Aus dem Realteil werden sich die Amplitude
⋅ t −sowie
ψ ) die Phase ψ(Ω) der erzwungenen
x( t ) = A( Ω ) ⋅ cos( Ω
A(Ω)
Amplitude A(Ω)
Schwingung, Kreisfrequenz
≡ Erregerfrequenz
Ω
Schwingung
ergeben.
A(Ω)
F0
βδ11
A(Ω) =
δβ11<< δβ22<<δβ33
βδ2
(ω
2
0
−Ω
m
) + (2 ⋅ δ ⋅ Ω)
2 2
2
Amplitude, abhängig von Erregerfrequenz Ω
tanψ =
βδ33
Ω
ω0
2 ⋅δ ⋅ Ω
ω02 − Ω 2
Phase, abhängig von Erregerfrequenz Ω
F0
• Interpretation
m
A(Ω) =
(ω − Ω ) +Zeit
(2 ⋅ δ ⋅stellt
Ω)
- Nach längerer
sich bei Anregung mit einer Kreisfrequenz Ω ein stationärere
Zustand mit zeitlich konstanter Amplitude A(Ω) und Phase ψ(Ω) ein.
- Entspricht Ω in etwa der Eigenfrequenz des freien harmonischen Oszillators ω0, wird
die Amplitude A(Ω) bei geringer Dämpfung δ extrem groß (Resonanzkatastrophe).
Man wird daher versuchen, mit der Eigenfrequenz ω0 weit weg von der Erregerfrequenz Ω zu kommen (nach links), um eine Resonanzkatastrophe zu vermeiden.
- Bei geringer Erregerfrequenz Ω bleibt die Amplitude A(Ω) endlich.
- Bei hoher Erregerfrequenz Ω geht die Amplitude A(Ω) gegen 0.
• Einschwingvorgang: Wenn sich Ω stark von ω0 unterscheidet ist die resultierende
Schwingung zuerst unregelmäßig, ergibt aber nach dem Einschwingen eine gleichmäßigeEinschwingvorgang
Schwingung. Wenn
I Ω nahe bei ω0 ist, kommt es zu einer Schwebung. Generell
am Anfang
der Anregung?
stellt sichWas
derpassiert
stationäre
Zustand
nach Abklingen
der freien Schwingung
ein.
Einschwingvorgang
II
a) Ω unterscheidet sich stark von ω
2
0
2 2
2
0
b) Ω nahe ω0: Schwebung
xfrei
x(t)= xfrei + xerr
x(t)
eingeschwungen
freie Schwingung
xerr
t
+
t
Erregerschwingung
t
x(t)= xfrei + xerr
t
Matthias Elsner
Generell stellt sich der stationäre Zustand nach Abklingen der
freien Schwingung ein.
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 21
! von !29
Überlagerung von Schwingungen
Zeitliche Überlagerung: Gleiche Frequenz, variable Phase
Wenn die Frequenzen von zwei überlagerten Schwingungen identisch sind, kommt es für
das Ergebnis auf die Phase an. Wenn auch diese übereinstimmt, addieren sich die Amplituden und es kommt zu einer konstruktiven Interferenz, welche die Schwingung verstärkt.
Bei einer Phasenverschiebung kommt es zu einer mehr oder weniger großen Verstärkung
bzw. Abschwächung, einer destruktiven Interferenz, welche zur Löschung führen kann. In
diesem Beispiel werden zwei Schwingungen mit gleichen Amplituden dargestellt.
1. Gleiche Phase: Die Schwingungen liegen
genau übereinander, es entsteht eine
Schwingung mit verdoppelter Amplitude.
2. Phasenverschiebung π/4: Es kommt zu
einer leichten Verstärkung.
3. Phasenverschiebung 3π/4: Es resultiert
eine leicht abgeschwächte Amplitude.
4. Phasenverschiebung π: Komplette
Löschung der Schwingung.
Zeitliche Überlagerung: Leichter Frequenzunterschied – Schwebung
Bei einem kleinen Frequenzunterschied bilden die
Schwingungen eine Schwebung. Das bedeutet,
die resultierende Amplitude führt selbst eine
Schwingung aus. Dabei wechselt sie mit der halben Diﬀerenzfrequenz, der Schwebungsfrequenz
Δω, zwischen Maximum und Minimum. ω quer
bezeichnet die mittlere Frequenz.
Räumliche Überlagerung: Lissajous-Figuren
Wenn Schwingungen in verschiedene Richtungen
möglich sind, so überlagern sie sich geometrisch
in Abhängigkeit von ihrer Amplitude, Frequenz und Phasenlage. Interessant ist der Fall
gleicher Amplituden und ganzzahliger Frequenzverhältnisse, bei dem Lissajous-Figuren
auftreten. Es überlagern zwei Schwingungen mit senkrecht zueinander liegender
Schwingungsrichtung. Die einfachste Form ist ein Kreis,
der bei gleicher Frequenz entsteht und der bei gleicher
Phase (Phasenverschiebung Δ𝜑 = 0) zu einer diagonalen
Geraden wird. Wenn die Amplituden nicht ganz gleich sind,
entsteht eine Ellipse. Besonders für die Verhältnisse 1/2,
1/3 und 2/3 entstehen interessante Figuren.
Die Figuren sind rein zweidimensionale Bewegungen.
Angewendet werden (bzw. wurden) sie zur Bestimmung
von Frequenz und Periode von unbekannten Signalen.
Darstellen lassen sie sich mit einem Photo-Oszilloskop.
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 22
! von !29
A
Anfangsbedingungen:
1
B
2
3
Koppelschwingungen
t = 0 : x1 (0) = x2 (0) = 0
m
m
A
B
Räumliche Überlagerung: Koppelschwingungen
1. Fall : x1 = x2 = A
1
2 x
3 x
Bei Koppelschwingungen werden 2 oder mehr Massen gekoppelt.
⇒ x (t ) = x2 (t ) = A cos(ω0t )
Gleichtakt
m
m
Die Massen schwingen und tauschen dabei 1Schwingungsenergie
aus. Wenn zum Beispiel eine Masse angestoßen
beginnt
2. Fall : xwird,
x
x
1 = − x2 = A
allmählich auch die andere zu schwingen, bis sie die ganze En3
ex
⇒
=
−
=
ω
x
t
x
t
A
t
(
)
(
)
cos(
3
)
Gegentakt
1
2
0
ergie übernimmt und die erste Masse zur Ruhe kommt. Dann überträgt sich die Energie
ω′
wieder auf die erste Masse und die zweite ruht schließlich usw. Auch hier kommt es zu
ω0
ω
f1 =
f = die 2 Fundamentalschwingungen
Schwebungen. Ursache der Schwebung sind
im Gleich2π
2π
ω ′ ω0 3
takt (gleiche Phase) und im Gegentakt (Phasenverschiebung
f 2 = 0 == π),
f 2 = 3 f1 = 1.732 f1
2
π von
2π derer
wobei die Schwingung im Gegentakt die 1,7-fache Frequenz
Sympathische Pendel
im Gleichtakt aufweist.
• Sympathische Pendel: Diese können in Phase oder gegenphasig
k
schwingen.
• Verstimmtes Pendel: Dabei sind die Massen und die Pendellängen ungleich. Die Schwebungen der einzelnen Pendel sind genau versetzt.
• Doppelpendel: Hier hängt an der Masse eines Pendels ein weiterer Faden mit Masse.
1
1
2
3
ex
2
0
Wellen
Eine Welle stellt eine Erweiterung der Schwingung dar, sie ist eine Kombination von
Schwingungen im Raum. Allgemeine Wellengleichung
Eine Welle wird durch ihre Wellenfunktion ξ (Xi) beschrieben,
wobei x den Ort und v die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit bezeichnet. Für eine sich
nach rechts ausbreitende Welle wird das Vorzeichen – verwendet, für eine sich nach links
ausbreitende +. Der Ausdruck x ± vt wird mit α abgekürzt.
. Ableitung von ª nach Æ:
Durch Ableitung
von ξ nach
α auf zwei
Arten erhält
man die Wellengleichung
für den
@ 2ª @ 2ª @ 2ª
1 @ 2ª
@ 2ª
@ 2ª
@ 2ª
1 @ 2ª
+
+
=
Wellengleichung
f¨
den 3Dder
Fall Welle
L¨
oursung
=
= 2 · Einführung
eindimensionalen
Fall und2durch
des
2
@xLaplace-Operators
@y 2 @z 2 v 2 @t2 Δ auch für den drei@Æ2 @x2
@Æ
v @t2
µ
∂
µ
∂
! x)
dimensionalen Fall.
1
1 ±i ! x1
i!t
1 @ 2ª
2 1 i(!t±
=1·1
= °
· @°
v v=
ª(x,
Ae
@2 v @2
v
v 2 t) v=v Ae v 2 e
¢ª
=
We
+ 2+ 2¥¢
Laplace-Operator
2
v 2 @t2
@x
@y
@z
@ 2ª
1 @ 2ª
@2
=
Wellengleichung f¨ur den 1D Fall
ª = ª(x, t) ) ¢ = @x
2 (wieder 1D Fall)
2
2
2
1 @ 2ª
@x
v @t
¢ª =
Wellengleichung f¨ur den 3D Fall
2
v 2 @t-2 ebene Welle
L¨osung der Wellengleichung f¨ur den 1D-Fall
@ ª(x, t)
1@
= 2
2
@x
v
• Lösungsansatz 1D-Fall: Man setzt wie angeführt an und Ansatz: ª(x, t) = Aei!t eiÆx
(T rennun
Konventionen:
führt
eine Trennung der Variablen durch.
2
2
2
Negatives Vorzeichen f¨
ur eine Bewegung in Richtung positiver x-Werte (auslaufende
Welle)
@ ª(x,
t)
@
i!t iÆx
i!t @
=
(Ae
e
)
=
Ae
(eiÆ
Lösung
1D-Fall:
Als
Lösung
der
Wellengleichung
für
den
1D-Fall
ergibt
sich
eine
ebene
• Positives Vorzeichen f¨ur eine Bewegung in Richtung negativer x-Werte (einlaufende Welle)
@x2
@x2
@x2
Welle. Die Formel ergibt sich, da nur der Realteil eine physikalisch messbare Größe ist.
2
ix
@ 2ª(x,
t)
@2
i!t
iÆx
iÆx @
cos x + positiver
i sin x x-Werte ist das Vorzeichen
Eulersche
Bei Bewegungein =
Richtung
–Identitaet
(auslaufende
Welle),
=
(Ae
e
)
=
Ae
(ei!
2
2
2
@t ξ ist@t
@t
bei
Bewegung
in Richtung
+ (einlaufende Welle).
die Amplitude.
0
Physikalisch
meßbare
Gr¨oße ist nurnegativer
der Realteil x-Werte
)
1
°Æ2ª(x, t) = °
!
v
ª(x, t) = ª0 cos(!t ° x)
v
!
Æ=±
v
!
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
ª(x, t) = Aei!te±i v x
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Wellenzahl
R¨aumliche Pe
!
ª(x, t) = ª0 cos(!t ° x)
Wellenzahl
ª(x, t) = ª0 cos(
Wellenzahl k
v
!
Die Wellenzahl k ist eine wichtige
2º- Wellenzahl Mit ihrer DefiniDef.:
¥
! Größe, besonders
x !inkxder
+ vSpektroskopie.
, t ist fixiert.
ª(x,
t) = ªder
° x)
k
0 cos(!t
tion wird die
Lösung
Wellengleichung
vereinfacht. Ihre Einheit
ist 1/m.
v
2º
2º
Def.: k ¥ !v - Wellenzahl
ª(x, t) = ª, 0t)cos(!t
kx)
ª(x+
= ª0 °
cos[!t°k(x+
)] = ª0 cos[!
k
k
Wellenlänge λ
1/s
Dimension [k] = [!]
= m/s
= m1
[v]
Sie gibt denª(x,
räumlichen
Abstand
zweier Punkte gleicher Bewegungsphase an,
t) = ª0 cos(!t
° kx)
∏ ¥ 2º
W
k
die räumliche
Periodizität. Ihre Einheit ist m.
[!]also1/s
1
ion [k] = [v] = m/s = m
Im Zusammenhang mit der Periode ist die Wellenlänge die Distanz, um die eine Welle bei
ihrer Ausbreitung während einer Periode fortschreitet.
Wellenfront
Periode T
Sie gibt den zeitlichen Abstand zweier PunkteDef.:
gleicher
Bewegungsphase
an,
Ebene konstanter
Phase senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
T ¥ 2º
!
also die zeitliche Periodizität. Die Einheit ist s.
)!
Wellenfront
Eine Wellenfront ist eine Ebene konstanter Phase senkrecht zur Aus1
t ! t °+kx)
T , x ist fi
ª(x, t) = 2ª0 cos( [(! ° ! 0)t ° (k ° k 0)x])cos(!t
breitungsrichtung. Es handelt sich um viele Ebenen von Schwingun2
gen übereinander, die alle gleichzeitig angeregt werden. Ein Beispielª(x, t) = A0cos(!t ° kx)
ª(x,
1 1 [(! ° !0)t ° (k °
A0 =
cos(
k 0)x])t+T ) = ª0 co
[∏]
=2ª0[k]
=
ist der Rand eine Kugelwelle oder Kreiswelle im Dimension
Wasser.
2 m
R¨aumliche und zeitliche Modulation der Amplidude der Welle mit der Frequenz !
∏ - r¨aWellenpaket
umlicher Abstand zweier Punkte gleiche
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit v
t) = A1ei(!1t+k1x)
L¨osung einer Wellengleichung
Die Phasengeschwindigkeit v ist eineª(x,
fiktive
i(!t+kx)
i(! 0 t±k 0 x)
ª(x, t)sich
= A1die
e
+ A2e
auch eine L¨osung T - zeitlicher Abs
Geschwindigkeit die angibt, wie schnell
Amplitude
Wellenpaket
ª(x, t) = Anei(!nt+knx)
auch eine L¨osung (diskrete Reihe)
n
einer Phase fortbewegt. Die Gruppengeschwindigkeit
v
G
1
i(!1(kontinuerliche
t+k1 x)
ª(x, t) = °1 A(k)ei(!t+kx)dk
aucht)eine
L¨osung
Reihe) L¨
ª(x,
=A
osung ein
1e
gibt die Geschwindigkeit der Amplitude
der gesamten
2º
0
0
∏
Welle bzw. der Schwebung an. Die Geschwindigkeiten
t) k==A!1ei(!t+kx)
+ A2ei(! t±k x)
v ª(x,
= =
Phasengeschwindigkeit
TX 2º
k
!
beschreiben die räumliche und zeitliche Modulation derª(x, t) = !A°n!e0i(!nt+knx)
auch ein
n
vG ¥
Gruppengeschwindigkeit
Z
1 k ° k 0 i(!t+kx)
Amplitude der Welle mit der Frequenz ω.
ª(x, t) =
A(k)e
dk
auch eine
Z
X
Wellenpaket
Im Wellenpaket sind viele Schwingungen kombiniert. Es ist ein räumlich begrenztes Objekt. Es
ermöglicht die Übertragung von Signalen, wofür
die Gruppengeschwindigkeit vG von Bedeutung ist.
°1
ein r¨aumlich begrenztes Objekt
vG =
! ° ! 0 d!
ª
k ° k0
dk
vG ¥
d!
dk
ein r¨aumlich
Wellen in begrenzten Medien
! ° ! 0 d!
In unserem Modell kommt es zur Überlagerung von harmonischen Wellen, die jeweils
vG =
ª
k ° k0
dk
eigene Frequenzen ω haben. Es entstehen dabei sogenannte stehende harmonische
d!
Wellen mit Eigenwerten – Eigenschwingungen, Eigenfunktionen und Eigenfrequenzen.vG ¥
dk
Von uns betrachtete begrenzte Systeme haben ein diskretes Eigenfrequenzspektrum, unbegrenzte ein kontinuierliches.
Wellen in begrenzten Medien
Wellengleichung und Lösung
d2
1
Die Wellengleichung und die allgemeine Lösung für ζ (Zeta)
dx 2 v 2
sind angegeben. Hier ist der Unterschied zwischen rechtsLösung:
laufenden und linkslaufenden Wellen berücksichtigt.
Matthias Elsner
d2
dt 2
Wellengleichung
n
xn
cos
Bewegungsgleichung:
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
n
t kn x
x, t
n
n
n
n
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Randbedingungen:
g g
( x 0, t )
0
rn
cos
n
ln
cos
n
t
( x L, t
Wellen in begrenzten Medien
2
d
1 d2
Wellengleichung
2
2
und vEigenfunktionen
dx
dt 2
Eigenwerte
Aus der Bewegungsgleichung
ergeben
sich die Eigenwerte und Eigenfunktionen. Diese
Lösung:
kn x
n
xn cos
nt
n
geben die Lösungen an, die erlaubt sind, da die Schwingung zu allen Zeiten gleich sein
x, t
t kn x rn
rn cos
n n
n
muss, um Bewegungsgleichung:
eine stehende Welle zu ergeben.
Wennn andere
Frequenzen erreicht werden,
cos
t
kn x l n
2
l
ln
n
x, t
2 sin n
x sin
n t
Eigenfunktionen:
g
schwingt der Körper irgendwie. Die Eigenwerte sind besonders
bei Instrumenten
und
x
( x 0, t ) 0
( x L, t ) 0
Randbedingungen:
g g
Glocken wichtig.
n
0n
1
n
1
n
2L
n
2
1
n
v
n
n
n
1
Eigenwerte
g
1, 2, 3, ....
1
2 v
n
2L
Eigenfunktionen:
g
1
n
n
x, t
mit
2
0n
2
v
L
1
sin n
2
= 2L
3
4
x sin n 1t
=L
= 2/3 L
= 1/2 L
n
1
0
x
L
Der deformierbare feste Körper
Es gibt fünf Möglichkeiten der Deformation – Dehnung, Stauchung, Scherung, Drillung
und Biegung, wobei wir= 2Luns nur mit den ersten drei beschäftigen. Es wird zwischen
=L
elastischer und plastischer
Deformation unterschieden.
= 2/3 L Die Verformung ist reversibel, es kommt zu keiner bleibenden
• elastische Deformation:
Gestaltänderung. Die Verformung ist proportional zur Verformungskraft. Im elastischen
= 1/2 L
Bereich sind Kräfte konservativ. Die Verformungsarbeit wird als elastische Energie
0
L
gespeichert.
• plastische Deformation: Die Verformung ist irreversibel, es erfolgt eine bleibende
Zug-der
und
Druckbeanspruchung
Gestaltänderung. Die Formänderungsarbeit wird als Arbeit
inneren
Kräfte verbraucht, es wird Wärme erzeugt. Der Energieerhaltungssatz der Mechanik gilt im plastischem Bereich nicht!
Zug- und Druckbeanspruchung
Def. : Zug (Normal) - Spannu
Zug- und Druckbeanspruchung σ
dF
Im linearen Bereich ist hier das Hookesche Gesetz anwendbar.
Die -(normale)
Def. : Zug (Normal)
Spannung
( F || e ) :
l
dA
dF Fläche. Die
Zugspannung σ ist definiert als die Ableitung der Kraftl nach der
dA
Dimension
Nm
Einheit ist N/m2. Em ist das Elastizitätsmodul, eine Materialkonstante
mit
Ein- :
Dimension :
Nm derselben
1
2
3
4
f
2
A
l
heit. Die Dehnung εl ist die Längenänderung durch
die ursprüngliche Länge.
l
A
F
l
l
l
l
l
l
1 F
Em
Hookesches Gesetz
Scherbeanspruchung
l
Def. : Dehnung :
Scherbeanspruchung
l
l
ll
l
d
dz
l
l
1
Em
l
Elastizitätsmodul : Em
Def. : Schub (Scher) - Spannung (F 2ef ) :
Dimension : Em
Nm
Scherbeanspruchung τ
dF
- Dehnungskurve
Die Schubspannung/Scherspannung τ Spannungs
ist genau
die Zugspannung σ
dA wie
Hookesches
2
Dimension
definiert.
Gm:steht
hier (Scher)
für das Schubmodul.
sind
wieder N/m2.
Def.
Schub
- Spannung
(Die
F Einheiten
e: ) : Nm
F
f
dF
dA
Dimension :
Es gilt analog das Hooksche Gesetz:
Nm
2
Gm tan
~ Gm
Fm
Def. : Schubmodul : G
A
Es gilt analog das Hooksche Gesetz:
Dimension G m
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Gm tan
~ Gm
A
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Nm
2
Ausbreitung von Wellen in Medien
Ausbreitung von Wellen in Medien
Elastische Wellen in einem festen Stab
Elastische Wellen in einem festen Stab
Hier wird die Dehnung oder Stauchung der Massenelemente betrachtet.
Kraft wirke senkrecht zur Endfläche:
• Longitudinalwelle unverformt
verformt
Die Kraft wirkt senkrecht zur Endfläche. Die AusbreitungsrichA
A
tung der Welle und die Schwingungsrichtung
stimmen überein. 2
2
2
2
e
d x, t
d x, t
( x, t ) F 1
( x, t )
Vergleich:
Kraft
wirke
Die Schallgeschwindigkeit im Medium
ist die Geschwindigkeit,
2
2
2
2
2 parallel zur Endfläche:
dx
Em dt
t
x
v
mit der sich das Verformungsfeld ausbreitet (vergleichbar mit
d
Kraft wirke parallel zur Endfläche:
F´
dx
F dx + d A Gm A
Dosentelefon mit Schnur).
d
dx
E
m
v2
d
F
A Gm A
dx
Transversalwelle •
F
Hier wirkt die Kraft parallel zur Endfläche.
Für die transversale
Def.: Longitudinalwelle:
Ausbreitungsrichtung
der Welle und
d2
d2
Schwingungsrichtung
stimmen
überein
Transver
Schallgeschwindigkeit wird das Elastizitätsmodul Em durch dx
2
dx
G m dt 2
das Schubmodul Gm ersetzt.
d 2
d2
x
Transversalwelle
2
dx
G m dt 2
Def.: Schallgeschwindigkeit
im Medium: Geschwindigkeit mit v 2
der
sich das Verformungsfeld ausbreitet
• Wellenberg auf einer Saite analog zum Hookeschen Gesetz:
G
m
transversale Schallgeschwindigkeit
v2
Besonders hier ist die Schallgeschwindigkeit
Sie gibt an, wie
d interessant.
1
p
schnell sich der Wellenberg weiterbewegt. Sie
dx ergibt
K m sich aus der Kraft und
Gm
der Massenbelegungszahl μ (= Masse pro Saitenlänge).
dp
Def : Kompressionsmodul : K m
V
Druckwelle in einer GassäuleDef.
dV
Die Druckschwankung in einem Gas Δp = p – p0 istNdas, was wir als Schall wahrnehmen.
Dimension : K m
m2
Auch hier wird eine Formulierung analog zum Hookeschen
Gesetz verwendet. Km ist das
2
F
Kompressionsmodul in N/m . Es ergibt
p sich eine Gleichung für die Druckwelle.
A
d2p
d2p
analog zum Hookeschen Gesetz:
analog zum Hookeschen Gesetz:
dx 2
K m dt 2
2
dF
d
1 d
Ad
p1d Schallausbreitung
AK
mp 2
erfolgt in der Regel
dx p K m dx
dx
dx
d2
d 2 adiabatisch
dx
Km
pV
const
adiabatischedx
Zustandsg
leichung
g
K m gdt
2p
dnsmodul
d 2 dp
Def.
Def
:dF
Kompressio
: AK
m
dp V
Newton
:
dm
dx
cVp dt 2cp dVspezifische Wärme bei konstantem Druck
Def : Kompressionsmodul : 2 K m
Def.
dt
dV
N
cV spezifische Wärme bei konstantem Volumen
Dimension :N K m
c2 V
2
2
m
d p
d p
Dimension : K m
2
F m Differentiation : dp V
dx 2
K m dt 2
p V 1dV 0
p
F
A
p
κ
Schallausbreitung erfolgt
in der Regel adiabatisch
A
dp
V
p
Km
dF
d
d2
dV
A
p 2 AK m 2
2
2
dF
d
d
pV
p
const adiabatische Zustandsg
gleichung
g
dx
dx
dx
d
d
A
p
AK m 2
2
Laplacesche
dx
dx
dx
dxKd2 m2 K m dt 2 p
cp
d 2 hwindigkei
d2 t : d v
cp spezifische Wärme bei konstantem DruckNewton : dFSchallgesc
Gleichung
2
2
dm 2 2 A dx 2
dx
K
dt
2
m
dt
dt d
cV spezifische Wärme bei konstantem Volumen
d
cV
Newton : dF dm 2
A dx 2
dt
dt
2
2
Die Schallausbreitung erfolgt in der Regel adiabatisch. Mit der adiabatischen Zustandsgleichung pV = const kommt man durch Diﬀerentiation auf die Laplacesche Gleichung
für die Schallgeschwindigkeit.
Differentiation : dp V
p V
1
dV
0
Dopplereffekt
dp
V
pundK oder
m
Wenn sich Schallquelle
Beobachter in Bezug auf das Ausbreitungsmedium bedV
wegen, kommt esKzum
Dopplereﬀekt.
p
Laplacesche Es wird angenommen, die Luft sei in Ruhe und die
m
Schallgeschwindigkeit : v
Gleichung
Bewegung erfolge in einer Linie.
vS bezeichnet die Geschwindigkeit der Schallquelle
(Sender), vD die Geschwindigkeit des Detektors (Empfänger) und v die
Schallgeschwindigkeit. Angewendet wird er z.B. in der Medizin bei der Blutfluss-Analyse.
• Sender und Empfänger in Ruhe – vS = vD = 0: Der Frequenz beim Empfänger entspricht
der gesendeten Frequenz, es kommt zu keinem Dopplereﬀekt.
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
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transvers
vS in Zeit
0 : ftDbewegt
f S sich die Wellenfront relativ zu D um vt - v
→
n
t
vt v t
v v
v vD
v vD
fS
t
v fS
v
v
v
v
v
fD 0 : f
fS
fS
D
Annäherung
• Sender in Ruhe, Empfänger bewegt – vS = 0, vvDD: Bei
vT
vS Twird v fvS f fS v v
v D vS
D
Bewegen sich Sender und Beobachter:
D
S
v
eine höhere Frequenz fD empfangen, Vorzeichen +. Bei Entfernung
v
1 D
v
v
wird eine niedrigere Frequenz fD empfangen, Vorzeichen
v
vS f0 : f Df–.
f S D
v
fS
D
S
v
f
f
v vS
S
• Sender bewegt, Empfänger in Ruhe – vD = 0, vS: Bei Annäherung
D
S
1
Bewegen
S
v sich Senderv und vBeobachter:
Vorzeichen –, bei Entfernung Vorzeichen + (genau umgekehrt).
v
obere Vorzeichen bei gegenseitiger Annäherung
D
Entfernt
sich der Sender:
vS < 0 D
fD
1
Vorzeichen
bei ggegenseitiger
g Vorzeg Entfernungg
Formel.
Obere
v vD
• Sender und Empfänger bewegt vD, vS: Nur eineuntere
v
fD
fS
fS
ichen bei gegenseitiger Annäherung, untere beiFürEntfernung.
v
vS
Licht im Vakuum ggilt v = c >> vS, vD
vS = -vD v
1
eine 1Reihe entwickelt.
v
• Dopplereﬀekt bei Licht: Hier wird die Formel in Mit
1
v
~1 x O( x )
~1
v obere Vorzeichen
1 x
v
bei gegenseitiger Annäherun
1
Da die Lichtgeschwindigkeit extrem hoch ist, wirkt hier der sogenannte
quadratische
vuntere Vorzeichen bei g
gegenseitiger
g
g Entfernun
Dopplereﬀekt und es gibt nur mehr 2 statt 4 Machscher Kegel
vS
vS
vS
vS2
vD
fD ~ fS 1
1
fS 1
1
fS 1 2
FürcLicht imc Vakuum g
gilt cv = c >> vS, vD
c
c
Formeln.
Machscher Kegel
2
S
S
Beobachter ruht, Sender hat Geschwindigkeit
1 >v
v
1
~1 S
vS
v
1
v
2
Mit
~1 x O( x )
Machscher Kegel
1 x
Beobachter ruht, Sender hat Geschwindigkeit
>v
Wellenfront bewegt sich mit
Der Beobachter ruht und der Sender hat eine Geschwindigkeit
v
,
S
A´
vt von A nachWellenfront
A
A‘
bewegt sich mit
v
v
vt von A nach
A
A‘
f D ~ f S 1 A´D 1 S
die größer ist als die Schallgeschwindigkeit v. Die Wellenfront
bec
c
glz. bewegt sich Sender um
glz.
bewegt
sich Sender um
vt
wegt sich mit vt von A nach A’. Gleichzeitig bewegt
sich
der
Sender
vt
Strecke
vst Strecke
S
v st
S
um die Strecke vSt.
A
Öffnungswinkel:
A
Öffnungswinkel:
Außerhalb des Machschen Kegels herrscht Stille.
1
v sin 1 v
Beim Überschreiten der Schallgeschwindigkeit sin
vS
M
vt
vS
M
vt
entstehen der Überschallknall und ein Kondenskegel.
M Mach - Zahl
fS 1
vSv
S
S
S
M
Mach - Zahl
Mechanik von Flüssigkeiten/Hydrodynamik
Aus Zeitgründen nicht ausgearbeitet → VO-Folien lernen!
Gravitation und Himmelsmechanik
Es existieren vier Wechselwirkungen oder Fundamentalkräfte – die starke Wechselwirkung, die elektromagnetische Wechselwirkung, die schwache Wechselwirkung und die
Gravitation (nach absteigender Stärke). Sie entstehen alle aus dem Konzept der Kraft.
Gravitation
Gravitation ist die gegenseitige Anziehung von Körpern aufgrund ihrer Massen. Da sie
eine langweitreichende Wechselwirkung ist, ist sie die bestimmende Wechselwirkung für
das Aussehen des Universums, obwohl sie die schwächste der Fundamentalkräfte ist.
Gravitationsgesetz
Gravitationsgesetz
Newton formulierte 1666 das Gravitationsgesetz. Es definiert die „schwere Masse“ (im
Gegensatz zur „trägen Masse“). Das Vorzeichen – wird verwendet,
m1m2
weil es sich (vektoriell gesehen) um eine Anziehung handelt. Die
FG r
er
2
r
Erdwiegung γ berücksichtigt die verschiedenen Wechselwirkungen.
Zum Nachweis war/ist es notwendig, gleichzeitig die schwere Masse und die träge Masse
Newton 1666
nachzuweisen, denn nach dem Äquivalenzprinzip von Einstein gilt träge Masse = schwere
definiert
definiert die „schwere Masse
die schwere
Masse“
Masse. Auf das 1/r2 ist Newton durch die Bewegung des Mondes, der
Sonne
und der
Sterne gekommen.
Matthias Elsner
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
Seite 27
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vS
c
1
Bestimmung der Erdwiegung γ
Die Erdwiegung wurde zuerst von Cavendish und dann von Eötvös
mit der sogenannten Eötvösschen Gravitationswaage bestimmt.
Zwei kleine Massen befinden sich an einem auf einem Faden
aufgehängten drehbaren Bügel mit Spiegel, zwei große Massen
sind drehbar gelagert. Das ganze Gerät wird für mehrere Tage in
Ruhe aufgestellt, wobei die großen Massen die kleinen anziehen.
Dann wird die Halterung mit den großen Massen um 180° verstellt.
Als rückstellende Kraft wirken jetzt die Gravitation und die
Torsionskraft des Fadens. Im modernen Aufbau wird ein
Laserstrahl auf den Spiegel gerichtet und in regelmäßigen
Zeitabständen die Position des abgelenkten Laserstrahls
ermittelt, wobei sich die Abstände immer vergrößern. Daraus berechnet man dann γ. γ = 6,67∙10-11 m3kg-1s-2 Gravitationsfeld, Gravitationspotential
Die Gravitation stellt man sich als Feld vor, da sie ja
z.B. auch im Vakuum wirkt. Der Ausdruck –grad Vpot
bildet das Vektorfeld auf ein Skalarfeld ab, womit
man einfacher rechnen kann. Vpot ist das Gravitationspotential. Potentiale in einem Punkt lassen sich
aufsummieren, so kann man z.B. das überlagerte
Gravitationsfeld Erde–Mond berechnen.
Gehäuse
Dünnes Bronzeband
Spiegel
m
m
Halterung
S1
S2
Halterung
Teller für zwei große Bleikugeln
15
Gravitationsfeld, -potential
Gravitationsfeld:
Gr
FG r
m1
m2
er
r2
gradV pot
Gravitationskraft (m,M) dreht Balken in (Stellung b
m2
(S ll
(Stellung
a))
Gravitationspotential: V pot
Faden (l) verdrillt r rucktreibendes Drehmoment
V
( ges )
pot
V
(i )
pot
i
m1
r1
d4
π
Gm
*
φ
i16l
2
ri
i
Dr
m2
...
r2
Erdgravitationsfeld
Durch das Erdgravitationsfeld lässt sich die Erdbeschleunigung g definieren. Sie ist abhängig von der Entfernung zur Erde/Höhe bzw. auch vom Erdradius. Damit ist der Wert für
g = 9,81 m/s2 als Konstante nur eine Näherung und gibt eigentlich einen Mittelwert an.
Gravitationsfeld
Erdoberfläche
Die Erde wird als homogene Vollkugel
angenommen.
Im Erdmittelpunkt herrscht2Schw-2
gR 1gR2
1 2
0
v0 g
gR
erelosigkeit (gilt bei jeder homogenen Vollkugel).
v0 g
gR
rmax 0 2r
2
max
FG
M
gradV pot 2 G r R g
R
2
3
1
gR
1
m
R
2
1 1 v 2 11 21 11 v10
0
v g
gR
r
2
0
M = mE = 5.98·1024 max
kg
Steighöhe im Erdgravitationsfeld
6 m
R = 6.37·101
v02 R R e
1 2 1 1
R
In einem größeren Bereich γum
die
Erde
gilt
für
das
Gravitationsfeld
v
1
-11
3
-1
-2
= 6.67·10r m kg2 gR
s 2 0 R R
2 gR
max
rmax
2 gR2 2 gRR2 v0R R 2R
gR
rmax
0
nicht
R
R
mehr der Wert für g, d.h. FG ≠ mg. Bei Betrachtung des eindimensionalen rmax
rmaxv 2
0
R
v 02
1
Falls, also einer vertikalen Bewegung
von
weg (z.B.
rmax der Erdoberfläche
1
Fallbeschleunigung:
2
2gR
v0
2gR
Raketenstart) ergibt sich eine Formel für die1maximale
Steighöhe rmax bei
2gR
-2
g 9.81 m s
im Mittel:v0.
vorgegebener Anfangsgeschwindigkeit
v 02
2
v 02
Für
v
2
gR
wird
1
0v 0
0
Für
v
2
gR
wird
1
0
Für
v
2
gR
wird
1
0 v2 (Fluchtgeschwindigkeit): Wenn man
• Zweite kosmische Geschwindigkeit
2gR
0
2gR
2gR
gehen lässt, wird der Nenner der Formel 0 und rmax geht gegen ∞. Dabei schaﬀt es ein
Körper
verlässt
gerade
Gravitationsfeld
der
Erde
r
Körper verlässt gerade Gravitation
r
Körper, gerade das Gravitationsfeld der Erde zu verlassen. Somaxberechnet
man
die zweite
Körper
verlässt gerade Gr
rmax
Fluchtgeschwindigkeit = zweite kosmische Geschwindigkeit v2
kosmische Geschwindigkeit v2, die sogenannte Fluchtgeschwindigkeit.
v2 ==11,2
km/s
Fluchtgeschwindigkeit
zweite
kosmische Gesc
max
vF
Matthias Elsner
v2
2gR
2 9,807ms
2
Fluchtgeschwindigkeit = zweite kosmisc
6,378 106 m 11,2km/s
24
2
v
v
2
gR
2
9
,
807
ms
6,378 10
2
F
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Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
vF v2
2gR
9,807
Körper, der tangential von derZentripetalkraft
Erdoberfläche mit v=1 Gravitation
abgeschossen wird,
(Erdrotation
vernachlässigt)
kann gerade die Erde umkreisen,
sie aber nicht
verlassen.
Wenn wir annehmen:
2
mv1der
mM
M mit v1
Körper, der
tangential von
Erde
Zentripetalkraft
= Gravitation
• Erste kosmische Geschwindigkeit v1: Ein
2
(Erdrotation vernachlässigt)
R verlassen.
R
abgeschossen wird, kann gerade die Erde umkreisen, sie aber nicht
Wenn
man annimmt Zentripetalkraft = Gravitation und die Erdrotation vernachlässigt, kommt
man auf einen Wert von v1 = 7,9 km/s.
M
v2
mv12
mM
M
v1
gR
7 ,9km/s
2
R
R
R
2
Vollkugel
Außenraum: r > R
Gravitationsfeld einer Vollkugel
M
r2
• Außenraum r > R: Innenraum: r < R
Gr
• Innenraum r < R:
M
M
4 3
r
3
4
R3
3
M
R
v1
gR
r
v2
2
7 ,9km/s
25
R
r3
R3
im Mittelpunkt Schwerelosigkeit!
3
M
1 Mr
M
Gravitationsfeld einer
Gr Hohlkugel
r
2
2
3
ms mE
r geteilt,
r dadurch
R
R3
rs E2
Die Hohlkugel wird in Scheiben
entstehen
Ringe, die unseremsMassenelers2
mente sind. Die senkrechten Komponenten der Kraft heben sich auf. Es wird die Wirkung
mE
rs3 Außenraum
2
eines Rings auf eine Probenmasse ermittelt und das Integral gebildet. Für den
E
ergibt sich dieselbe Formel wie bei der Vollkugel, für den Innenraum gilt aber Gr =2 0, das
E
heißt, im ganzen Innenraum der Hohlkugel herrscht Schwerelosigkeit!
T
E
Geostationäre Bahn
mETE2
Geostationär bedeutet, ein Körper (z.B. Satellit) befindet sich immer über rs 3
4 2
demselben Punkt der Erde. Aus der Formel ergibt sich für rs = 42250 km
24
mE 5man
.98 10eine
kg
(Abstand vom Erdmittelpunkt). Wenn man davon den Erdradius abzieht erhält
Flughöhe von h = 35850 km. Diese ist konstant und von der Körpermasse unabhängig.
6.67 10 11 kg 1m 3 s
2
4
TE 24 h 8.64 10 s
Planetenbewegung – Die drei Keplerschen Gesetze
6400 km Gesetze
Die dreirEKeplerschen
Erstes Keplersches Gesetz
„Die Planetenbahnen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.“
Zweites
Keplersches
Gesetz: Der Leitstrahl zur Sonne überDa das Gravitationsfeld ein Zentralfeld ist gilt
E=E
pot + Ekin = const
streicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
und L = r x p = const. Daraus ergeben sich als mögliche Bahnen im
„Astronomia nova“ 1609
e
Zweikörperproblem Kegelschnitte. y
dr
dr
1
r
dA 12 r dr
dt
Zweites Keplersches Gesetz
2 r
d
dt
„Der Leitstrahl zur Sonne überstreicht in gleichen
Zeiten gleiche
Flächen.“ Oder moderner
F
e
formuliert: Der von der Sonne zum Planeten gezogene Ra- dA
1
1
r p
L const
Erstes
Keplersches
2m1Gesetz: Die Planetenbahne
diusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
dt 2m1
x
in deren einem Brennpunkt
p
die Sonne steht.
Drittes Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlaufbahnen
„Astro
Drittes Keplerschesverhalten
Gesetz sich wie die Kuben der großen Halbachsen.
„Die Quadrate der Umlaufbahnen verhalten sich wie die
Kuben der großen Halbachsen.“
T
Matthias Elsner
2
„„Harmonices mundi“ 1619
4 2 3
a
m2
Drittes Keplersches Gesetz: Die Quadrate der Umlau
verhalten sich wie die
Kuben
großen
Seite
! der
29
von
!29 Halbachsen.
Physik I – Ausarbeitung mündliche Prüfung
„„Harmonices m
T2
4
2
a3

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