DL 3 : pour le 18/12/14

PSI* — 2014/2015
Pour le 19/12/2014.
D.L. 3
Problème A — Fonctions absolument monotones
Soient a et b réels tels que −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f une fonction de ]a, b[ dans R, de classe C ∞ sur ]a, b[.
f est dite absolument monotone (en abrégé AM) sur ]a, b[ si :
∀n ∈ N ∀x ∈ ]a, b[
f (n) (x) ≥ 0.
Partie I
1) Soient f et g deux fonction AM déﬁnies sur ]a, b[. Montrer que f + g et fg sont AM.
2) Si f est une fonction AM sur ]a, b[, montrer que ef l’est aussi.
3) Exemples
1
a) Montrer que f : ]0, 1[ → R déﬁnie par f (x) = √
est AM sur ]0, 1[.
1 − x2
b) Montrer que la fonction arcsin est AM sur ]0, 1[.
c) Montrer que la fonction tan est AM sur ]0, π/2[.
4) On suppose dans cette question que a ∈ R et que f est AM sur ]a, b[.
a) Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que λ = lim
f. On prolonge f en posant f (a) = λ.
+
a
Montrer que f est dérivable à droite en a et que f ′ est continue à droite en a.
b) Plus généralement, montrer que f est indéﬁniment dérivable à droite en a avec des dérivées positives
ou nulles. Le même phénomène se produit-il en b ?
Partie II
On suppose dans cette partie que : −∞ < a < 0 < b ≤ +∞.
On utilisera librement la formule de Taylor avec reste intégral.
n
1) Soit une fonction f AM sur ]a, b[ et : Rn (f, x) = f (x) − f (0) −
a) Prouver que, pour n ﬁxé, la fonction x →
f (k) (0) k
·x .
k!
k=1
Rn (f, x)
est
croissante
sur ]0, b[ et possède une limite
xn
nulle en 0+ .
f (n) (0) n
· x converge pour x ∈ [0, b[. Soit g (x) sa somme, montrer que g ≤ f.
n!
c) Déduire des questions précédentes que g = f sur [0, b[. On pourra montrer que, pour 0 < x < y < b,
x n
0 ≤ Rn (f, x) ≤
f (y) .
y
b) Montrer que
d) Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0.
2) Suivant les indications de la question I-4), on prolonge f en a. Montrer que, pour tout x de [a, b[,
∞
f (x) =
n=0
f (n) (a) ·
(x − a)n
.
n!
3) Montrer que si f s’annule en x0 ∈ ]a, b[, alors f est nulle. Donner l’ensemble des fonctions f AM sur
]a, b[ telles que, pour un p ∈ N ﬁxé, f (p) possède un zéro dans ]a, b[.
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Partie III
On suppose dans cette partie que −∞ < a < b < +∞.
Étant donné h ∈ R+∗ , on déﬁnit sur l’ensemble des fonctions réelles d’une variable réelle les applications
Th , ∆h et I par :
Th (f ) (x) = f (x + h) ,
∆h (f) (x) = f (x + h) − f (x) ,
I (f) (x) = f (x) .
Plus généralement on déﬁnit les opérateurs aux diﬀérences ﬁnies successifs :
et ∀n ∈ N ∆n+1
= ∆h ◦ ∆nh .
h
∆0h = I
1) On suppose que l’ensemble de déﬁnition de f est ]a, b[. Quel est l’ensemble de déﬁnition de ∆nh (f) ?
n
2) Montrer que : ∀n ∈ N
∆nh (f) (x)
(−1)n−k
=
n
k
f (x + kh).
k=0
3) On suppose f déﬁnie et AM sur ]a, b[. Montrer que, pour tout n ∈ N, ∆nh (f ) ≥ 0.
On pourra poser X (h) = ∆n+1
(f) (x) et exprimer X ′ (h) en fonction de ∆nh (f ′ ) (x + h).
h
4) On considère les fonctions f totalement monotones (TM) c’est-à-dire déﬁnies sur ]a, b[, de classe C ∞ et
telles que :
f ≥ 0 et ∀n ∈ N∗
n
a) Soit n ∈ N∗ . On pose Sj =
∀h ∈ ]0, (b − a) /n[
(−1)n−k
n
k
k=0
∀x ∈ ]a, b − nh[
∆nh (f ) (x) ≥ 0.
kj
n
pour j ∈ N et ψ (t) = et − 1 .
j!
Déduire du calcul des dérivées successives de ψ en 0 que Sj vaut 0 si j < n et que Sn vaut 1.
b) Montrer que toute fonction TM est AM.
Problème B
On note E l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle I = ]0, +∞[ à valeurs complexes telles
f (u)
que, pour tout nombre réel s > 0, la fonction u →
soit intégrable sur I.
u+s
On note f la fonction déﬁnie sur I par la formule
+∞
f (u)
f (s) =
du.
u
+s
0
1) Étude de E
a) Montrer que E est un C-espace vectoriel non réduit à {0} et stable par l’application f → |f |.
b) On note L l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues et intégrables sur I. Comparer au sens de l’inclusion les espaces vectoriels L et E.
c) Pour tout nombre réel α, on note fα la fonction déﬁnie sur I par la formule fα (u) = uα−1 . Déterminer
les valeurs de α pour lesquelles fα appartient à E et prouver alors que fα est proportionnelle à fα .
On exprimera le coeﬃcient de proportionnalité à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à
calculer.
2) Propriétés de f
a) Montrer que la fonction f est continue sur I. Déterminer la limite de f en +∞.
b) On suppose de plus f intégrable sur I. Déterminer la limite, lorsque s tend vers +∞, de
+∞
0
f (u)
du.
u
+1
s
À quelle condition ce résultat permet-il d’obtenir un équivalent de f au voisinage de +∞ ? Donner
dans ce cas cet équivalent.
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3) Transformée de Laplace d’un élément de E
On note F le sous-espace vectoriel des fonctions complexes continues sur I telles que, pour tout nombre
réel x > 0, la fonction u → e−xu f (u) soit intégrable sur I.
La fonction Lf déﬁnie alors par la formule
+∞
Lf (x) =
e−xu f (u) du
0
s’appelle la transformée de Laplace de f.
a) Soit x un nombre réel > 0. Justiﬁer l’existence du nombre réel
M (x) = sup e−xu (1 + u) .
u>0
Comparer M (x1 ) et M (x2 ) lorsque 0 < x1 < x2 .
b) Montrer que E est contenu dans F .
c) Soit f une fonction appartenant à E. Montrer que la fonction Lf est continue sur I.
Quel est son comportement en +∞ ?
Donner une condition suﬃsante portant sur f pour que Lf possède une limite ﬁnie en 0+ .
Donner un exemple de fonction réelle appartenant à E telle que lim+ Lf (x) = +∞.
x→0
4) Transformée de Laplace d’une fonction de type Lf, f ∈ E
Soit f un élément de E.
a) Pour tout n ∈ N∗ , on note gn la fonction déﬁnie sur I par la formule : gn (x) =
n
e−xu f (u) du.
1/n
Montrer que gn est continue sur I. Quel lien existe-t-il entre la suite (gn )n≥1 et la fonction Lf ?
b) Soient a et b deux nombres réels tels que 0 < a < b et n ∈ N∗ . Pour tout s de I, montrer que
b
n
e−sx gn (x) dx = e−sa
a
e−au
1/n
f (u)
du − e−sb
u+s
n
e−bu
1/n
f (u)
du.
u+s
On admettra le théorème de Fubini : si h est continue sur [a, b] × [c, d], alors
b
d
d
b
h (x, y) dy dx =
a
h (x, y) dx dy.
c
c
a
En déduire que
b
a
b
c) Montrer que
+∞
e−sx Lf (x) dx = e−sa
e−au
0
f (u)
du − e−sb
u+s
+∞
0
e−bu
f (u)
du.
u+s
e−sx Lf (x) dx admet une limite lorsque a tend vers 0 et que b tend vers +∞.
a
d) Montrer que Lf est dans F et que sa transformée de Laplace est f, c’est-à-dire que, pour tout s ∈ I,
+∞
e−sx Lf (x) dx = f (s) .
0
5) Application : soit α un élément de ]0, 1[. En considérant la fonction fα déﬁnie au 1)c), établir que
+∞
Γ (α) Γ (1 − α) =
0
uα−1
du
1+u
où Γ est la fonction déﬁnie sur I par la formule
+∞
Γ (α) =
0
e−y y α−1 dy.

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