PSI* — 2014/2015 Pour le 19/12/2014. D.L. 3 Problème A — Fonctions absolument monotones Soient a et b réels tels que −∞ ≤ a < b ≤ +∞ et f une fonction de ]a, b[ dans R, de classe C ∞ sur ]a, b[. f est dite absolument monotone (en abrégé AM) sur ]a, b[ si : ∀n ∈ N ∀x ∈ ]a, b[ f (n) (x) ≥ 0. Partie I 1) Soient f et g deux fonction AM définies sur ]a, b[. Montrer que f + g et fg sont AM. 2) Si f est une fonction AM sur ]a, b[, montrer que ef l’est aussi. 3) Exemples 1 a) Montrer que f : ]0, 1[ → R définie par f (x) = √ est AM sur ]0, 1[. 1 − x2 b) Montrer que la fonction arcsin est AM sur ]0, 1[. c) Montrer que la fonction tan est AM sur ]0, π/2[. 4) On suppose dans cette question que a ∈ R et que f est AM sur ]a, b[. a) Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que λ = lim f. On prolonge f en posant f (a) = λ. + a Montrer que f est dérivable à droite en a et que f ′ est continue à droite en a. b) Plus généralement, montrer que f est indéfiniment dérivable à droite en a avec des dérivées positives ou nulles. Le même phénomène se produit-il en b ? Partie II On suppose dans cette partie que : −∞ < a < 0 < b ≤ +∞. On utilisera librement la formule de Taylor avec reste intégral. n 1) Soit une fonction f AM sur ]a, b[ et : Rn (f, x) = f (x) − f (0) − a) Prouver que, pour n fixé, la fonction x → f (k) (0) k ·x . k! k=1 Rn (f, x) est croissante sur ]0, b[ et possède une limite xn nulle en 0+ . f (n) (0) n · x converge pour x ∈ [0, b[. Soit g (x) sa somme, montrer que g ≤ f. n! c) Déduire des questions précédentes que g = f sur [0, b[. On pourra montrer que, pour 0 < x < y < b, x n 0 ≤ Rn (f, x) ≤ f (y) . y b) Montrer que d) Montrer que f est développable en série entière au voisinage de 0. 2) Suivant les indications de la question I-4), on prolonge f en a. Montrer que, pour tout x de [a, b[, ∞ f (x) = n=0 f (n) (a) · (x − a)n . n! 3) Montrer que si f s’annule en x0 ∈ ]a, b[, alors f est nulle. Donner l’ensemble des fonctions f AM sur ]a, b[ telles que, pour un p ∈ N fixé, f (p) possède un zéro dans ]a, b[. PSI* — 2014/2015 — D.L. 3 Page 2/3 Partie III On suppose dans cette partie que −∞ < a < b < +∞. Étant donné h ∈ R+∗ , on définit sur l’ensemble des fonctions réelles d’une variable réelle les applications Th , ∆h et I par : Th (f ) (x) = f (x + h) , ∆h (f) (x) = f (x + h) − f (x) , I (f) (x) = f (x) . Plus généralement on définit les opérateurs aux différences finies successifs : et ∀n ∈ N ∆n+1 = ∆h ◦ ∆nh . h ∆0h = I 1) On suppose que l’ensemble de définition de f est ]a, b[. Quel est l’ensemble de définition de ∆nh (f) ? n 2) Montrer que : ∀n ∈ N ∆nh (f) (x) (−1)n−k = n k f (x + kh). k=0 3) On suppose f définie et AM sur ]a, b[. Montrer que, pour tout n ∈ N, ∆nh (f ) ≥ 0. On pourra poser X (h) = ∆n+1 (f) (x) et exprimer X ′ (h) en fonction de ∆nh (f ′ ) (x + h). h 4) On considère les fonctions f totalement monotones (TM) c’est-à-dire définies sur ]a, b[, de classe C ∞ et telles que : f ≥ 0 et ∀n ∈ N∗ n a) Soit n ∈ N∗ . On pose Sj = ∀h ∈ ]0, (b − a) /n[ (−1)n−k n k k=0 ∀x ∈ ]a, b − nh[ ∆nh (f ) (x) ≥ 0. kj n pour j ∈ N et ψ (t) = et − 1 . j! Déduire du calcul des dérivées successives de ψ en 0 que Sj vaut 0 si j < n et que Sn vaut 1. b) Montrer que toute fonction TM est AM. Problème B On note E l’ensemble des fonctions f continues sur l’intervalle I = ]0, +∞[ à valeurs complexes telles f (u) que, pour tout nombre réel s > 0, la fonction u → soit intégrable sur I. u+s On note f la fonction définie sur I par la formule +∞ f (u) f (s) = du. u +s 0 1) Étude de E a) Montrer que E est un C-espace vectoriel non réduit à {0} et stable par l’application f → |f |. b) On note L l’espace vectoriel des fonctions à valeurs complexes continues et intégrables sur I. Comparer au sens de l’inclusion les espaces vectoriels L et E. c) Pour tout nombre réel α, on note fα la fonction définie sur I par la formule fα (u) = uα−1 . Déterminer les valeurs de α pour lesquelles fα appartient à E et prouver alors que fα est proportionnelle à fα . On exprimera le coefficient de proportionnalité à l’aide d’une intégrale que l’on ne cherchera pas à calculer. 2) Propriétés de f a) Montrer que la fonction f est continue sur I. Déterminer la limite de f en +∞. b) On suppose de plus f intégrable sur I. Déterminer la limite, lorsque s tend vers +∞, de +∞ 0 f (u) du. u +1 s À quelle condition ce résultat permet-il d’obtenir un équivalent de f au voisinage de +∞ ? Donner dans ce cas cet équivalent. PSI* — 2014/2015 — D.L. 3 Page 3/3 3) Transformée de Laplace d’un élément de E On note F le sous-espace vectoriel des fonctions complexes continues sur I telles que, pour tout nombre réel x > 0, la fonction u → e−xu f (u) soit intégrable sur I. La fonction Lf définie alors par la formule +∞ Lf (x) = e−xu f (u) du 0 s’appelle la transformée de Laplace de f. a) Soit x un nombre réel > 0. Justifier l’existence du nombre réel M (x) = sup e−xu (1 + u) . u>0 Comparer M (x1 ) et M (x2 ) lorsque 0 < x1 < x2 . b) Montrer que E est contenu dans F . c) Soit f une fonction appartenant à E. Montrer que la fonction Lf est continue sur I. Quel est son comportement en +∞ ? Donner une condition suffisante portant sur f pour que Lf possède une limite finie en 0+ . Donner un exemple de fonction réelle appartenant à E telle que lim+ Lf (x) = +∞. x→0 4) Transformée de Laplace d’une fonction de type Lf, f ∈ E Soit f un élément de E. a) Pour tout n ∈ N∗ , on note gn la fonction définie sur I par la formule : gn (x) = n e−xu f (u) du. 1/n Montrer que gn est continue sur I. Quel lien existe-t-il entre la suite (gn )n≥1 et la fonction Lf ? b) Soient a et b deux nombres réels tels que 0 < a < b et n ∈ N∗ . Pour tout s de I, montrer que b n e−sx gn (x) dx = e−sa a e−au 1/n f (u) du − e−sb u+s n e−bu 1/n f (u) du. u+s On admettra le théorème de Fubini : si h est continue sur [a, b] × [c, d], alors b d d b h (x, y) dy dx = a h (x, y) dx dy. c c a En déduire que b a b c) Montrer que +∞ e−sx Lf (x) dx = e−sa e−au 0 f (u) du − e−sb u+s +∞ 0 e−bu f (u) du. u+s e−sx Lf (x) dx admet une limite lorsque a tend vers 0 et que b tend vers +∞. a d) Montrer que Lf est dans F et que sa transformée de Laplace est f, c’est-à-dire que, pour tout s ∈ I, +∞ e−sx Lf (x) dx = f (s) . 0 5) Application : soit α un élément de ]0, 1[. En considérant la fonction fα définie au 1)c), établir que +∞ Γ (α) Γ (1 − α) = 0 uα−1 du 1+u où Γ est la fonction définie sur I par la formule +∞ Γ (α) = 0 e−y y α−1 dy.
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