GEO3 - Mathématiques en TSI-1

G éom étrie dans l’espace - Calcul vectoriel
TSI-1
2014/15
→ −−→ −−→
−
(2). (a). Déterminer les coordonnées du vecteur N = BC ∧ BA .
Dans³ tout ce qui ´suit, sauf mention contraire, l’espace E est rapporté à un repère ortho−
→
− →
− →
normé O ; i , j , k , et les coordonnées des points et vecteurs, ou les équations de droite ou
de plan seront donnés dans ce dernier.
(b). Montrer que la droite (SC) est une hauteur de la pyramide SABCD.
→
−
(c). Calculer la norme du vecteur N . Quelle est alors l’aire du parallélogramme ABCD.
(d). Déduire des questions précédentes le volume V de la pyramide SABCD.
Calcul vectoriel

GEO3 5





−−→ −−→
(1). Déterminer les coordonnées des vecteurs BC et CH .
−−→ −−→
(2). Calculer le produit scalaire BH . CH .
3
1
1
−
→
→
−
→
−
GEO3 1 Soient u  0 , v  1  et w  2 .
2
2
0
´
³→
−
→
−
−
→
(1). Montrer que B ′ = u , v , w est une base de l’espace. Est-elle directe ?


1
→
−
−1  où m est un paramètre réel.
(2). Soit t
m
→
−
(a). Exprimer les composantes de t dans B ′ .
→
− →
−
−
→
(b). Pour quelle(s) valeur(s) de m les vecteurs t , v et w sont-ils coplanaires ?
(3). Calculer les valeurs exactes des distances BH et CH.

(4). En déduire la valeur approchée arrondie à 10−1 de la mesure en degrés de l’angle BHC.
GEO3 6
(2). Calculer les coordonnées du milieu I de [AC].
(3). On considère la pyramide SABCD de sommet S (6,5; 9,5; 3,5).
−
→
−−→ −−→
(a). Montrer que le vecteur IS est orthogonal à chacun des deux vecteurs AB et BC .
(b). Calculer la valeur exacte du volume de la pyramide SABCD dont [IS] est une hauteur.

(4). On se propose de déterminer une mesure en degrés de l’angle SAB.
−→ −−→
(a). Calculer le produit scalaire AS . AB .
→
−
→
−
On se donne deux vecteurs u et v de l’espace. Démontrer que l’on a la relation :
(b). Donner les valeurs exactes des distances AS et AB. En déduire la valeur exacte de
SAB, puis la valeur approchée, arrondie à 10−1 , de la mesure en degrés de l’angle
cos

SAB.
°→
°→
° °− °2
−°
°− →
°2
°− °2 °→
°
° u ∧ v ° + (〈u, v〉)2 = ° u ° ° v °
GEO3 7
→
−
→
−
On distinguera le cas où u et v sont colinéaires.
On donne les points A (3; 1; 0) et B (2; 3; 0).
−−→ −−→
(1). (a). Calculer OA . OB .
arrondie à 10−1 .
(b). En déduire la mesure en degrés de l’angle AOB
−−→ −−→
(2). (a). Calculer les coordonnées du vecteur OA ∧ OB .
A pplications du produit scalaire ou vectoriel dans l’espace
GEO3 4
Soient A (1; 3; −1), B (2; 1; 4), C (5; 0; 3) et D (4; 2; −2).
(1). (a). Montrer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
−−→ −−→
(b). Calculer le produit scalaire AB . BC .
Que peut-on déduire sur la nature du parallélogramme ABCD.






1
2
1
→
−
→
−
−
→
−1 , v  3  et w  2 .
GEO3 2 On donne les vecteurs u
1
−1
3
→
− →
−
→
− −
→
(1). Calculer les produits scalaires u . v et v . w .
→
− →
−
→
− −
→
(2). Calculer les produits vectoriels u ∧ v et v ∧ w .
³
´
→
− →
− −
→
(3). Calculer le produit mixte u . v ∧ w .
GEO3 3
On donne les points A (0; 15; 0), B (−13; −7,5; 0), C (13; 7,5; 0) et H (0; 0; 40).
(b). En déduire l’aire du triangle OAB.
−−→ −−→ −−→
(3). On pose OC = OA ∧ OB . Calculer le volume V de la pyramide COAB.
Soient A (1; 3; 0), B (3; 1; 0), C (4; 4; 0) et S (4; 4; 2).
(1). (a). Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
(b). Déterminer les longueurs BC et BA ainsi que la valeur approchée arrondie à l’unité

de la mesure en degrés de l’angle ABC.
Exercices - Fiche GEO3
1
M.Chauvet - Lycée E. d’Alzon

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