Solutions examen Intra MAT2080 (Hiver 2014)

MAT 2080 - Solutions de l’examen intra (version blanche), hiver 2014
Question 1 (4 points)
On a
x¯ =
p
X
xi fi = 0 × 0.10 + 1 × 0.70 + 2 × 0.15 + 3 × 0.05 = 1.15
i=1
et la r´eponse est C) 1.15
Question 2 (4 points)
On a
σ2 =
p
X
!
x2i fi
− x¯2 = 02 × 0.10 + 12 × 0.70 + 22 × 0.15 + 32 × 0.05 − 1.152 = 0.4275
i=1
et la r´eponse est C) 0.4275
Question 3 (4 points)
Si par exemple on avait un ´echantillon de n = 100, on aurait 10 valeurs de 0, 70 valeurs de
1, 15 valeurs de 2, 5 valeurs de 3. La valeur qui s´epare l’´echantillon ordonn´e en deux est
donc 1, puisque la 50e valeur est 1 et la 51e valeur est aussi 1.
La r´eponse est C) 1,00
Question 4 (4 points)
Soit X le nombre de remorquages effectu´es et soit Y la r´etribution de l’employ´e qui effectue
les remorquages. On a
yi = 25 + 31 xi ,
une transformation affine avec a = 25 et b = 31. On cherche y¯. On a donc
y¯ = a + b x¯ = 25 + 31 x¯ = 25 + 31(1.15) = 60.65
et la r´eponse est F) 60.65
Question 5 (4 points)
Soit X le nombre de remorquages effectu´es et soit Y la r´etribution de l’employ´e qui effectue
les remorquages. On a
yi = 25 + 31 xi ,
une transformation affine avec a = 25 et b = 31. On cherche σy . On a donc
√
σy = |b| σx = 31 × 0.4275 = 20.26888 ≈ 20.27
et la r´eponse est A) 20.27
Question 6 (4 points)
Soit X le nombre d’entrevues qu’on doit effectuer pour obtenir 2 candidats acceptables. On
a que X ∼ B − (n = 2, p = 0.20). On cherche
Var(X) =
nq
2 × 0.80
=
= 40
2
p
0.202
et la r´eponse est B) 40
Question 7 (4 points)
Soit X le nombre d’entrevues qu’on doit effectuer pour obtenir 4 candidats acceptables. On
a que X ∼ B − (n = 4, p = 0.20). On cherche P (X = x) avec x = 8. On a donc
x−1
8−1
n x−n
P (X = 8) =
p q
=
0.204 0.808−4
n−1
4−1
7!
7
=
0.204 0.804 =
0.204 0.804 = 0.0229376 ≈ 0.0229
3
3!4!
et la r´eponse est B) 0.0229
Question 8 (4 points)
Soit X le nombre d’accidents par jour, alors X ∼ P (λ = 0.4). On cherche Var(X) = λ = 0.4
et la r´eponse est E) 0.4
Question 9 (4 points)
Soit X le nombre d’accidents par jour, alors X ∼ P (λ = 0.4). On cherche
P (X = 3) =
e−λ λx
e−0.4 0.43
=
= 0.00715008 ≈ 0.0072
x!
3!
et la r´eponse est C) 0.0072
Question 10 (4 points)
Soit X le nombre d’accidents par semaine de 5 jours, alors X ∼ P (λ = 2). On cherche
P (X = 0) =
e−λ λx
e−2 20
=
= 0.1353353 ≈ 0.1353
x!
0!
et la r´eponse est E) 0.1353
Question 11 (4 points)
Soit X le nombre d’accidents par jour, alors X ∼ P (λ = 0.4). Soit Y le nombre de jours
sans accident durant une semaine de 5 jours. Alors Y ∼ B(n = 5, p) avec
p = P (X = 0) =
e−0.4 0.40
= 0.67032
0!
On cherche
Var(Y ) = n p q = 5 × 0.67032 × (1 − 0.67032) = 1.104955 ≈ 1.1050
2
et la r´eponse est F) 1.1050
Question 12 (4 points)
Soit X le nombre de questions propos´ees par TOTO dans l’examen. Alors
X ∼ H(n = 5, N1 = 10, N2 = 10).
On cherche P (X = x) o`
u x = 0.
P (X = 0) =
=
N1
x
10!
10!0!
×
20!
5!15!
N
n
10!
5!5!
N2
n−x
=
10
0
20
5
10
5
= 0.016254
et la r´eponse est C) 0.016254
Question 13 (4 points)
Soit X le nombre de questions propos´ees par TOTO dans l’examen. Alors
X ∼ H(n = 5, N1 = 10, N2 = 10).
Si on pose p =
N1
N
=
10
20
= 0.5, alors on cherche
E(X) = n p = 5 × 0.5 = 2.5
et la r´eponse est D) 2.5
Question 14 (4 points)
Soit X ∼ N (56, 42 ). On cherche
57 − 56
P (X < 57) = P Z <
= P (Z < 0.25) = 0.5987
4
et la r´eponse est D) 0.5987
Question 15 (4 points)
Soit Y = X1 + . . . + X9 , o`
u X1 , . . . , X9 repr´esentent le poids de 9 abricots ind´ependants.
(Attention, ne pas confondre avec Y = 9X.) On calcule
Var(Y ) = Var(X1 + . . . + X9 ) = Var(X1 ) + . . . + Var(X9 ) = 9 Var(X) = 9 × 42 = 9 × 16 = 144
Et on cherche
σy =
p
√
Var(Y ) = 144 = 12
3
et la r´eponse est B) 12
Question 16 (4 points)
Soit Y¯ = 19 (X1 + . . . + X9 ), o`
u X1 , . . . , X9 repr´esentent le poids de 9 abricots ind´ependants.
On calcule
2
1
1
(X1 + . . . + X9 ) =
(Var(X1 ) + . . . + Var(X9 ))
Var(Y¯ ) = Var
9
9
2
1
42
Var(X)
=
=
= 1.7777
× (9 Var(X)) =
9
9
9
Et on cherche
q
√
σY¯ = Var(Y¯ ) = 1.7777 = 1.3333
et la r´eponse est C) 1.333
Question 17 (4 points)
Soit U = 0.05(X1 +. . .+X9 ), o`
u X1 , . . . , X9 repr´esentent le poids de 9 abricots ind´ependants.
On a
Var(U ) = Var (0.05(X1 + . . . + X9 )) = 0.052 (Var(X1 ) + . . . + Var(X9 ))
= 0.052 × (9 Var(X)) = 0.052 × 9 × 42 = 0.36
et la r´eponse est B) 0.36
Question 18 (4 points)
La r´eponse se trouve dans le troisi`eme tableau, dans la distribution conditionnelle de l’´etat
matrimoniale chez les hommes. La r´eponse est C) 0.4631
Question 19 (4 points)
La r´eponse se trouve dans le premier tableau, dans la distribution conjointe. La r´eponse est
A) 0.2304
Question 20 (4 points)
Soit X le nombre de personnes que vous devez solliciter avant qu’il y en ait une qui accepte de
changer votre billet. Alors X ∼ G(p = 0.25). On cherche P (X ≥ 4) ou de fa¸con ´equivalente
P (X > 3). Alors
P (X > 3) = q x = (1 − p)x = (1 − 0.25)3 = 0.421875 ≈ 0.4219
et la r´eponse est E) 0.4219
Question 21 (4 points)
Soit X la quantit´e de caf´e vers´ee par la distributrice. On a X ∼ N (µ = 180, σ 2 = 162 ).
Puisque le caf´e d´eborde si X > 200, on cherche
200 − 180
= P (Z > 1.25) = 1−P (Z < 1.25) = 1−0.8944 = 0.1056
P (X > 200) = P Z >
16
4
et la r´eponse est F) 0.1056
Question 22 (4 points)
Soit X la quantit´e de caf´e vers´ee par la distributrice. On a X ∼ N (µ = 180, σ 2 = 162 ). On
cherche x tel que
x − 180
P (X < x) = 0.1038 ou de fa¸con ´equivalente P Z <
= 0.1038
16
On cherche donc 0.1038 dans les tables et on trouve que P (Z < −1.26) = 0.1038. On pose
alors x−180
= −1.26 ce qui est ´equivalent `a x − 180 = −1.26 × 16 ou
16
x = 180 − 1.26 × 16 = 159.84
et la r´eponse est C) 159.84
Question 23 (4 points)
Soit X la quantit´e de caf´e vers´ee par la distributrice. On a X ∼ N (µ, σ 2 = 162 ), o`
u µ n’est
pas sp´ecifi´e. On cherche
4
P (|X − µ| > 4) = P ( |Z| >
= P (|Z| > 0.25) = 2P (Z < −0.25) = 2 × 0.4013 = 0.8026
16
et la r´eponse est G) 0.8026
Question 24 (4 points)
Soit Y le nombre de personnes approch´ees pour faire la monnaie. Alors Y ∼ G(p = 0.6).
Soit X le coˆ
ut de votre appel, o`
u X peut prendre les valeurs 0.50 ou 1. Calculons la fonction
de probabilit´e de X.
P (X = 0.50) = P (Y ≤ 3) = 1 − P (Y > 3) = 1 − q 3 = 1 − (1 − 0.6)3 = 0.936
P (X = 1) = 1 − P (X = 0.50) = 1 − 0.936 = 0.064
et la r´eponse est C) 0.064
Question 25 (4 points)
On cherche
X
E(X) =
xp(x) = 0.50×P (X = 0.50)+1.00×P (X = 1.00) = 0.50×0.936+1.00×0.064 = 0.532
x
et la r´eponse est B) 0.532
5

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