DS bernou prim int 13-14

Devoir surveillé de mathématiques n°9
18 avril 2014
TES2
Exercice 1 (7) :
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur
la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.L’enquête révèle que 55% des
élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause
plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une
répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.On choisit un élève au hasard dans le
lycée. On considère les événements suivants :
L: l’élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi
C: l’élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
1°) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
2°) Montrer que P(C)=0,5675.
4
3°) Calculer P C ( L) (valeur arrondie à 10 près) et interpréter le résultat.
4°) On interroge successivement quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de
l’établissement. Le nombre d’élèves étant suffisamment grand, on considère que ces quatre
tirages sont indépendants.
Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d’élèves favorables à une répartition des
cours plus étalée sur l’année scolaire.
a) Montrer que X suit une loi de probabilité que l'on précisera et dont on donnera les
paramètres.
b) Calculer la probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition
des cours plus étalée sur l’année scolaire (écrire le calcul correspondant). En donner une
4
.
valeur arrondie à 10
c) Calculer la probabilité qu’au moins un élève interrogé soit favorable à une répartition
4
des cours plus étalée sur l’année scolaire. (donner le calcul et le résultat arrondi à 10 ).
Exercice 2 (5): Toutes les question ci-dessous sont indépendantes.
3
1°) On considère la fonction f ( x)=5 x+ .
x
Déterminer la primitive de f qui prend la valeur 7 en 1.
0,2x +3
2°) On considère la fonction g ( x)=5 e
Déterminer la forme générale des primitives de g.
3°) Une entreprise fabrique un bien de consommation.
La coût marginal, en euros, en fonction de la quantité q fabriquée, est
q
2
Cm (q )=e +3 q 120 q+1250 .
On pourra assimiler le coût marginal à la dérivée du coût total.
Calculer le coût total de fabrication en fonction de q sachant que les coûts fixes s'élèvent
à 10 000 €.
4°) La représentation graphique ci-contre est celle d'une
fonction f dans un repère orthogonal.
Par lecture graphique, donner un encadrement à l'unité de
y
3
2
1
2
∫ f ( x) d x .
1
-1
0
-1
-2
1
2
3
4x
Exercice 3 (8) :
On considère la fonction f définie sur ℝ dont la courbe représentative
C f est tracée ci-contre dans un repère orthonormé.
Partie A
ax
On suppose que f est de la forme f ( x)=( b − x) e où a et b
désignent deux constantes.
On sait que :
• Les points A(0 ; 2) et D(2 ; 0) appartiennent à la courbe C f .
• La tangente à la courbe C f au point A est parallèle à l’axe des
abscisses.
1°) Par lecture graphique, indiquer les valeurs de f (2) et f ′(0).
2°) Calculer f '(x) .
3°) En utilisant les questions précédentes, déterminer les valeurs de a et b.
Partie B
0,5 x
On admet que f ( x)=( x+2) e
.
0,5 x
1°) a) On considère F la fonction définie sur R par F ( x)=(− 2 x+8)e
.
Montrer que F est une primitive de la fonction f sur R.
b) Calculer la valeur exacte l'aire grisée sur le graphique précédent et en donner une
2
valeur approchée à 10 près.
2°) On considère G une autre primitive de f sur ℝ.
Parmi les trois courbes C 1 , C 2 et C 3 ci-dessous, une seule est la représentation graphique
de G.Déterminer la courbe qui convient et justifier la réponse.
Devoir surveillé de mathématiques n°9
18 avril 2014
TES2
C
Exercice 1 :
0,95
1°)
0,55
L
0,05
C
C
0,2x +3
L
0,9
C
2°) L et L forment une partition de l'univers.
D'après la formule des probabilités totales :
p(C)=p(C∩L)+p(C∩ L )
= p L (C)× p( L)+p L (C)× p ( L)
= 0,55×0,95+0,45×0,1=0,5675
p (C ∩L)
0,55×0,95
≈ 0,9207
=
p (C)
0,5675
La probabilité qu'une personne souhaite une pause de midi plus longue sachant que cette
personne souhaite des cours plus étalé sur l'année scolaire est égale à 0,9207.4
3°) Calculer P C ( L) =
4°)
a) L'interrogation d'un élève est une épreuve de Bernoulli de succès « l'élève est favorable
à une répartition des cours sur l'année » de probabilité 0,5675
On répète 4 fois cette même expérience, ces choix étant indépendants.
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès à cette épreuve suit donc la loi
binomiale B (4;0,5675)
()
4 × 0,56752 × (1 0,5675)2 ≈0,3615
2
La probabilité qu’exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus
étalée sur l’année scolaire est d'environ 0,3615.
b) On cherche P(X=2)=
()
4 0,5675^0× (1 0,5675)4 ≈ 0,965 La
0
probabilité qu’au moins un élève interrogé soit favorable à une répartition des cours plus
étalée sur l’année scolaire est égale à environ 0,965.
c) On cherche P (X ⩾1 )=1
p(X =0) = 1–
2,5=4,5
2°) On considère la fonction g ( x)=5 e
u
u
Si g =k ×u ' ×e , alors une primitive de g est G= k×e
Ici, u( x)=0,2 x+3
donc u' ( x)=0,2
1
0,2 x +3
g ( x)=5× ×0,2×e
0,2
1
0,2 x+3
donc G ( x)=5×
×e
+k
0,2
0,2 x+3
G ( x)= 25e
+k avec k ∈ ℝ
0,1
0,45
Exercice 2 : Toutes les question ci-dessous sont indépendantes
1
1
1°) f ( x)=5 x+3×
donc F ( x)=5× × x 2+3×ln ( x)+k
x
2
2
F ( x)=2,5 x +3 ln( x)+k
2
Or F(1)=7
2,5×1 +3 ln (1)+k =7 ⇔ k =7
2
Donc F ( x)=2,5 x +3 ln( x)+4,5
3°)
On cherche la primitive de Cm qui prend la valeur 10000 en 0.
1
1
q
3
2
C(q )=e +3× × q 120× × q +1250×q +k
3
2
q
3
C(q )=e +q 60 q+1250 q +k
Or C(0)=10000
0
e +0 60×0+1250×0+k =10000
k =10000 1=9999
Donc
q
3
2
C(q )=e +3×q 60×q +1250×q +9999
4°)
On cherche l'aire située sous la courbe, au dessus de l'axe des
abscisses et entre les droites d'équation x=1 et x=2 ,
exprimée en unité d'aire.Ici une unité d'aire vaut 2 carreaux.
Cette aire est comprise entre 6 et 8 carreaux, soit entre 3 et 4 -1
2
unités d'aires.
3<
∫ f ( x) d x <4.
1
y
3
2
1
0
-1
-2
1
2
3
4x
Exercice 3 :
1°) f (2)=0
et f ' (0 )=0 car la tangente en 0 est parallèle à l'axe des abscisses.
2°) Calculer f '(x) .
f =u× v donc f '= u' v+v ' u
u( x)=b x donc u' ( x)= 1
ax
ax
donc v ' ( x)=a e
v ( x)=e
ax
ax
ax
f ' ( x)= 1 e +(b x)×a e =e ( 1+a (b x))
avec
2a
2a
f (2)=0 ⇔ (b 2 )e =0 ⇔ b 2=0 (car e ≠0) ⇔b=2
a ×0
f ' (0 )=0 ⇔ e ( 1+a (b 0))=0 ⇔ 1 +ab=0 et comme b=2
1
⇔-1+2a=0 ⇔ a = =0,5
2
0,5 x
Donc f ( x)=( 2 x)e
3°)
Partie B f ( x)=( x+2) e
0,5 x
.
0,5 x
1°) a- F ( x)=(− 2 x+8)e
.
On dérive F (qui est un produit)
0,5 x
0,5 x
F ' ( x)= 2 e +( 2 x+8)×0,5×e
0,5 x
F ' ( x)=e ( 2 +0,5×( 2 x+8 ))
0,5 x
F ' ( x)=e ( 2 x+4 )
0,5 x
donc F est bien une primitive de f .
F ' ( x)=e (2 x)= f ( x)
b- On cherche
2
∫ f ( x) d x =
2
[F ( x) ]0
0
= F (2) F( 0)=( 2×2+8) e
1
= 4 e 8×1=4 e 8
0,5×2
(( 2×0 +8) e
0,5×0
)
2
Valeur exacte :
∫ f ( x) d x = 4e-8
0
2
Valeur approchée :
∫ f ( x) d x
≈ 2,87
0
2°)
G '= f
Donc la signe de f nous indique les variations de G.
Or f semble positive sur ] ∞ ; 2 [ puis négative sur ]2 ;+∞[
Donc G est croissante sur ] ∞ ; 2 [ et décroissante sur ]2 ;+∞[
C'est la courbe C 3 qui convient.

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