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Développements limités
Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point.
I Notion de développement limité
Dans tout ce paragraphe, a désigne un nombre réel qui est un élément de I (ou une extrémité de
I ).
I.1 Unicité d'un développement limité
Dénition 1
Soit n ∈ N.
On dit que la fonction f : I −→ R admet un développement limité à l'ordre n au voisinage
de a (en abrégé, un DLn (a)) s'il existe un polynôme P de degré au plus n et une fonction ε
dénie sur I tels que, pour tout réel x voisin de a,
f (x) = P (x − a) + (x − a)n (x) avec lim ε(x) = . . .
x−→a
• Le polynôme P (X) est appelé la
• (x − a)n ε(x) est appelé
partie régulière du développement limité de f en a.
reste d'ordre n du développement limité de f en a.
Autrement dit, la fonction f admet un DLn (a) s'il existe des nombres réels b0 , b1 , . . . , bn et une
fonction ε dénie sur J = {h ∈ R / a + h ∈ I} tels que, pour tout réel h voisin de 0,
f (a + h) = b0 + b1 h + b2 h2 + · · · + bn hn + hn ε(h)
avec
lim ε(h) = 0
h→0
Remarques :
• b0 = f ( )
• On admettra que si un tel développement limité existe, alors sa partie régulière est unique.
• f admet un DLn (a) ssi la fonction
g : h 7−→
• Le fait que lim ε(h) = 0 signie que, pour tout nombre strictement positif d xé, aussi proche
h→0
de 0 que l'on veut, il existe un intervalle ouvert centré en 0 sur lequel |ε(h)| < d.
• Si la fonction f admet pour DLn (a) :
f (x) =
n
X
k=0
bk (x − a)k + o (x − a)n
et si p est le plus petit entier naturel tel que bp 6= 0, alors
f (x)
∼
(x−→a)
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Proposition 1
On suppose que l'intervalle I contient le réel a.
(i) f admet un DL0 (a) ssi f est . . .
(ii) f admet un DL1 (a) ssi f est . . .
1
Exemple : soit f
la fonction dénie sur I =] − 1 ; 1[ par f (x) =
1−x
Donner le développement limité à l'odre n (n ∈ N) au voisinage de zéro de f .
Proposition 2
Si la fonction f admet un DLn (0) et si f est paire (resp. impaire),
alors la partie régulière du développement limité de f en 0 est
I.2 Condition susante d'existence
La formule de Taylor-Young, qu'on va maintenant énoncer, donne une information sur le comportement local de f au voisinage d'un point a.
Théorème 3 (Formule
de Taylor-Young, admise
)
Soit n ∈ N∗ et f une fonction de classe C n sur un intervalle I.
alors f admet un DLn (a) donné par :
f (x) = f (a)+
avec lim ε(x) = 0
x→a
Si a est un point de I ,
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I.3 Développements limités usuels au voisinage de 0
Proposition 4
Au voisinage de zéro
•
ex =
•
sin x =
•
cos x =
•
α réel,
(1 + x)α =
Pour
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II Opérations sur les développements limités
II.1 Développement limité d'une somme et d'un produit
Proposition 5
Soit f et g deux fonctions dénies sur un intervalle I et admettant les développements limités
à l'ordre n (n ∈ N∗ ) au vosinage de 0 :
f (x) = Pn (x) + xn ε1 (x)
et
g(x) = Qn (x) + xn ε2 (x)
où Pn et Qn sont des polynômes de degré au plus n.
Alors les fonctions f + g et f g admettent des développements limités à l'ordre n en 0 donnés
par :
(f + g)(x) =
(f g)(x) = Rn (x) + xn ε4 (x)
où Rn (x) est le polynôme égal au produit Pn (x)Qn (x) auquel on a retiré tous les termes de
degrés strictement supérieurs à n.
Exemple : déterminer le développement limité à l'odre 3 au voisinage de zéro de la fonction ϕ
dénie par
sin x
ϕ(x) = √
1−x
II.2 Intégration terme à terme d'un développement limité
Théorème 6
Soit f : I −→ R une fonction dérivable sur un intervalle I . Soit a ∈ I .
Si la dérivée f 0 admet un DLn (a) de la forme :
f 0 (x) = b0 + b1 (x − a) + b2 (x − a)2 + · · · + bn (x − a)n + (x − a)n ε1 (x) avec
Alors f admet un DLn+1 (a) donné par :
f (x) =
avec lim
x−→a
lim ε1 (x) = 0
x→a
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Démonstration : on pose pour tout réel x ∈ I ,
(x − a)2
(x − a)n+1
ϕ(x) = x − f (a) + b0 (x − a) + b1
+ · · · + bn
2
n+1
Exemple : soit f
la fonction dénie sur l'intervalle I =] − 1 , +∞[ par
f (x) = ln(1 + x)
Déterminer le développement limité à l'ordre n (n ∈ N∗ ) de la fonction f au voisinage de zéro.
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II.3 Développement limité d'une fonction composée
Proposition 7 (composition )
Soit f et g deux fonctions admettant des DLn (0) de parties régulières respectives Pn (x) et Qn (x).
Si f (0) = 0 alors la fonction g ◦ f admet un DLn (0) dont la partie régulière est obtenue en ne
conservant dans le polynôme Qn (Pn (x)) que les monômes de de degré p où p 6 n
En pratique, on détermine les DLn (0) de g et f :
f (x) = Pn (x) + xn ε1 (x)
et
g(u) = Qn (u) + un ε2 (u)
On remplace ensuite le u de g(u) par Pn (x). On calcule de proche en proche les uk = Pn (x)k pour
1 6 k 6 n, en ne gardant à chaque étape que les termes en xp avec p 6 n.
Exemple : déterminer le DL5(0) de la fonction h dénie sur R par
h(x) = cos(sin x)
III Applications des développements limités
III.1 Calcul de limite, recherche d'équivalent
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III.2 Étude locale d'une fonction au voisinage d'un point, tangente
Si une fonction f , dénie en a, admet un DLn (a) à 3 termes :
f (x) = b0 + b1 (x − a) + bn (x − a)n + (x − a)n ε(x)
III.3 Recherche d'asymptote oblique en ±∞
Pour obtenir l'équation réduite d'une éventuelle asymptote oblique au graphe Cf d'une fonction f
en ±∞ et sa position par rapport à Cf :
sin x
.
1 + x4
3. (a) Calculer le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0,
de la fonction f .
2. Rappeler le développement limité à l'ordre 2 en 0 de la fonction
t 7−→ (1 + t)−1/2 .
1. Donner la limite de f en +∞.
1
1−x
Soit f la fonction dénie sur − , +∞ par :
f (x) = √
2
1 + 2x
On
note
C
la
courbe
représentative
de
la
fonction
f
dans
un repère
→
− →
−
O ; i , j du plan.
Exercice 4
3. Calculer le développement limité à l'ordre 2n+1 en 0 de la fonction Arctan.
1
1 + x2
Calculer ϕ(5) (0)
1
1+u
2. En déduire le développement limité à l'ordre 2n en zéro de f : x 7→
Soit n un entier naturel.
1. Rappeler le DLn (0) de la fonction u 7−→
Exercice 3
On dénit la fonction ϕ sur R par ϕ(x) =
Exercice 2
3. Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la
fonction h : x 7−→ esin x
1−x
2. Calculer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0 de la
1
fonction g : x 7−→ sin x − cos x +
1. Déterminer le développement
limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la
√
fonction f : x 7−→ 1 + x sin x
Exercice 1
IV Exercices
x − ln(1 + x)
x2
x+1
x
Étudier la fonction f dénie par f (x) =
Exercice 7
p
1
x(x + 2) e x .
2. En déduire que la courbe Cf représentant f admet une asymptote
oblique au voisinage de +∞. On donnera l'équation réduite de cette
asymptote et on précisera la position de cette asymptote par rapport
à Cf .
1. Rappeler le DL3 (0) de la fonction u 7−→ ln(1 + u)
Soit f la fonction dénie sur ]0 , +∞[ par f (x) = x2 ln
Exercice 6
3. Que peut-on en déduire pour le graphe de f au point d'abscisse 0 ?
(équation de la tangente, position de la courbe par rapport à la tangente)
2. On note encore f son prolongement par continuité. Donner le développement limité de f à l'ordre 2 en 0.
1. Déterminer lim f (x). En déduire que l'on peut prolonger f par contix→0
nuité en 0.
Soit f la fonction dénie par f (x) =
Exercice 5
(c) Étudier la position de (T) par rapport à C au voisinage de ce
point.
(b) En déduire une équation de la tangente (T) à la courbe C au
point d'abscisse 0.
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