Extrait de ESPACE MATH 5/6 — Analyse – Trigonome
´trie – 6 pe´riodes/semaine
TRIGONOMÉTRIE
Développer certains savoirs trigonométriques pour
enrichir la géométrie plane, l’algèbre et l’analyse
1.
2.
Formules de trigonométrie
Équations et inéquations trigonométriques
1
c De Boeck. — Te
´le
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´trie – 6 pe´riodes/semaine
5e pour tous
1
FORMULES
DE TRIGONOMÉTRIE
Compétences terminales
Savoir, connaître, définir
les formules trigonome
´triques d’addition, de duplication, de Simpson, l’expression des nombres trigonome
´triques de x en fonction
x
de tan ·
2
1.1 FORMULES D’ADDITION
Activités 1 et 2
Cahier, page 2
PROPRIÉTÉ
∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R(1) :
1. cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
2. cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
•
3.
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
4.
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
π
si a =
/ 2 + kπ, b =
/ π2 + kπ, a − b =
/
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
π
si a =
/ 2 + kπ, b =
/ π2 + kπ, a + b =
/
5.
Cahier, page XVIII
6.
(formules de Ptolémée)
π
2
+ kπ •
π
2
+ kπ •.
(Ces formules expriment les nombres trigonométriques d’une somme ou d’une différence
de deux angles ou de deux réels).
De´monstration
1. Sur le cercle trigonome´trique, on nomme
E, le point d’intersection du cercle avec l’axe des abscisses;
´egale a;
A, le point tel que l’amplitude de EOA
B, le point tel que l’amplitude de EOB ´egale b;
´egale a − b.
D, le point tel que l’amplitude de EOD
(1)
«∀ a ∈
R :» se lit «quel que soit le réel a».
2
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FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE
y
A
y
B
1
1
D
B
b
A
a
E
0
O
1
a–b
b
a
O
x
a–b
E
0
1
x
D
Il s’ensuit que les coordonne´es de
de
de
de
E sont (1; 0);
A sont (cos a; sin a);
B sont (cos
b; sin b);
D sont cos(a − b); sin(a − b) .
= a − b = EOD.
D’autre part, BOA
De`s lors, ED = AB
2
•
Cahier, page XXVI
(des angles au centre de même amplitude interceptent des
cordes de même longueur)
2
ou encore ED = AB ,
ce qui donne, en utilisant la formule de la distance• entre deux points,
dans un repe`re orthonorme´ :
2 2
cos(a − b) − 1 + sin(a − b) − 0
= (cos b − cos a)2 + (sin b − sin a)2
ou encore
cos2 (a − b) − 2 cos(a − b) + 1 + sin2 (a − b)
= cos2 b − 2 cos b cos a + cos2 a + sin2 b − 2 sin b sin a + sin2 a
soit
2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2 cos a cos b − 2 sin a sin b
ou enfin
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b.
2. En remplac¸ant b par −b dans la formule pre´ce´dente, on a :
cos a − (−b) = cos a cos(−b) + sin a sin(−b).
Or,
cos(−b) = cos b,
sin(−b) = − sin b.
(nombres trigonométriques d’angles opposés)
Donc,
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b.
3
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1
FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE
3. Pour trouver les formules en «sinus», on peut utiliser les angles comple´mentaires :
π
− (a − b)
sin(a − b) = cos
2
π
= cos
−a +b
2 π
π
= cos
− a cos b − sin
− a sin b
2
2
(nombres trigonométriques d’angles complémentaires)
= sin a cos b − cos a sin b.
4. En remplac¸ant b par −b dans la formule pre´ce´dente, on a :
sin(a + b) = sin a − (−b)
= sin a cos(−b) − cos a sin(−b)
(nombres trigonométriques d’angles opposés)
= sin a cos b + cos a sin b.
cos a =
/ 0
a =
/
π
2
5. tan(a − b) =
+ kπ
` condition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le nume´A
rateur et le de´nominateur de cette fraction par le produit cos a cos b.
Il vient, apre`s simplification,
si a =
/ π2 + kπ, b =
/ π2 + kπ et a − b =
/ π2 + kπ :
tan a − tan b
tan(a − b) =
.
1 + tan a tan b
cos b =
/ 0
b =
/
π
2
sin a cos b − cos a sin b
sin(a − b)
=
cos(a − b)
cos a cos b + sin a sin b
+ kπ
6. En remplac¸ant b par −b dans la formule pre´ce´dente, on a
si a =
/ π2 + kπ, b =
/ π2 + kπ et a + b =
/ π2 + kπ :
tan a − tan(−b)
tan a − (−b) =
1 + tan a tan(−b)
c’est-a`-dire
tan(a + b) =
(nombres trigonométriques d’angles opposés)
tan a + tan b
.
1 − tan a tan b
EXEMPLE
•
Cahier, page XIX
Pour appliquer
1 à 10, page 3
Pour s’autocontrôler
31 à 34, page 4
7π
Soit `
a calculer sin
.
12
7π
π
π
•
On sait que
=
+ .
12
3
4
π
π•
•
On connaıˆt les nombres trigonome
´triques de
et de
.
3
4
7π
π
π
•
On peut alors conclure : sin
= sin
+
12
3
4
π
π
π
π
+ cos sin
= sin cos
3
4
3
4
3
2
2
6+ 2
1
=
·
+ ·
=
.
2
2
2
2
4
4
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FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE
1.2 FORMULES DE DUPLICATION
PROPRIÉTÉS
Activité 3
Cahier, page 2
1
3π
4
O
5π
4
1 ∀ a ∈ R:
• cos 2a = cos2 a − sin2 a,
y
π
4
0
1
x
•
sin 2a = 2 sin a cos a,
•
/ π2 + kπ c.-a
si 2a =
`-d. a =
/
a=
/ π2 + kπ
2 tan a
·
tan 2a =
1 − tan2 a
7π
4
π
4
+ k π2 ·
(Expression des nombres trigonométriques d’un angle en fonction de l’angle moitié).
De´monstration
Si l’on pose a = b, ces formules de duplication sont des conse´quences imme´diates des formules d’addition donnant les nombres trigonome´triques de a + b.
EXEMPLE
2
π
et que a ∈
;π .
3
2
4
5
D’une part, sin2 a = 1 − cos2 a = 1 −
= .
9
9
π
D’autre part, a ∈
;π
⇒ sin a > 0.
2
5
Ainsi,
• sin a =
;
3
5
−4 5
2
• sin 2a = 2 sin a cos a = 2 ·
· −
=
.
3
3
9
Soit `
a calculer sin 2a, sachant que cos a = −
•
•
•
2 ∀ a ∈ R \ {π + 2kπ k ∈ Z} :
a
1 − tan2
2 tan
2
et cos a =
sin a =
a
2
1 + tan
1 + tan2
2
a
2
·
a
2
(Expression du sinus et du cosinus d’un angle en fonction de la tangente de l’angle
moitié).
5
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FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE
De´monstration
a
a
sin a = 2 sin cos
2
2
2 sin a2 cos a2
cos2 2a + sin2
=
2 sin a2 cos a2
cos2 2a
=
cos2 2a + sin2
cos2 2a
2 tan
=
REMARQUE
a
2
a
2
1 + tan2
Pour appliquer
11 à 18, page 3
Pour s’autocontrôler
35 à 39, page 5
a
2
(duplication)
cos a = cos2
(cos2 a + sin2 a = 1)
=
(on divise le
numérateur et le
dénominateur par
a
cos2
qui est non
2
/ π + 2kπ )
nul car a =
(division d’une somme et
d’une différence par un
nombre et simplification)
a
2
a
a
− sin2
2
2
cos2
cos2
a
2
a
2
− sin2
+ sin2
− sin2
cos2 2a
=
cos2 2a + sin2
cos2 2a
cos2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
a
2
=
a
1 + tan2
2
1 − tan2
À l’aide des deux formules précédentes, on peut retrouver la formule
a
2 tan
π
2
si a =
/ + kπ et a =/ π + 2kπ .
tan a =
a
2
1 − tan2
2
1.3 FORMULES DE LINEARISATION
PROPRIÉTÉ
∀ a ∈ R : cos2 a = 12 (1 + cos 2a)
;
sin2 a = 12 (1 − cos 2a).
(Ces formules sont aussi connues sous le nom de «formules de Carnot» ou expression du
sinus et du cosinus d’un angle en fonction de l’angle double).
De´monstration
Lazare Carnot (1753-1823)
Ingénieur militaire
français, professeur de
géométrie et ministre de
la Guerre de Bonaparte.
cos 2a = cos2 a − sin2 a
= cos2 a − (1 − cos2 a)
= 2 cos2 a − 1
Ainsi,
cos2 a = 12 (1 + cos 2a).
EXEMPLE
2+
Pour appliquer
19 à 23, page 4
Pour s’autocontrôler
40 à 42, page 5
cos 15° =
2
3
cos 2a = cos2 a − sin2 a
= (1 − sin2 a) − sin2 a
= 1 − 2 sin2 a.
sin2 a = 12 (1 − cos 2a).
1
1
car cos 15° = (1 + cos 30°) =
2
2
2
2+ 3
3
1+
=
·
2
4
6
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1.4 FORMULES DE FACTORISATION
PROPRIÉTÉ
∀ p ∈ R, ∀ q ∈ R :
p−q
sin p + sin q = 2 sin
2.
sin p − sin q = 2 cos
3.
cos
;
2
2
p−q
p+q
sin
;
cos p − cos q = −2 sin
2
2
sin(p + q)
π
, si p =
/
+ kπ et q =
/
tan p + tanq =
2
cos p cos q
sin(p − q)
π
, si p =
/
+ kπ et q =
/
tan p − tan q =
2
cos p cos q
4.
5.
6.
Thomas Simpson,
mathématicien anglais
(1710-1761), autodidacte
génial.
p+q
1.
cos p + cos q = 2 cos
2
p+q
2
p+q
cos
sin
2
p−q
;
;
2
p−q
π
+ kπ;
2
π
+ kπ.
2
(Ces formules sont aussi connues sous le nom de «formules de Simpson» ou formules de
factorisation d’une somme ou d’une différence).
De´monstration
• (1) `a (4)
(formules d’addition et de soustraction)
sin(a + b) + sin(a − b)
= (sin a cos b + sin b cos a) + (sin a cos b − sin b cos a)
= 2 sin a cos b;
sin(a + b) − sin(a − b)
= (sin a cos b + sin b cos a) − (sin a cos b − sin b cos a)
= 2 sin b cos a;
cos(a + b) + cos(a − b)
= (cos a cos b − sin a sin b) + (cos a cos b + sin a sin b)
= 2 cos a cos b;
cos(a + b) − cos(a − b)
= (cos a cos b − sin a sin b) − (cos a cos b + sin a sin b)
= −2 sin a sin b;
p−q
p+q
et b =
·
En notant a + b = p et a − b = q, il vient a =
2
2
En effectuant ces substitutions, on obtient les quatre premie`res
´egalite´s.
7
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FORMULES DE TRIGONOMÉTRIE
• (5) et (6)
sin q
sin p
+
cos p
cos q
sin p cos q + cos p sin q
=
cos p cos q
sin(p + q)
.
=
cos p cos q
tan p + tan q =
(définition de la tangente d’un angle)
(réduction au même dénominateur)
(formule d’addition)
sin q
sin p
−
cos p
cos q
sin p cos q − cos p sin q
=
cos p cos q
sin(p − q)
·
=
cos p cos q
tan p − tan q =
EXEMPLE
Soit `
a simplifier la fraction
•
•
cos 2a − cos 4a
·
sin a + sin 5a
On factorise le nume
´rateur et le de
´nominateur par les formules de Simpson :
cos 2a − cos 4a = −2 sin 3a sin(−a) = 2 sin 3a sin a;
sin a + sin 5a = 2 sin 3a cos(−2a) = 2 sin 3a cos 2a.
cos 2a − cos 4a
2 sin 3a sin a
sin a
=
=
,
sin a + sin 5a
2 sin 3a cos 2a
cos 2a
π
si sin 3a =
/ 0, c.-a
`-d. si 3a =
/ kπ ou a =
/ k (k ∈ Z).
3
On simplifie :
Pour appliquer 24 à 30, page 4
Pour s’autocontrôler 43 et 44, page 5
Pour chercher 45 à 73, page 7
Venus d’ailleurs 74 à 81, page 9
8
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