Correction DM 3.

Correction DM 3.
Exercice 1.
1.
a) Pour les maths, l’effectif total est 24, nombre pair, on prend pour médiane la demi-somme
des 12e et 13e valeurs. Soit me = 10.
Le premier quartile est égale à la 6e valeur car
N 24

 6 , soit Q1 = 8
4
4
Le troisième quartile est égale à la 18e valeur car
3N
24
 3
 18 , soit Q1 = 12.
4
4
b) Pour la physique, l’effectif total est 24, on prend pour médiane la médiane la demi-somme
des 12e et 13e valeurs. Soit me’ = 10,5.
Le premier quartile est égale à la 6e valeur car
N 24

 6 , soit Q1’ = 7
4
4
Le troisième quartile est égale à la 18e valeur car
3N
24
 3
 18 , soit Q1 = 14.
4
4
c) Diagrammes en boites.
2. Utilisation des écarts-types
a) A l’aide de la calculatrice,
la moyenne m des notes en Maths est 10,38 et la moyenne des notes m' en Physique
est 10,75. Les moyennes en maths et physiques sont sensiblement les mêmes.
b)
L'écart-type s des notes en Maths est 2,87 et l'écart-type s' des notes en
Physiques est 4,50. Les résultats en Maths sont plus homogènes qu’en Physique ou
où la dispersion des notes autour de la moyenne est plus élevée.
Exercice 2.
Quarante candidats passent un examen (noté de 0 à 20). Leur moyenne est de 9 et l'écart-type
est égal à 2. On veut effectuer une péréquation affine afin d'obtenir une moyenne de 10 et un
écart-type de 3.
Notons  xi 1i40 les notes initiales et  yi 1i40 les notes obtenues après changement affine.
On a donc : x = 9 et sx = 2. On pose yi  axi  b où a et b sont à déterminer afin d’avoir
y = 10 et sy = 3
1. Exprimons y en fonction de a, b et x .
y  y2  .........  y40 ax1  b  ax2  b  .............  ax40  b
1 40
y   yi  1

40 i 1
40
40
a  x1  x2  ...........  x40   40b
x  x  ...........  x40

a 1 2
 b  ax  b
40
40
2. Exprimons sy en fonction de a et sx . Pur cela calculons Vy en fonction de Vx.
2
2
2
y12  y 22  .........  y 402
2
2
 ax1  b    ax2  b   .............   ax40  b   ax  b
1 40 2
Vy   y i  y 
y 
40 i 1
40
40
2
2
2
2
2
a x1  x 2  ...........  x40  2ab  x1  x2  ...........  x40   40b
2

 a 2 x  2abx  b 2
40
2
2
2
2
2
2
 x 2  x22  ...........  x40
x

x

...........

x
2
40
 a2 2
 2abx  b 2  a 2 x  2abx  b 2  a 2  2
 x   a 2Vx
40
40





Par suite sy = |a|. sx
9a  b  10
3. a et b vérifient selon l’énoncé : 2 a  3

Premier cas : a > 0
Deuxième cas : a < 0
7

b


9a  b  10
9a  b  10 
2


2 a  3
2
a

3
3

a 

2
47

b

9a  b  10
9a  b  10 
2


2 a  3

2
a

3
3

a  

2
Dans ce cas, une note de 5,6 deviendra 4,9
Dans ce cas, une note de 5,6 deviendra 10,1


4. La péréquation est réalisable si 0 ≤ y ≤ 20
Premier cas : a 
3
2
Deuxième cas : a  
0 ≤ y ≤ 20  0 
3
7
x   20
2
2
3
47
 20
0 ≤ y ≤ 20  0   x 
2
2

7 3
47
7
47
 x
 x
2 2
2
3
3
Soit x compris entre 2,33 et 15,66
3
2
47
3
7
47 3
7
 x 
 x
2
2
2
2 2
2
47
7

x
3
3

Soit x compris entre 0 et 15,66
Remarque : les deux péréquations sont valables, même si la seconde peut paraître fantaisiste.

2

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