2 Automath – Probabilités : notion d’événement
Répondre aux « savoir-faire » au fur et à mesure : se corriger après chaque question !
Objectifs :
le but du travail est de mettre en place des notations et du vocabulaire pour l’étude des probabilités.
Le travail sera terminé lorsque vous saurez expliquer le vocabulaire mis en gras-italique-souligné et
que vous maitriserez les savoir-faire.
II.
Notion d’événements en probabilité
Expérience aléatoire
En latin, « alea » désigne « dé, jeu de dés, hasard, chance ». La locution latine « alea jacta est 1 » signifiant « le
sort en est jeté » ou « les dés sont jetés ».
Issue, univers
Les résultats possibles d’une expérience aléatoire sont appelés les « issues ». L’ensemble de toutes les
issues possibles s’appelle « l’univers » de l’expérience aléatoire.
Savoir-faire 5
Pour une expérience aléatoire, votre manuel note généralement l’univers est noté 𝐸 . Un usage assez
répandu consiste à le noter Ω (lettre grecque se lisant « Omega »2)
1) On lance un dé usuel. L’expérience aléatoire consiste à noter le numéro de la face de dessus. Préciser l’univers.
2) On lance simultanément deux dés. On note la somme des numéros sortis. Préciser l’univers.
1
César aurait prononcé cette phase lorsqu’il franchit le Rubicon en -49 av. J.C. Le Rubicon est une petite rivière marquant la limite
entre la Gaule et l’Italie. Pour protéger Rome, une loi interdisait de passer cette limite avec une troupe en arme. Mais César,
revenant de Gaule et bravant l’interdit, la franchit avec son armée pour marcher sur Rome et renverser Pompée.
Dans les albums d’Astérix, Goscinny et Uderzo, les auteurs, ont très largement repris l’expression. Par exemples dans Astérix
légionnaire « Alea jacta est, comme je dis toujours » ou dans Obélix et compagnie « mon petit bonhomme, les phrases
historiques, alea jacta est et tout ça, c’est moi qui les fait ici ! ».
En français, l’expression « franchir le Rubicon » signifie « faire un pas décisif, irréversible aux conséquences risquées »..
2
L’alpha ( 𝛼 en minuscule et Α en majuscule) et l’oméga ( 𝜔 en minuscule et Ω en majuscule) sont la première et la dernière
lettre de l’alphabet grec classique.
La tradition chrétienne assimile souvent Jésus à « l’alpha et l’oméga » pour signifier qu’il est commencement et fin de toute
chose.
Par exemple, dans le Nouveau testament, Apocalypse 22.13 : « Je suis l’alpha et l’oméga, le premier et le dernier, le
commencement et la fin. ». Ces deux symboles 𝛼 et Ω figurent sur le cierge pascal.
A propos des lettres grecques, il ne vous a pas échappé que :
le mot français « alphabet » est formé en accolant les deux premières lettres de l’alphabet grec : Alpha, notée 𝛼 en
minuscule et Α en majuscule, et Beta, notée 𝛽 en minuscule et Β en majuscule
le mot « périmètre » vient du grec « 𝜋𝜖𝜌𝜄𝜇𝜖𝜏𝜌𝜖» qui commence par 𝜋 .
le mot « somme » commence par un « s ». En grec ancien, ce graphème était noté Σ en majuscule, 𝜎 en minuscule, 𝜍 à
la fin des mots. En mathématiques, on utilise ce symbole pour désigner une somme. Par exemple :
5
𝑛
3
3
3
3
3
∑𝑖 = 1 +2 + 3 + 4 + 5
𝑖=1
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3
∑
𝑘=1
1 1 1 1 1
1
= + + + + ⋯+
𝑘 1 2 3 4
𝑛
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3) On prend au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On note la valeur de la carte tirée sans tenir compte
de sa couleur. Préciser l’univers.
4) On prend au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. On note « Réussite » si la carte est un habillé
et « Echec » sinon. Préciser l’univers.
5) On prend au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes. On note la couleur de la carte tirée. Préciser l’univers.
6) On lance simultanément trois pièces et on note le nombre de « pile », côté de la pièce ayant la valeur
marquée, obtenus. Préciser l’univers.
7) On lance trois fois de suite une pièce. Pour chaque lancer, on note « P » si on a obtenu pile et « F » si on
a obtenu face. Préciser l’univers.
8) Une urne contient 5 boules rouges et 1 boule bleue. On tire avec remise deux boules et note leur
couleur. Préciser l’univers.
9) Une urne contient 5 boules rouges et 1 boule bleue. On tire sans remise deux boules et note leur
couleur. Préciser l’univers.
10) Une urne contient 5 boules rouges et 1 boule bleue. On tire simultanément deux boules et note leur
couleur. Préciser l’univers.
Evénement
Soit 𝐸 l’ensemble de toutes les issues d’une expérience aléatoire.
On appelle « événement » une partie de 𝐸. On note : 𝐴 ⊂ 𝐸
Exemple : On lance un dé usuel. Les issues possibles sont donc : 1, 2, 3, 4, 5, 6
Soit 𝐴 l’événement « le nombre sorti est pair ». Les issues qui réalisent 𝐴 sont 2, 4 et 6.
𝐴 = { 2 ; 4 ; 6 } 𝐴 est bien une partie de 𝐸.
Savoir-faire 6 :
On lance un dé tétraédrique dont les sommets sont numérotés de 1 à 4. On note le numéro du
sommet obtenu.
Numérotation avec les sommets : on lit « 4 » sur ce dé
1)
2)
3)
4)
Préciser l’univers
Ecrire la liste des événements
Quels les événements réalisés par l’issue 2 ?
Combien d’événements ne sont pas réalisés par l’issue 2 ?
Savoir-faire 7 :
On lance deux fois de suite un tétraédrique dont les faces sont numérotés de 1 à 4.
A chaque lancer, on note le numéro de la face inférieure obtenue.
Numérotation sur les faces inférieures : on lit « 4 » sur ce dé
1) Combien y-a-t-il d’issues possibles ?
2) L’issue (1, 2) réalise-t-elle l’événement « les lancers donnent un résultat identique » ?
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3) Lister, les issues qui réalisent l’événement « les lancers donnent un identique » ?
4) Soit A l’événement « la somme des faces obtenues est 4 ». En s’aidant d’un tableau, lister les issues qui
réalisent A.
5) Soit B l’événement « obtenir au moins un 3 ». Lister les issues qui réalisent B.
6) Soit C l’événement « obtenir un 1 ou un 2 ». Lister les issues qui réalisent C.
7) Soit D l’événement « obtenir ni 1, ni 2 ». Lister les issues qui réalisent D.
8) Soit F l’événement « la somme des faces obtenues vaut 1 ». Lister les issues qui réalisent F.
9) Soit G l’événement « le produit des deux faces est inférieur à 20 ». Combien d’issues réalisent G ?
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Pour se corriger
Savoir-faire 5
1)
𝐸 = { 1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6 }
Les dés ci-contre ne sont pas symétriques. Les issues sont bien 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
Mais contrairement aux dés usuels, chaque face ne devrait pas avoir la même
« chance ». On dit alors que le dé est truqué ou que le dé est pipé.
2)
𝐸 = { 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 }
Sur l’illustration, la somme vaut 3.
3) 𝐸 = { 𝐴𝑠, 𝑅𝑜𝑖, 𝐷𝑎𝑚𝑒, 𝑉𝑎𝑙𝑒𝑡, 10, 9, 8, 7 }
Voici un jeu de 32 cartes :
4) 𝐸 = { 𝑅é𝑢𝑠𝑠𝑖𝑡𝑒, 𝐸𝑐ℎ𝑒𝑐 } souvent abrégé en 𝐸 = { 𝑅, 𝐸 }
ou encore en 𝐸 = { 0 ; 1 } « 1 » désignant traditionnellement la réussite et « 0 » l’échec
Voici un jeu de 54 cartes. Les « habillés » sont les 12 figures situées sur la droite.
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5) Le mot « couleur » est très ambigu dans ce contexte :
- S’agit-il du sens littéral ? Dans ce cas : 𝐸 = { 𝑅𝑜𝑢𝑔𝑒, 𝑁𝑜𝑖𝑟𝑒 } souvent abrégé en 𝐸 = { 𝑅, 𝑁 }
- S’agit-il de son enseigne souvent appelé « couleur » par les joueurs de bridge, poker, ….
Dans ce cas, 𝐸 = { 𝑝𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑐𝑜𝑒𝑢𝑟, 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑒𝑎𝑢, 𝑡𝑟è𝑓𝑙𝑒 }
Dans un exercice de probabilité, on précisera son sens.
6) 𝐸 = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 }
L’issue ci-contre est 1. On a fait un seul « pile » avec la pièce
de « 1 euro »3
7) Pour dénombrer toutes les issues, on peut utiliser
un arbre.
Par exemple, en suivant les flèches rouges on
aboutit à l’issue ( 𝐹 , 𝑃 , 𝑃 ) qu’on note parfois
pour plus de concision FPP.
Pour chaque pièce, il y a 2 possibilités donc, au
total, il y a 2 × 2 × 2 issues.
𝐸 = {𝑃𝑃𝑃, 𝑃𝑃𝐹, 𝑃𝐹𝑃, 𝑃𝐹𝐹, 𝐹𝑃𝑃, 𝐹𝑃𝐹, 𝐹𝐹𝑃, 𝐹𝐹𝐹}
8) Appuyons-nous sur un arbre (au moins, on peut l’imaginer).
Le contenu de l’urne est le même à chaque tirage
puisqu’après le premier tirage, on a remis la boule et
mélangé.
𝐸 = { 𝑅𝑅, 𝑅𝐵, 𝐵𝑅, 𝐵𝐵 }
3
Pour les deux autres pièces, vous avec reconnu :
- « la semeuse » qui avec son bonnet phrygien sème du blé symbole d’abondance. Le premier modèle sur une pièce date de 1897 et
a été frappé jusqu’en 1920. Il a été réutilisé lors de l’introduction des « nouveaux francs » en 1960. Puis lors de la mise en circulation
de l’euro en 2002.
- le « coq » est un symbole de la France ( ce serait les romains qui auraient nommé les habitants de la Gaule « gallus » qui signifie
« coq » en latin). On retrouve un coq, comme girouette, sur de nombreux clocher d’église : le coq est le plus intelligent des animaux
dans Job (un livre de la bible), il est symbole de Jean le Baptiste, il incarne Jésus annonçant le jour nouveau de la foi …
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9) Le contenu de l’urne change à chaque tirage !
De plus, si on tire une boule bleue au premier tirage, au second, on aura forcément une boule rouge.
𝐸 = { 𝑅𝑅, 𝑅𝐵, 𝐵𝑅 }
10) Du point de vue des « chances », tirer simultanément deux boules revient à en tirer une puis une autre sans
remise entre les deux.
D’ailleurs, on peut bien aussi imaginer faire le tirage simultané avec les deux mains : la boule de la main gauche
sera notre « première boule » et celle de la main droite notre « seconde boule ».
Cela revient au même qu’à la question 10.
𝐸 = { 𝑅𝑅, 𝑅𝐵, 𝐵𝑅 }
Savoir-faire 6 :
1) L’ensemble de toutes les issues possibles, appelé univers, est : 𝐸 = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }.
2) Les événements de 𝐸 sont :
{2}
{3}
ceux réalisés par une seule issue : { 1 }
{4}
on dit que les événements réalisés par une seule issue sont les « événements élémentaires »
ceux réalisées par deux issues :
{ 1 ;2 }
ceux réalisés par trois issues :
{ 1 ;2 ;3 }
celui réalisé par quatre issue :
{ 1 ;2 ;3 ;4 }
Toutes les issues réalisent cet événement. Quel que soit le résultat du dé, cet événement se produit.
On dit que c’est « l’événement certain ».
sans oublier, l’événement qu’aucune issue ne réalise :
∅
On dit que cet événement est « l’événement impossible »
{ 1 ;3 }
{ 1 ;4 }
{ 1 ;2 ;4 }
{ 2 ;3 }
{ 1 ;3 ;4 }
{ 2 ;4 }
{3;4}
{ 2 ;3 ;4 }
3) Lors de l’expérience, on obtient 2.
Les événements réalisés par cette issue, c’est-à-dire qui se produisent lors de cette expérience, sont :
{ 2 } { 1 ; 2 } { 2 ;3 }
{ 2 ;4 }
{ 1 ;2 ;3 }
{ 1 ;2 ;4 }
{ 2 ;3 ;4 }
{ 1 ;2 ;3 ;4 }
4) Les événements qui ne sont pas réalisés par cette issue sont (liste non demandée) :
{1}
{ 3 } { 4 } { 1 ;3 }
{ 1 ;4 }
{3;4}
{ 1 ;3 ;4 }
Il y en a 8 (Attention, à ne pas oublier l’événement impossible 𝜙).
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𝜙
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Savoir-faire 7 :
1) Il y a 4 possibilités pour chacun des lancers : 4 × 4 = 16. Il y a 16 issues possibles.
Voici la liste (non demandée !)
(1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3); (1; 4)
(2; 1) ; (2; 2) ; (2 ; 3); (2; 4)
(3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3); (3; 4)
(4; 1) ; (4; 2) ; (4; 3); (4; 4)
On pourrait faire un arbre … mais il commence à être compliqué … il faut arriver à
l’imaginer.
2) L’issue (1 ; 2) veut dire que le premier lancer a donné « 1 » et le second « 2 ».
L’issue ne réalise pas l’événement « les lancers donnent un résultat identique ».
3) L’événement « les lancers donnent un identique » est réalisé par les issues:
(1; 1) (2 ; 2) (3 ; 3) (4 ; 4)
Si on note 𝐿 cet événement , on écrira : 𝐿 = { (1; 1) ; (2; 2) ; (3; 3) ; (4; 4) }
𝐿 est bien une partie de l’univers.
4) Pour déterminer les issues réalisant A, on pourrait utiliser un arbre ou s’appuyer sur un tableau (à savoir-faire):
La case rouge correspond à l’issue (2 ; 4).
La première colonne contient la liste des nombres possibles pour le
premier dé. Ainsi, la ligne de la case rouge concerne les cas possibles avec
un résultat de premier dé égal à 2.
La première ligne contient la liste des nombres possibles pour le second
dé. Ainsi, la colonne de la case rouge concerne les cas possibles avec un résultat de second dé égal à 4.
Les autres cases contiennent la somme des deux dés. Par exemple, la case rouge est le résultat de 2 + 4.
Les cases grises correspondent aux issues dont la somme vaut 4.
𝐴 = { (3; 1) ; (2; 2) ; (1 ; 3) }
5) 𝐵 = { (3 ; 1); (3 ; 2); (3 ; 3) ; (3 ; 4) ; (1; 3) ; (2; 3) ; (4 ; 3) }
On pourrait aussi utiliser un tableau si on nous le demandait.
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6) On fait la liste de toutes les issues qui contiennent soit un 1, soit un 2, soit les deux.
𝐶 = { (1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3); (1; 4) ; (2; 1); (3; 1); (4; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 2); (4; 2) }
On pourrait aussi utiliser un tableau si on nous le demandait.
7) 𝐷 = { (3; 3); (3; 4); (4; 3); (4; 4) }
Pour l'utilisation d'un tableau voir les cases blanches précédemment.
On remarque que D est réalisé par toutes les issues qui ne réalisent pas C … et réciproquement.
On dit que les événements D est l’événement contraire de C.
On note 𝐶̅ , l’événement contraire de l’événement 𝐶. On a donc : 𝐷 = 𝐶̅
8) 𝐹 n’est réalisé par aucune issue. 𝐹 est donc l’événement impossible. On note : 𝐹 = ∅
9) Dans les cases du tableau, on a fait apparaitre les produits.
𝐺 est réalisé par toutes les issues puisque le maximum qu’on puisse avoir est 16.
𝐺 est l’événement certain.
𝐺 = { (1; 1) ; (1; 2) ; (1; 3); (1; 4); (2; 1) ; (2; 2) ; (2 ; 3); (2; 4) ; (3; 1) ; (3; 2) ; (3; 3); (3; 4); (4; 1) ; (4; 2) ; (4; 3); (4; 4) }
10) Les issues de 𝐵̅ sont celles qui ne réalisent pas 𝐵 : celles qui ne contiennent pas de 3.
𝐵̅ = { (1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 4); (4; 1); (4; 2); (4; 4)}
Il y a 9 issues qui réalisent 𝐵̅.
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