FLUIDI REALI Durante lo scorrimento di un fluido reale in un condotto si manifestano forze di attrito interno che ne ostacolano il moto. Esse sono proporzionali alla velocità (piccole velocità) o al quadrato della velocità (grandi velocità). Esse sono dovute alle forze di coesione fra le molecole del fluido ed alle forze di attrito fra le molecole del fluido e le pareti del condotto. Tali forze di resistenza sono l’origine di una proprietà del fluido detta viscosità e producono una perdita di energia che si trasforma in calore FLUIDI REALI Quando un liquido reale scorre in un condotto cilindrico a bassa velocità (moto laminare), tutto avviene come se cilindri concentrici scorressero l’uno dentro l’altro con velocità decrescente dal centro verso la periferia VISCOSITA’ Si consideri un liquido viscoso che scorre in un condotto orizzontale a sezione costante, di forma cilindrica e di raggio R. Sperimentalmente per mantenere costante la velocità occorre applicare una forza che eguagli in modulo la forza d’attrito Fattrito, per la quale vale vale dv Fattrito = ηA dr dove A è la superficie laterale del cilindretto di fluido di raggio r e lungo l. η coefficiente di viscosità −2 −2 F / A MLT L −1 −1 [η ] = = = ML T −1 −1 LT L v /δ mks cgs kg /(s••m) = Pa s g /(s••cm) = poise P2 r R P1 P1 > P2 l 1 poise=0.1 Pa s REGIME LAMINARE η funzione della temperatura t (°C) η (poise) acqua......... 0°C ........ 0.0178 10°C ........ 0.0130 20°C ........ 0.0100 ≈ plasma alcool ........ 20°C ........ 0.0125 etere .......... 20°C ........ 0.0023 mercurio .. 20°C ........ 0.0157 glicerina ... 15°C ........ 2.340 aria ........... 15°C ........ 0.00018 sangue ........................... 0.0400 (valore ematocrito 40%) LEGGE DI HAGEN-POISEUILLE L’attrito interno produce una caduta di pressione secondo la legge di Hagen-Poiseuille ∆p = p1 − p2 = R ⋅ Q Condotto cilindrico 8 ⋅η ⋅ d R= 4 π ⋅r R= resistenza idraulica η = coefficiente di viscosità d = lunghezza del condotto r = raggio del condotto REGIME LAMINARE FORZE di ATTRITO → → FA = – η A v δ A → v2 δ → v1 → → v – v = velocità relativa = 1 v2 ηcoefficiente di viscosità → A −2 −2 F A MLT L / −1 −1 [η ] = = = ML T −1 −1 LT L v /δ mks cgs kg /(s••m) = Pa s g /(s••cm) = poise 1 poise=0.1 Pa s REGIME LAMINARE Q p1 1 2 p1 > p2 formula di Poiseuille π r4 Q= 8ηl (p1 – p2) l Q ∝∆p ∝∆ Q = ∆p/R profilo della velocità → asse del condotto 3 p2 r moto v parabolico silenzioso Resistenza idraulica di un condotto MOTO TURBOLENTO lamine spezzate e vortici lamine e profilo parabolico di velocità v > vc velocità critica Non esiste una trattazione esatta del regime turbolento, ma solo regole empiriche, la principale delle quali dice che una grandezza adimensionale NR (numero di Reynolds) permette di calcolare la velocità critica vc per cui si passa da regime laminare a turbolento. dRv NR = N R < 103 laminare η N R > 1.5 ⋅ 103 103 < N R < 1.5 ⋅ 103 turbo lento instabile Una buona approssimazione: MOTO STAZIONARIO di un LIQUIDO REALE e OMOGENEO in un CONDOTTO RIGIDO v > vc REGIME LAMINARE - lamine e profilo velocità parabolico - Q ∝ ∆p - silenzioso (definizione e conservazione dell'energia ) REGIME TURBOLENTO - vortici - Q ∝ ∆p - rumoroso (alta dissipazione di energia per attrito) CIRCUITI IDRAULICI (1) P = RQ Equazione del circuito P= pressione motrice R= resistenza idraulica Q= portata Questa equazione, ricavata da HagenPoiseuille, ha una validità più generale e permette quindi di risolvere i circuiti idraulici CIRCUITI IDRAULICI (2) R1 R2 R1 R2 Due resistenze idrauliche sono in serie, quando attraverso esse passa la stessa portata Q Due resistenze idrauliche sono in parallelo, quando sono poste alla stessa pressione P CIRCUITI IDRAULICI (3) R1 R2 P1 = R1Q1 e P2 = R2Q2 RT P = RT Q P = P1 + P2 Q = Q1 = Q2 RT = R1 + R2 R1 RT R2 P = RT Q P1 = R1Q1 e P2 = R2Q2 P = P1 = P2 Q = Q1 + Q2 1 1 1 = + RT R1 R2 ⇔ RT = R1R2 R1 + R2 ESEMPI: capillari Capillari intestinali del cane r = 4 ⋅ 10 −4 cm l = 10 −1 cm η = 1.6 ⋅ 10−5 torr s Rcapillare = 1.6 ⋅ 108 torr s cm -3 r = 5 ⋅ 10 −2 cm l = 10 cm Rarteria = 65 torr s cm -3 Nel sistema circolatorio dei mammiferi, appena 7 N = 5 ⋅ 10 che è possibile dal punto capillari di vista meccanico, si -3 RTotcapillari = 3.2 torr s cm osserva la capillarizzazione. DISTRIBUZIONE DI FLUIDI La differenza sostanziale fra il sistema circolatorio ed una rete cittadina di distribuzione dell’acqua è che, nel caso animale, i tubi sono flessibili e quindi occorre garantirne la pervietà perché la pressione esterna (760 mmHg) tende a chiuderli. Ci sono due possibilità: 1. alta pressione e bassa velocità. Si esercita all’interno dei tubi una pressione di circolo maggiore di quella esterna (“si gonfiano”) e quindi si fa circolare il sangue; 2. bassa pressione ed alta velocità. Il tubo è chiuso davanti e dietro al bolo di sangue ed aperto dalla pressione legata alla velocità (1/2ρ ρV2). LAVORO MOTORE DEL CUORE (1) Il cuore è diviso in quattro scomparti: atri e ventricoli.Esso funziona come una pompa sincrona, compiendo ciclicamente una contrazione (sistole) seguita da un periodo di rilassamento (diastole) LAVORO MOTORE DEL CUORE (2) Consideriamo il ventricolo sinistro: A B il ventricolo è vuoto e rilassato si riempie attraverso la mitrale dall’atrio sinistro P(mmHg) 120 80 D C 5-10 A B 25 85 V(cm3) B C la mitrale si chiude ed il ventricolo si contrae isometricamente C D si apre la semilunare aortica ed il ventricolo immette in aorta 60 cc di sangue D A il ventricolo è vuoto e contratto, si rilassa e ricomincia il ciclo LAVORO MOTORE DEL CUORE (3) P(mmHg) 120 100 80 D’ C’ D C L = F∆x = PS∆x = P∆V ⇓ Area della curva nel piano P - V Pv 5-10 A 25 B ∆V 85 V(cm3) Quindi il lavoro del ventricolo lo possiamo scrivere come Ls = Pv ∆V dove Pv è la pressione media in ventricolo. LAVORO MOTORE DEL CUORE (4) Normalmente non si conosce Pv, ma Pa la pressione media in aorta (sfigmomanometro). Applicando il teorema di Bernoulli alle sezioni ventricolo sinistro ed aorta possiamo scrivere 1 1 Pv + ρvv2 = Pa + ρva2 2 2 Misure di Medicina Nucleare permettono di affermare che vv ≅ 0 quindi 1 Pv = Pa + ρva2 2 In conclusione per il lavoro del ventricolo sinistro avremo 1 2 Ls = Pa ∆V + ρva ∆V 2 LAVORO MOTORE DEL CUORE (5) 1 2 Ls = Pa ∆V + ρva ∆V 2 Diamo dei numeri ρ sangue = 1.1 ⋅ 103 Kgm −3 Ls = 0.79 + 0.003 ≅ 0.8 J Quindi il 99.6% del lavoro del ventricolo sinistro serve a mantenere la pressione di circolo LAVORO MOTORE DEL CUORE (6) Aggiungendo il contributo del cuore destro, la cui pressione ventricolare è circa 1/5 di quella del cuore sinistro, e considerando che (ovviamente) la gittata è 1 costante: Ld = Ls ≅ 0.16 J 5 LT = 0.8 + 0.16 ≅ 1 J Se consideriamo una frequenza media di circa 60 cp/min, la potenza sarà pari a circa 1 W Potenza totale assorbita 5.5 W (uomo di circa 70 Kg) 3 W perdite in calore 2.5 W lavoro 1.5 W tensione di parete 1 W lavoro meccanico TENSIONE SUPERFICIALE (1) Non solo i solidi, ma anche i liquidi oppongono una certa resistenza ad essere allargati. Questo perché le molecole componenti il liquido tendono ad attrarsi. l r F r P Consideriamo un telaio fatto da un filo metallico piegato ad U ed un cursore mobile di peso P. Immergiamo questo telaio in un liquido. Una sottile lamina di liquido riempie l’area tratteggiata di figura. In funzione del tipo di liquido, se si sceglie il peso del cursore in maniera opportuna, è possibile che lo stesso cursore sia in equilibrio. r r F=P TENSIONE SUPERFICIALE (2) Si definisce tensione superficiale τ la forza per unità di lunghezza esercitata da una superficie di fluido. Quindi se il cursore è lungo l per il modulo della forza F avremo l r F r P F = 2 lτ ⇒ L=F∆ ∆x=2l∆ ∆xττ S=2l∆ ∆x τ=L/S cioè è eguale al lavoro per unità di superficie che ci vuole per aumentare la superficie libera di un liquido F τ= 2l τ non è una forza [τ ] = N ⋅ m−1 l ∆x TENSIONE SUPERFICIALE (3) Tensione superficiale alla temperatura di 20 oC rispetto all’aria H 2O Hg τ = 7.3 ⋅ 10 −2 τ = 0.5 Nm −1 Diamo dei numeri Nm −1 LEGGE DI LAPLACE (1) Nel caso di una membrana sferica si può porre in relazione la pressione transmurale P con la tensione superficiale del materiale che costituisce la membrana rispetto al materiale che si trova all’interno della sfera Pext Pint r Pint > Pext P = Pint − Pext Supponiamo la bolla divisa a metà 2τ P= r r FP r Fτ r Fτ = 2πrτ r FP = πr 2 P LEGGE DI LAPLACE (2) Dunque, considerata una bolla se la sua pressione aumenta o il suo raggio è minore oppure la tensione della sua parete è maggiore 2τ P= r TENSIOATTIVI Si possono fare le “bolle di sapone”, ma non le “bolle d’acqua”: perché? Il sapone è un tensioattivo I tensioattivi sono sostanze che immerse in un liquido ne abbassano la tensione superficiale. Per la stessa ragione l’acqua saponata è più detergente della acqua pura.
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