EPFL - SMA Théorie du calcul stochastique Prof. R

EPFL - SMA
Prof. R. Dalang
Th´eorie du calcul stochastique
AUTOMNE 2014
S´
erie 5
20 octobre 2014
Exercice 1. (Int´
egrale d’une fonction en escalier par rapport `
a une fonction `
a
variation born´
ee)
(a) Soit g : R+ → R telle que g = g1 − g2 , o`
u g1 et g2 sont des fonctions croissantes.
Montrer, par un calcul direct, que g est (localement) a` variation born´ee.
(b) Soit g une fonction continue a` variation born´ee et soit 0 t1 < t2 t. Montrer
que
t
0
1]t1 ,t2 ] (s) dg(s) = g(t2 ) − g(t1 ).
(c) Soit g une fonction continue `a variation born´ee. Soit 0 = t0 < t1 < · · · < tn = t et
soit f la fonction en escalier d´efinie par
n
ai 1]ti−1 ,ti ] (s), o`
u ai ∈ R, i = 1, . . . , n.
f (s) =
i=1
D´eduire du point (b) que
n
t
ai (g(ti ) − g(ti−1 )).
f (s) dg(s) =
0
i=1
Exercice 2.
Soit M = (Mt , t ∈ R+ ) une martingale continue telle que E(Mt2 ) < +∞, pour tout t ∈ R+ .
` l’aide du th´eor`eme de d´ecomposition de Doob, montrer qu’il existe un processus
(a) A
croissant, continu et adapt´e ( M t , t ∈ R+ ) avec M 0 = 0, tel que (Mt2 − M t , t ∈ R+ )
est une martingale. (Le processus ( M t ) est appel´e la variation quadratique de M ).
(b) Montrer que pour s < t,
E((Mt − Ms )2 |Fs ) = E(Mt2 − Ms2 |Fs ) = E( M
t
− M s |Fs ).
Tourner la page s.v.p.
1
Exercice 3. (Int´
egrale stochastique d’un processus pr´
evisible simple par rapport `
a une martingale)
Soit (Mt , t ∈ R+ ) une martingale continue telle que E(Mt2 ) < +∞, pour tout t ∈ R+ .
´
Etant
donn´e un processus pr´evisible simple (Ht , t ∈ R+ ) tel que
n
Ht =
Xi 1]ti−1 ,ti ] (t),
i=1
o`
u 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T et Xi est Fti−1 -mesurable et born´ee pour tout i = 1, . . . , n,
on pose
n
Ä
(H · M )T =
ä
Xi Mti − Mti−1 .
i=1
(a) Montrer que H → (H · M )T est lin´eaire.
(b) Montrer que E ((H · M )T ) = 0.
(c) Soit ( M t , t ∈ R+ ) la variation quadratique de (Mt ). Montrer que
Ä
E (H ·
M )2T
ä
T
Ç
=E
2
0
Hs2
å
dM
s
.
Carlo Ciccarella

Download Report