Une mise en situation : la pétanque

Feuille de TD n˚10
MP Lyc´ee Clemenceau
Novembre 2014
Exercice 1 : Soit f : IR → IR une fonction convexe. Montrer que f est continue.
1 x f (x)
Exercice 2 : Soit f : IR → IR convexe et x < y < z. Montrer que 1 y f (y) > 0.
1 z f (z) Exercice 3 : Fonction convexe born´ee
1) Soit f : IR+ → IR convexe et born´ee. Montrer que f est d´ecroissante.
2) Soit f : IR → IR convexe et born´ee. Montrer que f est constante.
Exercice 4 : f convexe major´ee par g affine
Soit f : IR+∗ → IR convexe et g : IR+∗ → IR affine.
On suppose : ∀ x > 0, f (x) ≤ g(x) et f (1) = g(1).
Montrer que f = g.
´
Exercice 5 : Etude
a l’infini
`
Soit f : IR → IR deux fois d´erivable telle que : f ≥ 0, f 0 ≥ 0, f 00 ≥ 0.
f (x)
´
1) Etudier
l’existence des limites (dans IR ) en +∞ de f (x), f 0 (x),
.
x
2) Mˆeme question pour les limites en −∞ de f (x), f 0 (x), et xf 0 (x).
Exercice 6 : Limite de f (x) − xf 0 (x)
Soit f : IR → IR convexe d´erivable.
1) Montrer que p = lim (f (x) − xf 0 (x)) existe.
x→+∞
2) On suppose p fini. En utilisant le fait que f (x) − xf 0 (x) est born´ee au voisinage de +∞, montrer
f (x)
que
et f 0 (x) admettent une mˆeme limite m finie en +∞.
x
3) Montrer alors que f (x) − mx − p −→ 0.
x→+∞
Exercice 7 : Soit f : IR+ → IR d´erivable, concave et v´erifiant f (0) > 0. Montrer que f est sousadditive i.e.
∀x, y ∈ R+ , f (x + y) 6 f (x) + f (y)
1

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