Übungsaufgaben Ulmer Universitätstrainingscamp

Aufgaben zum Mathematik-Trainingscamp 2015
Beweise
Aufgabe 1. Zeige durch einen direkten Beweis für n ∈ N:
n
X
k=
k=1
n(n + 1)
.
2
Aufgabe 2. Zeige durch einen direkten Beweis für q ∈ R \ { 1 } und n ∈ N0 :
n
X
qk =
k=0
1 − q n+1
.
1−q
Aufgabe 3. Zeige durch vollständige Induktion oder auch, wenn möglich, durch einen
direkten Beweis für a, b ∈ R, n ∈ N0 :
n X
n k n−k
n
(a + b) =
a b
.
k
k=0
Aufgabe 4. Zeige durch vollständige Induktion (oder auch, wenn möglich, durch einen
direkten Beweis) n ∈ N0 :
a) n2 + n ist gerade.
b) n3 − n ist durch 6 teilbar.
c) 5n + 7 ist durch 4 teilbar.
Aufgabe 5. Schreibe mit dem Summenzeichen und zeige durch vollständige Induktion:
a) 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2 .
b) 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 2n = 2n+1 − 1.
c) 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
n(n + 1)(n + 2)
.
3
Aufgabe 6. Schreibe mit dem Produktzeichen und zeige durch vollständige Induktion:
a) 41 · 42 · · · · · 4n = 2n(n+1) .
1
1
1
1
b) 1 −
· 1−
· ··· · 1 −
= für n ≥ 2.
2
3
n
n
1
2
3
n−1
1
c) 1 −
· 1−
· 1−
· ··· · 1 −
=
für n ≥ 2.
2
3
4
n
n!
1
Beweise
Aufgabe 7. Zeige durch vollständige Induktion:
a) n2 − 2n − 1 > 0 für N 3 n ≥ 3.
b) 2n > n3 für N 3 n ≥ 10.
c) n! > 2n für N 3 n ≥ 4.
Aufgabe 8. Wählt man aus der Menge der Menschen irgendeine Gruppe von n Personen
aus, so haben diese alle dieselbe Haarfarbe!
Der “Beweis” wird durch Induktion nach n geführt:
Im Falle n = 1 ist nichts zu zeigen.
Nun sei die Aussage für n wahr.
Für n + 1 folgt sie dann so: Wählt man n + 1 Personen P1 , . . . , Pn+1 aus, so haben
nach Induktionsvoraussetzung P1 , . . . , Pn dieselbe Haarfarbe, aber auch P2 , . . . , Pn+1 ,
und damit hat Pn+1 dieselbe Haarfarbe wie Pn und somit P1 , . . . , Pn .
Wo steckt der Fehler?
2

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