Übungsblatt 3 - Universität Zürich

Universität Zürich, 14. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium
Übungsblatt 3: Folgen
Aufgabe 1.
Wir betrachten die Folge {xn } mit xn :=
2−n
n .
(a) Beweise, dass xn → −1 (indem du die Denition 3.1 im Skript auf Seite 29 verwendest).
(b) Wie gross muss man N wählen, damit das Cauchy-Kriterium für ε = 0.5, ε = 0.2 und
ε = 0.01 erfüllt ist?
Aufgabe 2.
(a) Berechne den Grenzwert der Folge {xn } mit xn :=
n2 −n+5
.
2n2 +3n−27
(b) Was ist falsch an folgender Argumentation: xn ist der Quotient der beiden Folgen an :=
n2 − n + 5 und bn := 2n2 + 3n − 27. Es gelten an → ∞ und bn → ∞. Daher ist der
Grenzwert von xn der Wert ∞
∞ , der keinen Sinn ergibt (vgl. Theorem 3.6 im Skript auf
Seite 29). Also ist {xn } nicht konvergent.
+1
(c) Berechne die Grenzwerte der Folgen {yn } und {zn } mit yn := nn−1
− nn2 −n+1
und zn :=
+n+1
3
3
(n − 1) − (n − 2). Weshalb ist der Grenzwert nicht ∞ − ∞, also nicht deniert?
2
3
Aufgabe 3.
(a) Wie lautet die Negation der Denition der Cauchy-Folgen (Seite 30 im Skript)?
(b) Zeige, dass die Folge −1, 1, −1, 1, −1, 1, . . . keine Cauchy-Folge ist.
Zeige, dass die beiden Folgen xn = n2 + cos(n) und yn = n1 + cos(πn) keine
Cauchy-Folgen sind. Da die beiden Folgen keine Cauchy-Folgen sind, konvergieren sie auch
nicht. Dennoch ist ihr Verhalten für n → ∞ unterschiedlich. Erläutere dies.
Aufgabe 4.
Aufgabe 5.
(a) Zeige, dass für alle reellen Zahlen u, v die Ungleichung |u + v| ≤ |u| + |v| gilt.
(b) Zeige, dass für alle reellen Zahlen u, v, w die Ungleichung |u − w| ≤ |u − v| + |w − v| gilt.
Aufgabe 6.
Ungleichung
Das Sandwich-Theorem besagt, dass wenn für 3 Folgen {xn }, {yn } und {zn } die
yn ≤ xn ≤ zn
gilt für alle n ∈ N und limn→∞ yn = limn→∞ zn = x, so gilt auch limn→∞ xn = x.
Beweise das Sandwich-Theorem.
Aufgabe 7.
Verwende das Sandwich-Theorem um folgende Grenzwerte zu berechnen.
2)
(a) limn→∞ n+sin(n
n
(b) limn→∞ nn!n .
Aufgabe 8.
(a) Es sei n ∈ N \ {0}. Zeige: Keine der n aufeinanderfolgenden Zahlen
(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, . . . , (n + 1)! + (n + 1)
ist prim. Folgerung: Es gibt beliebig grosse Primzahllücken.
(b) Beweise, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Hinweis: Durch Widerspruch! Nehme an {p0 , . . . , pm } sei die Menge aller Primzahlen und
führe dies zum Widerspruch. Betrachte dazu p = p0 · p1 · · · · · pm + 1.
Aufgabe 9.
(a) Wenn p, p + 10 und p + 14 Primzahlen sind, wie gross ist dann p?
(b) Zeige, dass für jede Primzahl p ≥ 5 die Zahl p2 − 1 durch 24 teilbar ist.
(c) Stimmt es, dass n2 + n + 41 für jede natürliche Zahl n eine Primzahl ist?

Download Report