TU Berlin • Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 • Straße des 17. Juni • 10623 Berlin Hochschultag Wie funktioniert ein Laser? Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni an der Fakultät II der Technischen Universität Berlin Marcel König, Filiz Büyükcaglar und Markus Rausch 3. Dezember 2009 Ansprechpartner E-Mail Markus Rausch Web [email protected] www.schuluni.tu-berlin.de Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Grundelemente der Atomphysik 2.1 Das Bohr’sche Atommodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Quantensprünge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 2 3 Das 3.1 3.2 3.3 Atom in der Quantenmechanik Zustandsfunktion und Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schrödingergleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Das Wasserstoffproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 4 5 4 Der 4.1 4.2 4.3 Laser Aufbau eines Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kurzer Einschub: stimulierte Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funktionsweise eines Lasers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 7 8 5 Zusammenfassung 9 Wie funktioniert ein Laser? Seite 1 6 Aufgaben 10 7 Lösungen 10 1 Einleitung Wir wollen uns im Rahmen dieses Workshops mit der Funktionsweise eines Lasers beschäftigen. Zunächst werden wir physikalische Grundlagen erarbeiten und sie dann später zum Verstehen eines Lasers benutzen. Laser werden heutzutage in vielen Bereichen eingesetzt, angefangen natürlich in Forschung, weiter in der Industrie, aber auch in der Medizin. Selbst in gebräuchlichen Alltagsgegenständen lassen sich Laser finden (z.B. CD-Spieler, Messgeräte). Die vorliegende Arbeit führt in die Grundelemente der Atomphysik ein, geht einen kleinen Umweg über die Quantenmechanik und erklärt die Funktionsweise eines Lasers. Dabei ist zu beachten, dass das Niveau an die Sekundarstufe II orientiert ist, die Atomphysik sich am Bohr’schen Atommodell bedient und der Laser in eher gröberen Zügen besprochen wird. Das Kapitel über die quantenmechanische Beschreibung des Wsserstoffatoms enthält im Wesentlichen nur Ergebnisse, Rechungen werden nicht durchgeführt. Geneigte Leser finden in der Fachliteratur mehr Informationen. Auch wenn alles gründlich erarbeitet worden ist; Fehler lassen sich nicht vermeiden. Sollte ein Fehler entdeckt worden sein, so bitte ich, mir diesen via E-Mail ([email protected]) mitzuteilen. Vielen Dank im Voraus! 2 Grundelemente der Atomphysik Unter dem Begriff “Atom” wollen wir die Grundeinheit von Materie verstehen, die aus einem Atomkern und einer Atomhülle besteht. Der Atomkern setzt sich aus positiven und neutralen Ladungsträgern (Protonen, Neutronen) zusammen und stellt gleichzeitig den massereichen Mittelpunkt des Atoms dar. In der Atomhülle wiederum befinden sich negative Ladungsträger (Elektronen). Die Beschreibung des Atoms mit postiven Atomkern und negativer Atomhülle beherbergt einen Widerspruch in sich. Aus der Schulphysik ist bekannt, dass sich gegensätzlich gepolte Ladungen anziehen, d.h. die negativen Elektronen würden in den positiven Atomkern stürzen. Das Atom würde dann zerfallen. Dass dies jedoch nicht passiert, entnehmen wir unmittelbar unserer Erfahrung - Materie bleibt (makroskopisch) stabil und fällt nicht einfach in sich zusammen. 2.1 Das Bohr’sche Atommodell Aus diesem Grund löste sich Niels Bohr1 teilweise von der Gültigkeit der klassischen Mechanik und postulierte mit stabilen Umlaufbahnen von Elektronen um den Atomkern seine Vorstellung von Atomen. Die Existenz von stabilen Bahnen ist dabei nur eines von insgesamt drei Postulaten, die wir jetzt besprechen wollen. Eine kleine Anmerkung sei aber noch gestattet. Bis jetzt haben wir uns noch nicht gefragt, was “stabil” im Sinne von Bohr bedeutet. Stabil bedeutet natürlich zunächst, dass das Elektron nicht in den Atomkern stürzt. Es bedeutet aber auch, dass das Elektron bei der Bewegung auf dieser Bahn keine Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung abgibt. Diese Annahme ist keinesfalls selbstverständlich, wenn man bedenkt, dass beschleunigte Ladungen elektromagnetische Strahlung emittieren. Kommen wir nun aber zu den Bohr’schen Postulaten. 1. Elektronen bewegen sich strahlungsfrei auf stabilen Kreisbahnen um den Atomkern. 1 Niels Henrik David Bohr (∗ 7. Oktober 1885; † 18. November 1962) war ein dänischer Physiker Wie funktioniert ein Laser? Seite 2 2. Der Radius der Bahnen ändert sich nicht kontinuierlich, sondern sprunghaft. Der Wechsel (“Quantensprung”) von einer auf die andere Bahn ist durch Aufnahme bzw. Abgabe einer diskreten Energie möglich, es gilt: hν = En − Em . Der Radius steht also für ein Energieniveau. 3. Die Bahnen sind nur dann stabil, wenn der Bahndrehimpuls der Elektronen ein ganzzahliges Vielfaches des reduzierten Planck’schen Wirkungsquantums ist, also L = n mit n ∈ N.2 Abbildung 1: Schematische Darstellung des Bohr’schen Atommodells Elektronen bewegen sich also nach der Vorstellung von Bohr auf stabilen, diskreten Bahnen um den Atomkern, ohne dabei Strahlung abzugeben3 . Die Bahnen haben dabei einen bestimmten Abstand von Atomkern und entsprechen einer gewissen Energie EB , nämlich der Bindungsenergie des Elektrons, das sich auf dieser Bahn bewegt. Dabei ist EB = Ze 2 1 , 4π 0 r (2.1) wobei Z der Kernladungszahl, e der Elementarladung, 0 der Dielektrizitätskonstante im Vakuum und r dem Radius der Bahn entspricht. Mit (2.1) können wir sofort feststellen: je näher die Bahn am Atomkern ist (r klein), desto größer ist die Bindungsenergie EB des Elektrons und desto mehr Energie wird benötigt, um das Elektron aus dieser Bindung zu lösen. Für größere Werte von r entspricht die Aussage dem Gegenteil. 2.2 Quantensprünge Widmen wir uns jetzt den Übergängen der Elektronen von einer auf die andere Bahn, sog. Quantensprüngen. Wir wissen bereits durch das 2. Bohr’sche Postulate, dass Übergänge zwischen stabilen Umlaufbahnen stattfinden. Doch gehen die Elektronen von einer tieferen Bahn auf die nächsthöhere oder umgekehrt? Beide Prozesse sind möglich. Betrachten wir zunächst den Fall, in dem ein Elektron von einer niedrigeren Bahn auf die nächsthöhere springt. Wir erinnern daran, dass niedrigere Bahn bedeutet, dass das Elektron auf dieser Bahn eine höhere Bindungsenergie besitzt. Frei nach dem Motto “Von nichts kommt nichts”, 2 3 Dieses Postulat wird häufig auch Auswahlbedingung genannt. Die Quantenmechanik liefert, dass es Orbitale gibt, also Flächen gleicher Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Wie funktioniert ein Laser? Seite 3 können wir nicht davon ausgehen, dass das Elektron freiweillig seinen energetisch stärker gebundenen, also günstigeren, Zustand gegen den eines energetisch schwächer gebundenen austauscht. Von außen muss also Energie zugeführt werden, um das Elektron zu diesem Übergang zu bewegen. Dies kann in Form von Licht einer bestimmten Frequenz ν oder durch schnelle Elektronen erfolgen. Wir betrachten hier nur die Anregung durch Licht, also durch ein Photon. Dieses Photon hat über E = hν (2.2) ein bestimmte Energie. Dabei ist h das Planck’sche Wirkungsquantum und ν die Frequenz, im weitesten Sinne die Farbe des Lichts. Diese Energie muss exakt der Energiedifferenz der beiden Bahnen entsprechen. Dann und genau dann kann das Elektron diesen Übergang vollführen. Abweichungen der Energie werden nicht toleriert, das Elektron springt nur dann, wenn das Atom genau die Energiedifferenz der beiden Bahnen aufnimmt4 . Nun stellen wir uns die Frage, was mit dem Elektron auf dieser höheren Bahn passiert. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit für diesen Zustand (also für das Elektron auf dieser Bahn) ist wesentlich geringer als auf der niedrigeren. Die Verweildauer des Elektrons ist also kurz. Es fällt wieder auf die ursprüngliche Bahn zurück und strahlt bei diesem Übergang wieder ein Photon ab, das die gleichen Eigenschaften wie jenes besitzt, mit dem das Elektron auf die höhere Bahn gehoben wurde. Man nennt diese Vorgänge Absorption und Emission. Das Atom absorbiert ein Photon und das Elektron wird auf die nächsthöhere Bahn gehoben. Kurze Zeit später fällt das angehobene Elektron unter Emission eines Photons der gleichen Energie spontan zurück ins Ausgangsniveau (vgl. Abb. 2). Abbildung 2: Absorption und Emission Nach der Vorstellung von Bohr hat Absorption und Emission also etwas mit Sprüngen der Elektronen auf verschiedene Energieniveaus zu tun. Im nächsten Abschnitt werden wir das Modell von einem Atom in einer etwas anderen Art und Weise betrachten, dazu benötigen wir die Quantenmechanik. 3 Das Atom in der Quantenmechanik Die Bohr’schen Postulate mögen zwar sehr einleuchtend sein, sie können allerdings einige physikalische Effekte nicht erklären. Als erster Punkt wäre zu nennen, dass diese Postulate nur dann gelten, wenn 4 Die Eigenschaft einer Größe nur in diskreten Werten vorkommen zu können (Quantisierung), ist der elementare Wesenszug der Quantenmechanik. Wie funktioniert ein Laser? Seite 4 das Atom lediglich ein Elektron besitzt - das Wasserstoffatom. Mehrelektronen-Systeme können mit dem Bohr’schen Atommodell nicht erfasst werden, damit verbunden, können chemische Bindungen ebenfalls nicht erklärt werden. Ein ganz wesentlicher Punkt ist die Tatsache, dass es aufgrund der 1927 von Werner Heisenberg formulierten Unschärferelation keine festen Bahnen geben kann. Die Unschärferelation sagt aus, dass der Ort und der Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig exakt gemessen werden können. Anders ausgedrückt gilt ∆x · ∆p ≥ , (3.1) 2 das Produkt aus Orts- und Impulsunschärfe ist also größer oder gleich einer Naturkonstanten. Wenn wir die Position (x) des Teilchens wissen, so können wir den Impuls (p) nicht beliebig genau messen - und umgekehrt. Dieser Umstand trägt dafür Sorge, dass es keine festen Bahnen im Bohr’schen Sinne geben kann. Aufgrund dieser Probleme wollen wir in diesem Abschnitt ein paar Worte über die quantenmechanische Beschreibung des Wasserstoffatoms verlieren. Dazu benötigen wir jedoch noch einige Begriffe, die in den nächsten Abschnitten eingeführt werden. 3.1 Zustandsfunktion und Quantenzahlen Im Vergleich zur Newton’schen Mechanik, wo der Zustand eines Körpers z.B. durch seinen Impuls p gegeben ist, handelt es sich bei dem quantenmechanischen Zustand um einen abstrakteres Gebilde. In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Quanteobjekts (in unserem Fall: Teilchen) durch eine Wellenfunktion ψ beschrieben5 und ergibt mit ρ = |ψ|2 = ψ ∗ ψ (3.2) die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte ρ des Teilchens, das durch diese Wellenfunktion beschrieben wird. Mathematisch gesehen, ist die Wellenfunktion ein Element eines linearen Raums, darauf wollen wir hier aber nicht weiter eingehen. Die Wellenfunktion wird durch sog. Quantenzahlen beschrieben. Es gibt vier Stück an der Zahl, wir stellen sie gegenüber: Hauptquantenzahl n Nebenquantenzahl Magnetquantenzahl m Spinquantenzahl s n ∈ {1, 2, 3...} ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1} m ∈ {− , − + 1, ..., − 1, } s ∈ {− 12 , 12 } Die Hauptquantenzahl n beschreibt im Schalenmodell die Schale des Atoms, auf der sich das Elektron befindet, also das Energieniveau. Die Nebenquantenzahl kennzeichnet die Form des Orbitals (=Zustandsfunktion eines Einzelelektrons). Die Magnetquantenzahl gibt die Orientierung des Bahndrehimpulses an, die Spinquantenzahl kennzeichnet die Ausrichtung des Spin. Die Spinquantenzahl wollen wir hier an dieser Stelle nur erwähnt haben, wir werden nicht weiter darauf eingehen. Auch die Magnetquantenzahl wird hier eine untergeordnete Rolle spielen. Mit diesen Quantenzahlen kann ein quantenmechanischer Zustand beschrieben werden. Wir wollen die Zustände der Elektronen im Wasserstoffatom berechnen, benötigen dazu aber noch die 3.2 Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung wurde von Erwin Schrödinger6 im Jahre 1926 formuliert. Sie hat die Form i 5 ∂ ψ(x, t) = ∂t − 2m ∆ + V (x, t) ψ(x, t), (3.3) im Ortsraum Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (∗ 12. August 1885; † 4. Januar 1961) war ein österreichischer Physiker und Wissenschaftstheoretiker 6 Wie funktioniert ein Laser? Seite 5 wobei m die Masse, t die Zeit und ∆ der Laplaceoperator ist. Der Term − 2m ∆ + V (r, t) stellt den Hamiltonoperator Hˆ des Systems dar. Der Hamiltonoperator bestimmt in der Quantenmechanik die Zeitentwicklung und die möglichen Energiewerte des Systems. Unter dem Umstand, dass Hˆ unabhängig von der Zeit ist, können wir die Schrödingergleichung vereinfachen und schreiben ˆ = Eψ Hψ (3.4) was ein sog. Eigenwertproblem darstellt. Mit dieser Gleichung können wir nun das “Wasserstoffproblem” lösen, übrigens das einzige, was wirklich exakt berechnet werden kann. Natürlich müssen wir dem Umstand, dass der Raum 3-dimensional ist, Rechnung tragen und die Schrödingergleichung nicht nur für x, sondern auch für die anderen Raumrichtungen lösen. 3.3 Das Wasserstoffproblem Wir lösen die Schrödingergleichung (etwas aufwendig) und bekommen als Lösung ψn m (r, ϑ, ϕ) = Rn (r )Y m (ϑ, ϕ) (3.5) Dabei ist Rn (r ) = 2 na0 3 (n − − 1)! −ρ/2 e ρ L2n−+1−1 (ρ) 2n[(n + )!] (3.6) Y (3.7) und m (ϑ, ϕ) die sog. Kugelflächenfunktion. Mit dieser Formel haben wir einen Ausdruck für den Zustand ψn m des Elektrons gefunden. Wir können ψn m auch als Orbital bezeichnen. Dieses hat, abhängig von den Quantenzahlen, eine besondere Form und gibt die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte der Elektronen an. Im Falle (n m) = (100) kann man sich das Orbital als Kugel vorstellen, in der Mitte der Atomkern. Die Elektronen haben in dieser Kugel die gleiche Aufenthaltswahrscheinlichkeit, es gibt also keine bestimmte Bahn und keinen bestimmten Ort. Wir geben ein Beispiel für ψ100 : ψ100 = 4 −r /a0 e · a03 1 4π (3.8) Dabei ist a0 der Bohr’sche Radius, den wir später bei den Aufgaben noch berechnen werden. In Abb. 3 sehen wir, welche Gestalt diese Orbitale in Abhängigkeit von den einzelnen Quantenzahlen haben. So kann sich die Verteilung des Elektrons um den Atomkern vorgestellt werden. Wir sehen ganz deutlich, dass es keine festen Bahnen mehr gibt und das Elektron eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit hat. Nach diesem kleinen Ausflug gehen wir jetzt über zum Laser. Wie funktioniert ein Laser? Abbildung 3: Orbitale in Abhängigkeit der Quantenzahlen n und Seite 6 Wie funktioniert ein Laser? 4 4.1 Seite 7 Der Laser Aufbau eines Lasers Bevor wir uns mit der Funktionsweise eines Lasers beschäftigen, sollten wir klären, was ein Laser überhaupt ist. Ein Laser (Abkürzung von engl. Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation, d. h. Lichtverstärkung durch stimulierte Emission von Strahlung) ist eine künstliche Strahlungsquelle. Betrachten wir die Elemente und den Aufbau eines Lasers. In Abb. 4 sehen wir den prinzipiellen Aufbau eines Lasers und er besteht offensichtlich aus einem Lasermedium und einem Resonator. Wir wollen diese beiden Begriffe noch etwas erläutern. Das Lasermedium besteht aus Atomen oder Molekülen eines Gases oder Festkörpers und kann bei einer externen Zuführung von Energie (Laserpumpen) Licht einer bestimmten Frequenz erzeugen. (vgl. Abschnitt 2 auf Seite 1). Hinter dem Begriff des Resonators verbirgt sich nicht mehr als ein System von zwei Spiegeln, das Licht hin und her refelektiert. Dabei weist einer der beiden Spiegel eine Reflektivität von R = 100 % und der andere eine Reflektivität von R < 100 % auf. Aus diesem Spiegel tritt dann auch die Strahlung, die wir als Laserlicht sehen werden. Damit ist der Aufbau unseres Lasers festgelegt, wir können uns also nun mit der Funktionsweise beschäftigen. Das Grundprinzip eines Lasers entnehmen wir bereits dem Aufbau. Wir stecken von außen Energie in das Lasermedium, selbiges strahlt vor sich hin, der Resonator sorgt dann für die nötige Lichtverstärkung und das Licht tritt aus einem der beiden Spiegel aus. Doch ganz so einfach ist es dann doch nicht. Es gibt nämlich noch einen Begriff, den wir klären müssen. Dabei handelt es sich um den Begriff der “stimulierten Emission”. Abbildung 4: schematischer Aufbau eines Lasers 4.2 Kurzer Einschub: stimulierte Emission Regen wir ein Atom von außen an (z.B. mit einem Photon), so wird ein Elektron auf eine höhere Bahn gehoben. Bis jetzt haben wir gesagt, dass selbiges spontan unter Abgabe eine Photons mit den gleichen Eigenschaften auf die ursprüngliche Bahn zurückfällt. Dies tut es auch immer noch, aber es gibt den Wunsch, diese Emission (ähnlich wie die Absorption) mit einem Photon auszulösen. Dieser Wunsch kann durch die stimulierte Emission erfüllt werden. Wie funktioniert ein Laser? Seite 8 Abbildung 5: stimulierte Emission im Termschema Dabei passiert Folgendes: trifft ein Photon auf ein Atom, so geht das Atom in einen angeregten Zustand über, das Photon wird absorbiert. Trifft nun ein Photon, dessen Energie genau der Energiedifferenz zwischen dem aktuellen Zustand und einem Energieniveau mit geringerer Energie entspricht, auf das angeregte Atom, so kann das Atom in den Zustand niedriger Energie wechseln und die Energiedifferenz zusätzlich zu dem eingefallenen Photon als ein weiteres Photon abstrahlen.7 Das neu erzeugte Photon hat die gleiche Energie und Frequenz wie das eingefallene Photon. Außerdem bewegt sich das neue Photon in die gleiche Richtung und hat auch die gleiche Phasenlage, so dass es sich gewissermaßen wie eine Kopie des ursprünglichen Photons verhält, was als Kohärenz bezeichnet wird. Die stimulierte Emission ist unbedingte Voraussetzung für den Betrieb eines Lasers. 4.3 Funktionsweise eines Lasers Kommen wir nun schlussendlich zur Funktionsweise eines Lasers. Von außen wird dem Lasermedium Energie zugeführt (Laserpumpen). Durch das Laserpumpen werden die Atome im Lasermedium angeregt, d.h. die Elektronen werden auf eine höhere Bahn gehoben. Durch nun einsetzende spontane Emission, d.h. zufällig, gehen die Atome vom angeregten Zustand wieder in den Grundzustand über. Dabei wird ein Photon bestimmter Frequenz erzeugt, Emission und Richtung des Photons sind aber zunächst zufällig. Bei der stimulierten Emission wird durch ein solches, bereits existierendes, Photon die Aussendung eines weiteren Photons angeregt; dieses besitzt die gleichen Eigenschaften (Frequenz, Phase, Polarisation und Ausbreitungsrichtung). Es ergibt sich eine Verstärkung der Strahlung. Der Resonator sorgt dafür, dass diese Verstärkung rückgekoppelt und in einer bevorzugten Richtung erfolgt. Diese Strahlung gelangt dann durch den den lichtdurchlässigen Spiegel und wir nehmen sie als Laserlicht wahr. In Abb. 6 sieht man diese Vorgänge noch mal in einem Termschema. Besonderheit hier: 3 Energieniveaus, Übergäge von E3 nach E2 können strahlungsfrei sein, wenn die Elektronen die überschüssige Energie in einer anderen Form loswerden (z.B. Wärme, Bewegung). Der Übergang von E2 auf E1 ist dann der Übergang, der das eigentliche Laserlicht liefert. Ein Laser kann praktisch erst ab einer Anzahl von 3 Energieniveaus funktionieren, da die Wahrscheinlichkeit, dass Elektronen auf einem höheren Energieniveau spontan unter Abgabe eines Photons (also Absorption) für 2 Energieniveaus viel wahrscheinlicher ist. Die stimulierte Emission bleibt damit aus. Damit die Strahlung verstärkt wird, muss dafür gesorgt werden, dass der höhere Energiezustand ständig oder zumindest kurzzeitig stärker besetzt ist als der untere; dann sind stimulierte Emissionen häufiger als Absorptionen. Da dies im thermischen Gleichgewicht nicht der Fall ist, spricht man von Besetzungsinversion - die Voraussetzung für das letztendliche Funktionieren eines Lasers. 7 Streng genommen müssten wir hier noch fordern, dass die Auswahlregeln einen bestimmten Übergang überhaupt erlauben. Dies soll allerdings nicht Bestandteil dieses kleinen Exkurses sein. Wie funktioniert ein Laser? Seite 9 Abbildung 6: Funktionsweise eines Lasers im Termschema, Quelle: [WIKIPEDIA] 5 Zusammenfassung Wir haben nun gesehen und (hoffentlich) verstanden, was ein Laser ist und wie er funktioniert. Auch hier gilt wie immer: nach oben gibt es keine Grenzen, d.h. man kann einen Laser noch wesentlich komplizierter und exakter beschreiben. Gleiches gilt für die Atomphysik. Das Bohr’sche Atommodell mag zwar einleuchtend sein, gilt aber eigentlich nur für das Wasserstoff-Atom. Für Atome höherer Ordnungszahl stellt dann die Quantenmechanik umfassende Mittel zur Beschreibung zur Verfügung. Auf diese können wir hier aber nicht eingehen. Literatur [DEM] W. Demtröder: Experimentalphysik 3 Atome, Moleküle und Festkörper, 3., überarbeitete Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2005 [WIKIPEDIA] http://de.wikipedia.org Stand: 01.07.2009, Zugriffszeit: 18:37 Uhr [SCHWABL] W. Schwabl: Quantenmechanik (QM I), 7., überarbeitete Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2007 Wie funktioniert ein Laser? 6 Seite 10 Aufgaben Aufgabe 1 Leite ausgehend von dem Ansatz FCoulomb = FZentr if ugal einen Ausdruck für die möglichen Radien im Bohr’schen Atommodell her! Wie groß ist der Bohr’sche Radius? Tipp: Für die Geschwindigkeit v kann man mithilfe eines der Bohr’schen Postulate und der de-BroglieWellenlänge einen Ausdruck finden. 7 Lösungen Lösung 1 Wir setzen die beiden Kräfte gleich und erhalten (Formeln im Tafelwerk nachschlagen) 1 Ze 2 µv 2 = r 4π 0 r 2 µ ist nicht die Masse des Elektrons, sondern die sog. reduzierte Masse von Elektron und Atomkern (nachschlagen). Dieses Gleichnis stellen wir nun nach r um und erhalten r= Ze 2 4π 0 µv 2 Dieser Ausdruck bietet keine Einschränkung für den Radius der entsprechenden Bahn. Diese Einschränkung sieht das Bohr’sche Atommodell aber mit dem 3. Bohr’schen Posutalat vor, der sog. Auswahlbedingung. Dieses besagt, dass Bahnen nur dann stabil sind, wenn der Bahndrehimpuls L ein Vielfaches n des reduzierten Planck’schen Wirkungsquantums entspricht. Oder anders gesprochen: wenn der Kreisumfang der Bahn ein Vielfaches der de-Broglie-Wellenlänge λD des Elektrons entspricht, es muss also gelten: 2πr = n · λD mi t n∈N Wir müssen nun einen Ausdruck für λD finden (im Tafelwerk nachschlagen). Wir erhalten: λD = h h = p µv Daraus erhalten wir einen Ausdruck für die Geschwindigkeit v , die wir jetzt in unsere Gleichung für den Radius setzen wollen. Wir erhalten dann r= n2 h2 0 n2 h2 0 n2 = = a0 , πµZe 2 Z πµe 2 Z wobei a0 der Bohr’sche Radius ist. Dieser kann aus Naturkonstanten berechnet werden und ist somit konstant. Nach einer kurzen Rechnung erhält man für den Bohr’schen Radius a0 = 5, 2917 · 10−11 m. Für alle weiteren Bahnen müssen also lediglich die Werte für n und Z angepasst werden.