Was haben wir letzes Mal gelernt? 1) 1) 2) 3) Klassische Formel für die Energieverlust Relativistische Formel F. Relativistisch+Quantum Mechanische F. 2) 3) 4) Reichweite, Bragg Peak 5) Poisson Verteilung 6) dE/dX als Funktion von Impuls um die Teilchen Identität zu finden 7)Landau Verteilung Krebstheraphie mit Schwerionen Korrekturen zur Bethe-Bloch Formel Es gilt für 6 MeV<E< 6GeV () or 0.02<<0.99 (1% Präzision) 1) Mittleres Ionisationspotential 2) Dichteeffekt, eher hohen Energien () 3) C/Z Shell Korrekturen, niedrigen Energien 1) Mittlere Ionisationspotential Review of Particle Physics, S. Eidelmann et al., Phys. Lett. B 592,1 (2004). 7 I = 12 + eV, Z < 13 Z Z 58.8 I = 9,76 + 1.19 eV, Z 13 Z Z Bsp: Argon, Z=18, I=215 eV Measured I = 190.8 eV 2) Dichteeffekt • • • • Das elektrische Feld des einfallenden Teilchens polariziert die Atome entlang seiner Spur. Es folgt eine Abschirmung: die Elektronen weit weg von der Spur, die ein grosses Stossparameter haben, spüren nicht das volle elektrische Feld und tragen weniger bei zum Energie Verlust als von BB vorhergesagt Es wird wichtig for hohe Teilchenenergien Abhängig von der Dichte von Materiales für sehr höhen Energien: h P 1 nee 2 ln + ln ; P = 2 2 I 0 m dE ln dx • Verbleibende relativistische Anstieg: Plasma Frequenz anstatt ln 2 2 Tmax 2 2 Lorentz Kontraktion der Feldlineen -> Grössere transversalen Feld Komponent -> Grösseren Kollisionabstände >1 Sättigung: FERMI-PLATEAU Festkörper (dE/dx) 2) Dichtekorrekture D korrigiert Dichteeffekte Für hohe Dichte das E feld wird von Polarisation geschirmt Weniger kollisionen mit e- die weitweg stehen Dieser Effekt ist stärker für Festkörper Ohne Korrektur mit Korrektur Wahre Kupfer :) Qualitativ MIPs Energie Ungefährt dE/dx MIP ~1.5 MeV* cm2/g Alles über Energieverlust Zusammenfassung der Energieverlust • • • • • • • • • • Die Bethe-Bloch Formula beschreibt die mittlere Energieverlust -<dE/dX> für schwere geladenen Teilchen in der Materie Prozess: Ionizierung Keine Bremsstrhalung (wichtig für Elektronen und hochenergetischen μ und Für kleine b: <dE/dX> ~1/2 down to ‚Bragg Peak‘ Minimum bei =p/m=3-3.5 (v=96%c) ‚MIP‘ Relativistiche Anstieg ~ln() wegen der relativistichen Expansion des transversalen E-Feld Dichtekorrektur -> Saturation-> Plateau Schwache Abhängigkeit von Medium (Z/A, ln(I)) <dE/dX>MIP~1.5MeV/g cm-2 <dE/dX> versus Impuls um die Teilchenmasse zu identifizieren Elektronen Grosse Energieüberträge auf einzelne Elektronen in einzelnen harten Stossen. Warscheinlichkeit für Elektronen mit kinetischer Energie T>>I 2 1 d 2N z 2e 4 2 T = 1 für T < Tmas n e T2 dTdx (4 0 ) 2 me2 2T 2 Tmax d e Spin 1 für T << Tmax d Ruth. Dünne Detektoren-> dE/dx ~const über Dicke x -> Anzahl der -Elektronen mit T>TCUT Tmax dN 2 z 2e 4 n e x 1 1 N(T TCut ) = x dT = 2 2 2 dT mc T T (4 ) CUT 0 max TCUT 0 für TCUT << Tmax Bsp : 500MeV auf Si Detektoren, x = 300μm N(T 12keV ) = 1 Weniger als 1elektron mit N(T 116keV ) = 0,0475 Mittlere Energieverlust eines T>116keV pro 20 Deshalb geht die gesamte Energieverlust auf eine e- Blasenkammernaufnahme -Elektronen: Winkelverteilung -Elektronen: Produktionrate 1) 2) 3) Raten der Elektronen ändert sich von vielen Grossenordungen 1-1 Beziehung zwischen der kinetischen Energie und dem Emissionwinkel die meisten Elektronen werden mit 90° mit weniger Energie Mögliche Probleme für Detektoren Die Rekonstruktion von Raumkoordinaten wird von Elektronen verändert Verbesserung von dE/dx Auflösung E E max gross symmetrisch, Gauss Verteilung klein stark asymmetrisch. = Bsp: gegeben 94 e-/Ion Paaren in Argon, nur 1/3 kommt von primären Prozessen. Truncated Mean E = 1 E i 0.7n i(kleinste 70%) Coulomb-Vielfachstreuung • Geladene Teilchen werden im Kern Coulomb-Feld gestreut. Dieser Effekt ist bei höheren Energien dominant gegenüber der Wechselwirkung mit Elektronen der Atomhülle. Konsequenz: Das Teilchen wird im Material vielfach gestreut d d Rutherford = z 2 Z 2 2 h 2 1 1 2 p 2 4 sin 4 2 If mT<<mK ergeben sich •Richtungsänderung •Geringe Energieübertragung Bei unendlich viele Streuzentren erwarten wir eine Gaussverteilung des Streuwinkels (Moliere-Streuung). Verteilung projeziert auf einer Ebene f ( )d f ( )d 2 Warscheinlicht dichte f ( plane )d plane 2 plane 1 d plane = exp 2 2 2 0 0 0=standard Abweichung parametriziert wie: 0 = 13.6MeV /c x x z 1+ 0.038ln p x0 x0 Dabei ist x die Dicke des Streuers und x0 die Strahlungslänge der Materials. (Durch x0 verliert einer Elektron 1/e Anteil seiner Energie via Bremsstrahlung) Aus der Normierung der Verteilung ergibt sich der mittlere Streuwinkel 2 = 2 0 Versatz des Austrittsortes: y plane = 1 x 0 3 Beispiel: Rekonstruktion eines Sekundären Vertex Ebene 1 Ebene 2 Die Rekonstruierbarkeit des Vertex bestimmt man anhand der Stossparameter d0 (Abstand einer extrapolierten Spur zum Primärvertex in der Ebene senkrecht zum Strahl) Die Richtung des Teilchens wird von den 2 Detektor Ebenen gemessen. Durch die Streuung an der ersten Detektorlage ergibt sich ein Rekonstruktionfehler bei der Extrapolation. rB=50mm d0 = 0 rB P=5GeV, ~1 (Pion) Fluktuationen der Energieverlust Die Bethe-Bloch Formel beschreibt die mittlere Energierverlust. Die meisten Teilchen kollidieren ohne Energieverlust-> statistischen Fluchtuationen: • Zahl der Stösse • Rückwärtsstreuung • Energiestreuung Wichtig ist die ‚Antwort‘ eines Detektors: f(x,)= Warscheinlichkeitsverteilung für die Energieverlust in einem Absorber der dicke x. Man kann f(x,) via Faltungsmethode oder Laplace-Transformationen rechnen. Faltungsmethode Die dicke x wird in N Intervallen geteilt x= x/N Warscheinlichkeit für min. eine WW in x: PWW (x) = 1 P0 (x) = 1 en e x 1 (1 n e x) = n e x d mit = dT Warsch. Für genau einen Stoss x dT differentielle WQ für den Die Energieverlustverteilung Energieübertrag d f (x,) = (1 ) () + n ex (T ) dT Warsch. Für Durchlaufen des Intervalles x ohne WW x delta Funktion lokaliziert ind =0 Nach 2x: f (2x,) = 0 f (x,T) f (x, T)dT Faltung Gilt wegen der Unabhängigkeite des Energieverlustes in den verschiedenen Schichten Bsp: einziger Energieübertrag T* auf einem e-: d = (T T*) dT f (x,) = (1 ) () + ( T*) f (2x,) = (1 ) 2 () + 2(1 ) ( T*) + 2 ( 2T*) Keine WW genau 1 Stoss N Intervalle --> Maximal N Stösse 2 Stösse N N f (x,) = (1 ) N ( T*) = 0 N N N >> 1, << 1 f (x,) = (1 ) N () + (1 ) N 1 ( T*) + 2 (1 ) N 2 ( 2T*) + ... 1 2 e 1 f (x,) e N 2 2 1 () + Ne ( T*) + ( N) e ( 2T*) 2 N =e N (N) =0 e 1 ( T*) ! N = N(N 1) /2 2 Realistiche Verteilung Iterative Lösung des Faltungsintegrals [H. Bichsel, Rev. Mod. Phys. 60, 663 (1988)] Laplace Transformation Änderung der Energieverteilung f(x,) bei Durchgang durch eine dünne Schicht x f (x + x,) f (x,) = n ex 0 d d (T) f (x,)dT + n ex f (x, T) (T)dT dT dT 0 1) Warscheinlichkeit dass die Energieverlust in x schon beträgt und dass eine weitere Kollision in x mit dem Energieübertrag T stattfindet, die de gesamten Energieverlust grösser als macht. 2) Warscheinlichkeit dass der Energieverlust in x (-T) beträgt und eine Kollision in x stattfindet mit einem Energieübertrag T die zum gesamten Energieverlust führt. f (x,) d = ne (T)[ f (x, T) f (x,T)] dT x dT 0 Laplace Transformation s L{ f (x,)} F(x,s) 1 c +i d sT f (x,) = dsexp s x n 1 e dT ) e dT ( 2i ci 0 •Exakte Lösung •Äquivalent zur Faltungsmethode •Verschiedene Nährungen für d/dT Bethe-Block für Elektronen Bremsstrahhlung von Elektronen Energieverlust wegen Coulomb Wechselwirkung mit kernen. Teilchen werden abgebrehmst ->Anregungn von Photonen. For höhen Energien: Constant Material Konstante Teilchenladung z Teilchenmasse m Teilchenenergie E Kritische Energie Ionizierung Bremsstrahlung ln( 2 2 ) / 2 ln E E Kritische Energie: Energieverlust wegen Bremsstrahlung und Ionizierung sind gleich. Elektronen versus Myonen Elektronen Myonen EC skaliert wie (mμ/me)2, 45,000 times larger!!!!