- Devoir Maison N°8 : Module - Argument

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Exercice n° 1 :
Janvier 2014
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstration et utilisation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . (a) Rappeler les propriétés du module et d’un argument du produit de deux nombres complexes
(b) Démontrer alors que pour tout nombre complexe z non nul et pour tout entier naturel n on a :
(1) | z n | = | z |n et (2) arg(z n ) = n × arg(z) (2π)
p
p
6
2
−
i.
2 . Application : Soit z =
2
2
(a) Déterminer la forme trigonométrique de z
(b) Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique de z 9 .
Exercice n° 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
3 − 3i
On donne Z =
2
¶
µ
1
Déterminer la forme algébrique de
Z6
Exercice n° 3 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
¡
¢
2a
.
On considère un repère orthonormé O ; #”
u , #”
v et les points A ; B et C d’affixes respectives a = 5 − i 3 et b = 4 + 2i 3 et c =
3
Q est le milieu du segment [OB] ; K est le point tel que ABQK soit un parallélogramme
1 . Faire une figure complète aussi précise que possible.
2 . (a) Calculer la forme algébrique du nombre complexe z1 =
b
a
(b) Déterminer la forme trigonométrique de z1
(c) Interpréter géométriquement le résultat précédent et conclure pour le triangle OAB.
3 . (a) Calculer les affixes q et k des points Q et K.
(b) Déterminer les formes algébrique et trigonométriques du nombre complexe z2 =
(c) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
4 . Justifier la nature du quadrilatère OKAQ.
5 . (a) Calculer l’affixe c du point C.
k −b
k −c
(c) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
(b) Calculer le nombre complexe z3 =
4
B
3
2
Q
1
O
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
C
−1
A
−2
−3
K
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k−a
k
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Exercice n° 1 :
Janvier 2014
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Démonstration et utilisation d’une formule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 . (a) Rappeler les propriétés du module et d’un argument du produit de deux nombres complexes
|a × b| = |a| × |b| et arg(a × b) = arg(a) + arg(b)
(b) Démontrer alors que pour tout nombre complexe z non nul et pour tout entier naturel n on a : (1) | z n | = | z |n et (2) arg(z n ) =
n × arg(z) (2π)
(1) Initialisation : Pour n = 1 , il est évident que |z 1 | = |z|1 , la propriété est vraie pour n = 1.
Hérédité : on suppose que | z n | = | z |n et on va montrer que | z n+1 | = | z |n+1 .
On a : | z n+1 | = | z n × z |
et donc en utilisant la propriété vu au 1)(a) : | z n+1 | = | z n | × | z |
et en utilisant l’hypothèse de récurrence : | z n+1 | = | z |n × | z |
D’où finalement : | z n+1 | = | z |n+1
Ainsi la propriété | z n | = | z |n est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n supérieur à 1
¡ ¢
(2) Initialisation : Pour n = 1 , il est évident que arg z 1 = 1 × arg(z) [2π], la propriété est vraie pour n = 1.
¡
¢
Hérédité : on suppose que arg(z n ) = n × arg(z) (2π) et on va montrer que arg z n+1 = (n + 1) × arg(z) (2π).
¡
¢
On a : arg z n+1 = arg(z n × z) (2π)
¡
¢
et donc en utilisant la propriété vu au 1)(a) : arg z n+1 = arg(z n ) + arg(z) (2π)
¡ n+1 ¢
et en utilisant l’hypothèse de récurrence : arg z
= n × arg(z) + arg(z) (2π)
¡
¢
D’où finalement : arg z n+1 = (n + 1) × arg(z) (2π)
Ainsi la propriété arg(z n ) = n × arg(z) (2π) est vraie au rang 1 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout entier n
supérieur à 1
p
p
6
2
−
i.
2 . Application : Soit z =
2
2
(a) Déterminer la forme trigonométrique de z
vÃ
u p !2 Ã p !2 r
u 6
2
6 2 p
|z | = t
+
=
+ = 2
2
2
4 4
p
p
6 p
2
p
p
3
×
2
3
1
1
De plus cos(θ) = p2 =
×p =
et sin(θ) = − p2 = −
2
2
2
2
2
2
³ π ´´
³ π´
p ³
π
Par conséquent θ = − , [2π] et z = 2 cos − + i sin −
6
6
6
(b) Déterminer la forme trigonométrique puis algébrique de z 9 .
³p ´9
p
¯ ¯
En appliquant les formules de la question 1) ; il vient : ¯ z 9 ¯ = |z|9 = 2 = 16 2
³ π´
¡ ¢
¡ ¢ π
3π
et arg z 9 = 9 × arg(z) = 9 × −
= − , [2π] ou encore arg z 9 = , [2π]
6
2
2
³π´
³ π ´´
p ³
9
+ i sin
Ainsi z = 16 2 cos
2
2
p
et z 9 = 16i 2
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Janvier 2014
Exercice n° 2 : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Utilisation des formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
¶
µ
3 − 3i
1
. Déterminer la forme algébrique de
On donne Z =
2
Z6
vÃ
u p !2 Ã p !2 sµ ¶ p
p
p
u 3
3 − 3i
3
6
6
On a : Z =
+ −
=
donc | Z | = t
.
=
2
2
2
4
2
p
p
3 p
3
p
p
p
−
1
3
3
2
2
2
2
et sin(θ) = p = −
De plus cos(θ) = p = p = p
p =p =
2
2
6
6
3× 2
2
6
2
2
p ³
³ π´
³ π ´´
π
6
Par conséquent θ = − , [2π] et Z =
cos − + i sin −
4
2
4
4
appliquant
les formules sur les modules et arguments :
¯En
¯ ¯
¯
µ
¶
¯ 1 ¯ ¯ 1 ¯
1
1
1
1
8
¯
¯
=
=
=
¯ 6 ¯ = ¯¯ 6 ¯¯ = ¯ 6 ¯ =
¯ Z ¯ |Z |6 Ã p !6
27 27
¯ Z ¯
Z
6
8
2
!
Ãµ
¶
¶
µ
¡ ¢
1
1
, [2π] car arg z = −arg(z)
=
−arg
arg
6
6
Z
Z
Ãµ
¶!
µ ¶
¡
¡ 6 ¢¢
1
1
=
−
−arg
Z
,
[2π]car
arg
D’où arg
= −arg(z)
6
Z
z
!
Ãµ
¶
³ π´
3π
1
= − , [2π]
= 6 × arg(Z ) = 6 × −
Donc arg
6
Z
4
2
Ãµ
¶!
1
π
et finalement arg
= , [2π]
Z6
2
Ãµ
¶!
1
8
En conclusion :
=
i
Z6
27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
p
p
¡
¢
2a
On considère un repère orthonormé O; #”
u , #”
v et les points A ; B et C d’affixes respectives a = 5 − i 3 et b = 4 + 2i 3 et c =
.
3
Q est le milieu du segment [OB] ; K est le point tel que ABQK soit un parallélogramme
Exercice n° 3 :
1 . Faire une figure complète aussi précise que possible.
b
2 . (a) Calculer la forme algébrique du nombre complexe z1 =
a
p
p
p
5−i 3
(5 − i 3)(4 − 2i 3)
b
z1 = =
p =
p
p = ···
a 4 + 2i 3 (4 + 2i 3)(4 − a = 2i 3)
p
3
1
z1 = + i
2
2
(b) Déterminer la forme trigonométrique de z1
³π´
³π´
+ i sin
Il est immédiat que : z1 = cos
3
3
(c) Interpréter géométriquement
le
résultat
précédent
et conclure pour le triangle OAB.
¯ ¯
¯ b ¯ | a | OB
=
et d’autre part | z1 | = 1 par conséquent OA = OB, le triangle OAB est isocèle en O.
On a d’une part : | z1 | = ¯¯ ¯¯ =
a ³ | b | OA
´
π
#” #”
De plus, d’une part arg(z1 ) = OA ; OB , [2π] et d’autre part arg(z1 ) = , [2π].
3
π
Ainsi le triangle OAB est isocèle avec un angle de radians = 60ˇr.
3
OAB est équilatéral
3 . (a) Calculer les affixes q et k des points Q et K.
Q étant le milieu de [OB] alors q =
p
0+b
= 2+i 3
2
#”
#”
ABQK est un parallélogramme donc AB = KQ ⇐⇒ b − a = q − k ⇐⇒ k = q − b + a = · · ·
p
k = 3 − 2i 3
(b) Déterminer les formes algébrique et trigonométriques du nombre complexe z2 =
p
p
p
p
p
(3 − 2i 3) − (5 − i 3) (−2 − i 3)(3 + 2i 3)
3
z2 =
=
i
p
p
p = · · · z2 = −
3
3 − 2i 3
(3 − 2i 3)(3 + 2i 3)
p ³
³ π´
³ π ´´
3
cos − + i sin −
et donc z2 =
3
2
2
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k−a
k
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(c) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
³ # ” # ”´
³ # ” # ”´ π
π
On a d’une part arg(z2 ) = OK ; AK , [2π] et d’autre part arg(z2 ) = , [2π] ou encore KO ; KA = , [2π]
2
2
Ce qui prouve que : le triangle OAK est rectangle en K
4 . Justifier la nature du quadrilatère OKAQ.
# ” #”
Puisque Q est le milieu de [OB] alors OQ = QB.
# ” #”
De plus ABQK est un parallélogramme donc QB = KA
# ”
#”
Par conséquent OQ = AK et donc OKAQ est un parallélogramme.
Comme le triangle OAK est rectangle en K, OKAQ est un parallélogramme avec un angle droit.
Conclusion : OKAQ est un rectangle
5 . (a) Calculer l’affixe c du point C.
p
2a 10 2 3
c=
=
−
i
3
3
3
k −b
(b) Calculer le nombre complexe z3 =
pk − c
p
p
k −b
(−1 − 4i 3)
(3 − 2i 3) − (4 + 2i 3)
Ã
z3 =
=
p
p !=
k −c
p
1 4 3
10 2 3
− −
i
(3 − 2i 3) −
−
i
3
3
3
3
p
1
(−1 − 4i 3)
z3 = ³
p ´= 1
1
−1 − 4 3i
3
3
z3 = 3
(c) Donner une interprétation géométrique de ces résultats.
#”
#”
On a z3 = 3 ⇐⇒ k − b = 3(k − c) ⇐⇒ BK = 3 CK
#” #”
Ce qui prouve que les vecteurs BK et CK sont colinéaires.
Les points B, C et K sont alignés
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Janvier 2014

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