Vorlesung 4

Lineare Algebra f¨ur Informatiker
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
21. April 2015
Vorlesung 4
Basisauswahlsatz
Korollar (Basisauswahlsatz)
p ∈ N0 , (t1 , . . . , tp ) Erzeugendensystem von V ,
n ∈ N0 , i1 , . . . , in ∈ [1, p], (ti1 , . . . , tin ) linear unabh¨angig in V ,
f¨
ur k ∈ [1, p] sei (ti1 , . . . , tin , tk ) linear abh¨angig in V
⇒ (ti1 , . . . , tin ) ist Basis von V
Beispiel
(s1 , s2 , s3 ) Erzeugendensystem von R2 , gegeben durch
s1 = (1, −2), s2 = (−2, 4), s3 = (2, 3)
⇒ (s1 , s3 ) und (s2 , s3 ) sind Basen von R2
Korollar
V endlich erzeugt ⇒ es gibt n ∈ N0 und Basis (t1 , . . . , tn ) von V
Basiserg¨anzungssatz
Korollar (Basiserg¨
anzungssatz)
V endlich erzeugt, m ∈ N0 , (s1 , . . . , sm ) linear unabh¨angig in V
⇒ es gibt n ∈ N0 und (t1 , . . . , tn ) in V :
(s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn ) ist Basis von V
Beispiel
(s1 , s2 ) linear unabh¨angig in R3 , gegeben durch
s1 = (1, −2, 0), s2 = (2, 3, 0)
⇒ (s1 , s2 , s3 ) mit
s3 = (0, 0, 1)
ist Basis von R3
Austauschlemma von Steinitz
Beispiel
(s1 , s2 , s3 ) Erzeugendensystem von R3 , gegeben durch
s1 = (1, 1, 0), s2 = (1, −1, 0), s3 = (0, 0, 1),
x ∈ R3 gegeben durch
x = (−1, 5, 0) = 2s1 + (−3)s2 + 0s3
⇒ (x, s2 , s3 ) und (s1 , x, s3 ) sind Erzeugendensysteme von R3
Steinitzscher Austauschsatz
Satz (Steinitzscher Austauschsatz)
m, n ∈ N0 , (s1 , . . . , sm ) linear unabh¨angig in V , (t1 , . . . , tp )
Erzeugendensystem von V
⇒ es gibt i1 , . . . , im ∈ [1, p], i1 < . . . < im :
(t1 , . . . , ti1 −1 , s1 , ti1 +1 , . . . , tim −1 , sm , tim +1 , . . . , tp ) ist EZS von V
Lineare H¨ullen beliebiger Familien und von Mengen (1)
Wiederholung
n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
λs : K n → V , a 7→
X
ai si
i∈[1,n]
P
I
hsi = hs1 , . . . , sn i = Im λs =
I
s Erzeugendensystem von V ⇔ λs surjektiv
I
s linear unabh¨angig in V ⇔ λs injektiv
I
s Basis von V ⇔ λs bijektiv
i∈[1,n] Ksi
Lineare H¨ullen beliebiger Familien und von Mengen (2)
Notation
I Menge; K (I ) := {x ∈ K I | {i ∈ I | xi 6= 0} ist endlich}
Definition
I Menge, s = (si )i∈I Familie in V
λs : K (I ) → V , a 7→
X
ai s i
i∈I
P
I
hsi = hsi | i ∈ I i := Im λs =
I
s Erzeugendensystem von V :⇔ λs surjektiv
I
s linear unabh¨angig in V :⇔ λs injektiv
I
s Basis von V :⇔ λs bijektiv
i∈I
Ksi
Lineare H¨ullen beliebiger Familien und von Mengen (3)
Beispiele
I
(X i )i∈N0 ist Basis von K [X ]
I
m, n ∈ N0 ; (ei,j )(i,j)∈[1,m]×[1,n] ist Basis von K m×n
Lineare H¨ullen beliebiger Familien und von Mengen (4)
Definition
S ⊆V
I
hSi := hs | s ∈ Si
I
S Erzeugendensystem von V :⇔ (s)s∈S Erzeugendensystem
von V
I
S linear unabh¨angig in V :⇔ (s)s∈S linear unabh¨angig in V
I
S Basis von V :⇔ (s)s∈S Basis von V

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