Vorlesung 5

Lineare Algebra f¨ur Informatiker
Sebastian Thomas
RWTH Aachen
http://www2.math.rwth-aachen.de:8082
24. April 2015
Vorlesung 5
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (1)
Wiederholung
n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
λs : K n → V , a 7→
X
ai si
i∈[1,n]
P
I
hsi = hs1 , . . . , sn i = Im λs =
I
s Erzeugendensystem von V ⇔ λs surjektiv
I
s linear unabh¨angig in V ⇔ λs injektiv
I
s Basis von V ⇔ λs bijektiv
i∈[1,n] Ksi
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (2)
Definition
n ∈ N0 , U = (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von K -UVRen von V
X
σU : U1 × . . . × Un → V , u 7→
ui .
i∈[1,n]
P
I
U1 + . . . + Un =
I
(U1 , . . . , Un ) unabh¨angig in V :⇔ σU injektiv
P
Wenn (U1 , . . . , Un ) unabh.: i∈[1,n] Ui (inn.) direkte Summe
P
P
˙ ... +
˙ Un = ˙
Ui :=
Ui
Notation: U1 +
I
i∈[1,n] Ui
:= Im σU (innere) Summe
i∈[1,n]
i∈[1,n]
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (3)
Analogon in der Mengenlehre
X Menge, n ∈ N0 , U = (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von Tmgen von X
σU : U1 × {1} ∪ . . . ∪ Un × {n} → X , (ui , i) 7→ ui .
S
I
U1 ∪ . . . ∪ Un =
I
(U1 , . . . , Un ) disjunkt ⇔ σU injektiv
S
Wenn (U1 , . . . , Un ) disj.: i∈[1,n] Ui (inn.) disj. Vereinigung
S
S
Notation: U1 ∪˙ . . . ∪˙ Un = ˙ i∈[1,n] Ui := i∈[1,n] Ui
I
i∈[1,n] Ui
= Im σU
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (4)
Wiederholung
n ∈ N0 , (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
¨
Aquivalent:
I
I
(s1 , . . . , sn ) linear unabh¨angig
P
f¨
ur a ∈ K n : ( i∈[1,n] ai si = 0 ⇒ a = 0)
Lemma (Kriterium f¨
ur Unabh¨
angigkeit von UVRen)
n ∈ N0 , (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von K -UVRen von V
¨
Aquivalent:
I
I
(U1 , . . . , Un ) unabh¨angig
P
f¨
ur u ∈ U1 × . . . × Un : ( i∈[1,n] ui = 0 ⇒ u = 0)
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (5)
Beispiel
I
I
I
˙ R(0, 0, 1)
R3 = {(x, y , 0) | x, y ∈ R} +
3
˙ R(1, 1, 1)
R = {(x, y , 0) | x, y ∈ R} +
({(x, y , 0) | x, y ∈ R}, {(0, y , z) | y , z ∈ R}) abh¨angig in R3 ,
R3 = {(x, y , 0) | x, y ∈ R} + {(0, y , z) | y , z ∈ R}
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (6)
Bemerkung
n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
P
1. hs1 , . . . , sn i = i∈[1,n] Ksi
P
2. s Erzeugendensystem ⇔ V = i∈[1,n] Ksi
3. s linear unabh. ⇔ si 6= 0 f¨
ur i ∈ [1, n], (Ks1 , . . . , Ksn ) unabh.
P
4. s Basis ⇔ si 6= 0 f¨
ur i ∈ [1, n], V = ˙
Ksi
i∈[1,n]
Beispiel
I
I
P
f¨
ur n ∈ N0 : K n = ˙ i∈[1,n] K ei
P
f¨
ur m, n ∈ N0 : K m×n = ˙ (i,j)∈[1,m]×[1,n] K ei,j
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (7)
Wiederholung
n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
1. s lin. abh. ⇔ es gibt i ∈ [1, n]: si ∈ hs1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn i
2. f¨
ur i ∈ [1, n] mit (s1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn ) lin. unabh.:
s lin. abh. ⇔ si ∈ hs1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn i
¨
Aquivalente
Formulierung
n ∈ N0 , s = (s1 , . . . , sn ) n-Tupel in V
¨
Aquivalent:
I
(s1 , . . . , sn ) linear unabh¨angig
I
f¨
ur i ∈ [1, n]: (s1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn ) lin. unabh.
und si ∈
/ hs1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn i
I
es gibt i ∈ [1, n]: (s1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn ) lin. unabh.
und si ∈
/ hs1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn i
I
f¨
ur i ∈ [1, n]: si ∈
/ hs1 , . . . , si−1 , si+1 , . . . , sn i
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (8)
Proposition
n ∈ N0 , (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von K -UVRen von V
¨
Aquivalent:
I
(U1 , . . . , Un ) unabh¨angig
I
f¨
ur i ∈ [1,P
n]: (U1 , . . . , Ui−1 , Ui+1 , . . . , Un ) unabh¨angig
und Ui ∩ j∈[1,n]\{i} Uj = {0}
I
es gibt i ∈P[1, n]: (U1 , . . . , Ui−1 , Ui+1 , . . . , Un ) unabh¨angig
und Ui ∩ j∈[1,n]\{i} Uj = {0}
P
f¨
ur i ∈ [1, n]: Ui ∩ j∈[1,n]\{i} Uj = {0}
I
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (9)
Proposition
n ∈ N0 , (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von K -UVRen von V
¨
Aquivalent:
I
(U1 , . . . , Un ) unabh¨angig
I
f¨
ur i ∈ [1, n], ki ∈ N0 , si = (si,1 , . . . , si,ki ) lin. unabh. in Ui :
(s1,1 , . . . , s1,k1 , . . . , sn,1 , . . . , sn,kn ) ist linear unabh¨angig in V
I
f¨
ur i ∈ [1, n], ui ∈ Ui \ {0}: (u1 , . . . , un ) ist lin. unabh. in V
I
f¨
ur i ∈ [1, n], u ∈ U1 × . . . × Un : (ui )i∈[1,n] ist lin. unabh. in V
ui 6=0
Unabh¨angigkeit von UVRen und innere direkte Summe (10)
Korollar
n ∈ N0 , (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von e.d. K -UVRen von V
¨
Aquivalent:
P
I V = ˙
Ui
i∈[1,n]
I
f¨
ur i ∈ [1, n], ki ∈ N0 , si = (si,1 , . . . , si,ki ) Basis von Ui :
(s1,1 , . . . , s1,k1 , . . . , sn,1 , . . . , sn,kn ) ist Basis von V
I
f¨
ur i ∈ [1, n] gibt es ki ∈ N0 , si = (si,1 , . . . , si,ki ) Basis von Ui :
(s1,1 , . . . , s1,k1 , . . . , sn,1 , . . . , sn,kn ) ist Basis von V
Projektionen (1)
Definition
n ∈ N0 , (U1 , . . . , Un ) n-Tupel von K -UVRen von V mit
V =
X
˙
Uj
j∈[1,n]
f¨
ur i ∈ [1, n]:
pri : V → Ui ,
X
j∈[1,n]
heißt Projektion von V auf Ui
uj 7→ ui
Projektionen (2)
Beispiel
I
U1 := {(x, y , 0) | x, y ∈ R}, U2 := R(0, 0, 1) ⇒
pr1 : R3 → {(x, y , 0) | x, y ∈ R}, (x, y , z) 7→ (x, y , 0),
pr2 : R3 → R(0, 0, 1), (x, y , z) 7→ (0, 0, z).
I
U1 := {(x, y , 0) | x, y ∈ R}, U2 := R(1, 1, 1) ⇒
pr1 : R3 → {(x, y , 0) | x, y ∈ R}, (x, y , z) 7→ (x − z, y − z, 0),
pr2 : R3 → R(1, 1, 1), (x, y , z) 7→ (z, z, z).
Komplement (1)
Definition
U≤V
˙ U0
U 0 ≤ V Komplement von U in V :⇔ V = U +
Beispiel
R(0, 0, 1) und R(1, 1, 1) sind Komplemente von
{(x, y , 0) | x, y ∈ R} in R3
Komplement (2)
Bemerkung
U ≤ V , m, n ∈ N0 , (s1 , . . . , sm ) Basis von U,
(s1 , . . . , sm , t1 , . . . , tn ) Basis von V
⇒ ht1 , . . . , tn i ist Komplement von U
Korollar
V endlichdimensional, U ≤ V ⇒ U hat ein Komplement

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