図チャレ 第 186 回 (2017 年 3 月) 複素数平面上の 3 点 A(α), B(β), C(γ) は正三角形 ABC をなし,αβγ = −1 をみた している。ABC の重心 D(δ) が実軸上にあり δ > −1 であるとき,次の問いに答えよ。 ただし,複素数平面上で複素数 z を表す点 P を P(z) と書く。 (1) ABC の外接円の半径 を δ の式で表せ。 (2) α, β, γ を δ の式でそれぞれ表せ。ただし,−π arg α < arg β < arg γ < π と する。ここで arg z は複素数 z の偏角を表す。 出典 :2017 年 東京慈恵会医科大学 解答 (1) D(δ) は ABC の重心であるから 1 α + β + γ = 3δ ······ √ π 1+ 3i π + i sin = とおくと, ABC は正三角形であるから ω = cos 3 3 2 γ−α = ω または ω β−α γ − α − ω (β − α) γ − α − ω (β − α) = 0 (γ − α)2 − ( ω + ω )(β − α)(γ − α) + ω ω (β − α)2 = 0 (γ − α)2 − (β − α)(γ − α) + (β − α)2 = 0 α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα = 0 (α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα) = 0 1 も用いて (3δ)2 − 3(αβ + βγ + γα) = 0 2 ∴ αβ + βγ + γα = 3δ 2 ······ 1, 2 および αβγ = −1 より, α, β, γ を 3 解とする 3 次方程式は z 3 − 3δz 2 + 3δ 2 z + 1 = 0 ∴ (z − δ)3 = −1 − δ 3 3 ······ 両辺の絶対値をとり, δ は − 1 より大きい実数であることを考えると | z − δ |3 = |−(1 + δ 3 )| = δ 3 + 1 3 ∴ | z − δ | = δ3 + 1 正三角形の重心 D(δ) は外心でもあるから,外接円の半径 は 3 = δ 3 + 1 ( 答) — 1 — c 早稲田数学フォーラム 3 より, α, β, γ を 3 解とする 3 次方程式は (2) (z − δ)3 = (− )3 z−δ 3 ∴ =1 − z−δ は 1 の 3 乗根であるから − 2k 2k z−δ = cos π + i sin π − 3 3 2k 2k π + i sin π (k = 0, 1, 2) ∴ z = δ − cos 3 3 δ > −1 より三角形 ABC の位置によらず頂点の偏角の順番は変わらないことを考え, 3 − π arg α < arg β < arg γ < π , = δ 3 + 1 より √ 2 2 1 3 3 3 i , α = δ + cos − π + i sin − π = δ + δ + 1 − − 3 3 2 2 3 β = δ + = δ + δ3 + 1 , √ 2 1 3 2 3 3 i γ = δ + cos π + i sin π = δ + δ + 1 − + 3 3 2 2 ( 答) — 2 — c 早稲田数学フォーラム
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