第186回問題PDF

図チャレ第 186 回 (2017 年 3 月)
複素数平面上の 3 点 A(α), B(β), C(γ) は正三角形 ABC をなし，αβγ = −1 をみた
している。ABC の重心 D(δ) が実軸上にあり δ > −1 であるとき，次の問いに答えよ。
ただし，複素数平面上で複素数 z を表す点 P を P(z) と書く。
(1) ABC の外接円の半径を δ の式で表せ。
(2) α, β, γ を δ の式でそれぞれ表せ。ただし，−π arg α < arg β < arg γ < π と
する。ここで arg z は複素数 z の偏角を表す。
出典：2017 年東京慈恵会医科大学
解答
(1) D(δ) は ABC の重心であるから
1
α + β + γ = 3δ
······ √
π
1+ 3i
π
+ i sin
=
とおくと， ABC は正三角形であるから
ω = cos
3
3
2
γ−α
= ω または ω
β−α
γ − α − ω (β − α) γ − α − ω (β − α) = 0
(γ − α)2 − ( ω + ω )(β − α)(γ − α) + ω ω (β − α)2 = 0
(γ − α)2 − (β − α)(γ − α) + (β − α)2 = 0
α2 + β 2 + γ 2 − αβ − βγ − γα = 0
(α + β + γ)2 − 3(αβ + βγ + γα) = 0
1 も用いて
(3δ)2 − 3(αβ + βγ + γα) = 0
2
∴ αβ + βγ + γα = 3δ 2
······ 1, 2 および
αβγ = −1
より， α, β, γ を 3 解とする 3 次方程式は
z 3 − 3δz 2 + 3δ 2 z + 1 = 0
∴ (z − δ)3 = −1 − δ 3
3
······ 両辺の絶対値をとり， δ は − 1 より大きい実数であることを考えると
| z − δ |3 = |−(1 + δ 3 )| = δ 3 + 1
3
∴ | z − δ | = δ3 + 1
正三角形の重心 D(δ) は外心でもあるから，外接円の半径は
3
=
δ 3 + 1 ( 答)
— 1 —
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3 より， α, β, γ を 3 解とする 3 次方程式は
(2) (z − δ)3 = (− )3
z−δ 3
∴
=1
−
z−δ
は 1 の 3 乗根であるから
−
2k
2k
z−δ
= cos
π + i sin
π
−
3
3
2k 2k
π + i sin
π
(k = 0, 1, 2)
∴ z = δ − cos
3
3
δ > −1 より三角形 ABC の位置によらず頂点の偏角の順番は変わらないことを考え，
3
− π arg α < arg β < arg γ < π , = δ 3 + 1
より
√ 2 2 1
3
3
3
i ,
α = δ + cos − π + i sin − π = δ + δ + 1 − −
3
3
2
2
3
β = δ + = δ + δ3 + 1 ,
√ 2 1
3
2
3
3
i
γ = δ + cos π + i sin π = δ + δ + 1 − +
3
3
2
2
( 答)
— 2 —
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