1=(x ¡ 1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
次の各問に答えよ．
3
(1) x3 ¡ 2x2 + 7x ¡ 1 = (x ¡ 1)3 + a(x ¡ 1)2 + b(x ¡ 1) + c が x についての恒等式であると
き，定数 a; b; c の値を求めよ．
関数 f(x) =
氏名
x2 ¡ 2x ¡ 2
について，次の各問に答えよ．
x+1
(1) 方程式 f(x) = 0 を解け．
(2) 関数 f(x) の極大値，極小値およびそのときの x の値を求めよ．
(2) 方程式 x + 3 x ¡ 2 = x + 1 を解け．
(3) 曲線 y = f(x) と x 軸で囲まれた部分の面積 S を求めよ．
(3) 平行四辺形 OABC において，辺 AB 上に点 D を
（高知工科大学 2012 ）
AD : DB = 2 : 1
を満たすようにとり，BC の中点を E とする．直線 OD と直線 AE との交点を F とするとき，線
OF
AF
分の長さの比の値
;
を求めよ．
OD
AE
(4) 定数 a を含む開区間で定義された関数 y = f(x) の x = a における微分系数 f 0 (a) の定義を
書け．また，その定義に従って，実数全体で定義された関数 f(x) = x2 の x = a における微分
系数 f 0 (a) を求めよ．
4
次の各問に答えよ．
(1) 0 < x < ¼ において，方程式 sin x ¡ x cos x ¡ 1 = 0 はただ 1 つの実数解 x =
¼
をもつこ
2
とを証明せよ．
x + cos x
の 0 < x < ¼ における最小値とそのときの x の値を求めよ．
sin x
(3) a を定数とする．方程式 x + cos x ¡ a sin x = 0 の 0 < x < ¼ における異なる実数解の個数
(2) 関数 f(x) =
を求めよ．
（高知工科大学 2012 ）
（高知工科大学 2012 ）
2
x の 2 次方程式 x2 ¡ 2x ¡ 1 = 0 の解を ®; ¯ (® < ¯) とし，正の整数 n に対して
xn =
¯n ¡ ® n
p
2 2
5
次の各問に答えよ．
(1) 放物線 y = x2 ¡ ax + 3 の頂点が直線 y = 3x + 5 上にあるとき，定数 a の値を求めよ．
B
B
3
3
1
1
log9
¡
log9 6 を簡単にせよ．
(2) log9 2 +
2
3
2
p
(3) 曲線 y = x ¡ 1 上の点 (2; 1) における接線を ` とする．この曲線と x 軸および接線 ` で囲
とおく．次の各問に答えよ．
まれた部分の面積 S を求めよ．
(1) x1 ; x2 を求めよ．
(2) xn+2 = 2xn+1 + xn が成り立つことを証明せよ．
(4) 行列 A = '
(3) x3n は 5 の倍数であることを証明せよ．
a b
c d
? が A2 ¡ 4A + 3E = O を満たすとき，a + d の値を求めよ．ただし，O
は零行列，E は単位行列である．
（高知工科大学 2012 ）
（高知工科大学 2012 ）
6
O を原点とする座標空間に 3 点 A(2; 0; 0)，B(¡1; 1; 0)，C(0; 0; 2) がある．次の各問に
答えよ．
8
2 つの関数
sin x
(定義域は ¡ ¼ < x < ¼)
1
+
Z x cos x
2
dt (定義域は実数全体)
g(x) =
0 1 + t2
f(x) =
(1) 四面体 OABC の体積 V を求めよ．
(2) 三角形 ABC の面積 S を求めよ．
(3) 3 点 A，B，C の定める平面を ® とおく．原点 O を中心とする球面と平面 ® との共有点が 1 点
だけのとき，その球面の方程式を求めよ．
と，これらの合成関数 h(x) = g(f(x)) を考える．次の各問に答えよ．
(1) f(x); g(x); h(x) のそれぞれの導関数を求めよ．
（高知工科大学 2012 ）
(2) h(x) を求めよ．
Z 1p
2+ 3
2
(3) 定積分
dt の値を求めよ．
0
1 + t2
（高知工科大学 2012 ）
7
右図のように AB = AC である二等辺三角形 ABC において，ÎA の
二等分線と辺 BC の交点を H とし，µ = ÎBAH，AH = 1 とする．
4ABC の内接円 C1 から始めて，2 辺 AB，AC に接し，かつ，隣り
合う 2 円が互いに外接する円の列 C1 ; C2 ; C3 ; Ý を三角形の中に
作り，その半径を r1 ; r2 ; r3 ; Ý，面積を S1 ; S2 ; S3 ; Ý とする．
このとき，次の各問に答えよ．
(1) r1 ; r2 の値を求めよ．
(2) 数列 frn g の一般項 rn を求めよ．
(3) 無限級数
1
P
n=1
Sn = S1 + S2 + Ý + Sn + Ý
の和を求めよ．
（高知工科大学 2012 ）

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